不等式證明的常用基本方法

1、證明不等式的基本方法導學目標：1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法 .2. 會用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比較簡單的不等式.自主梳理1 .三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式：如果a, b, c>0,那么,當且僅當a=b=c時等號成立.2 .基本不等式(基本不等式的推廣)：對于n個正數(shù)a, a2,，an,它們的算術(shù)平均不小于 它們的幾何平均，即ai+a2+ aTaia .a n,當且僅當 時等 號成立.3 .證明不等式的常用五種方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其基本思想是 與0比較大小或 與1比較大

2、小.(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、 、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、 論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Ч?(3)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的 條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實 (定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等 )，從而得出要證的命 題成立為止，這種證明方法叫分析法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.(4)反證法反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等， 進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、 性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié) 論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立

3、，我們把它稱為反證法.反證法的特點先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾， 這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實等矛盾.放縮法定義：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值 或，簡化不等式， 從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.思路：分析觀察證明式的特點，適當放大或縮小是證題關(guān)鍵.題型一用比差法與比商法證明不等式1 .設(shè)t = a+ 2b, s = a+ b2+ 1,則s與t的大小關(guān)系是( A )>t>t< t <t【解析】: s t = b 2b+1=(b 1) >0,，s>t.【答案】A2 .設(shè) a=

4、(m2+1)(n 2+4) , b=(mn + 2)2,則( D )A. a>b B . avb C . a< b D . a>b解析：a b= (m2+1)(n 2+4) (mn+2) 2=4m2+n24mn= (2m n)2>0, 1. a> b.答案:D 3.設(shè)a,b C R,給出下列不等式：lg(1+a 2)>0;a2+b2>2(a-b-1);a2+3ab>2b2;，其中所有 恒成立的不等式序號是.?【解析】a=0時不成立；: a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1) 2>0,成立；a=b=0時不成立；a=2,b=1時

5、不成立，故恒成立的只有.題型二用綜合法與分析法證明不等式14 .(1)已知x, y均為正數(shù)，且 x>y,求證：2* 十三12荷工y>2y+3;(2)設(shè) a, b, c>0 且 ab+bc + ca= 1,求證：a + b + c>"/3.證明 (1)因為 x>0, y>0, x y>0,2X+ x2-2xy + y2_ 2y = 2(x -y) +匹中=乜一”?八3 c11八八r?xv?亡q=3,所以 2x+x2-2xy + y2冷+ $(2)因為 a, b, c>0,所以要證 a+b+c>q3,只需證明(a + b+c)2>

6、;3. 即證：a2+ b2 + c2+ 2(ab +bc + ca) >3,而 ab+bc+ca=1, 故需證明：a2+ b'+ c2+ 2(ab + bc + ca) > 3(ab + bc + ca).即證：a2+b2 + c2>ab+ bc+ ca.而 ab+ bc+cawa2+b2b2+c2c2 + a2= a2+b2+c2(當且僅當a= b= c時等號成立)成立.所以原不等式成立.5 .已知a、b都是正實數(shù)，且 ab=2.求證：(1 +2a)(1 +b) >9.證明：法一 因為a、b都是正實數(shù)，且 ab=2,所以2a+ bR2 2ab= 4.所以(1+

7、2a)(1 +b) = 1 + 2a+b + 2ab>9.+ b) = (1 +2a) 1+占=5+2 a + 占.Ja a =2.所以(1 + 2a)(1 +b) >9.b b(1 + 2a)(1 + b) = (1 + a+ a) , 1 + 2+ 221法二 因為ab=2,所以(1 +2a)(1一， ，1因為a為正頭數(shù)，所以a + ->2 a法三因為a、b都是正實數(shù)，所以3 23.b23 a2b2 p>3 - Ra 3 、/"4 = 9,、/-4-.又 ab= 2,所以(1 + 2a)(1 + b) >9.思維升華 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?/p>

8、，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時， 往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相 互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野. 題型三放縮法證明不等式,1 一 11a b 一 6 .已知0<a<b，且 止不 + =，N= 帝 ,則M N的大小關(guān)系是(A. M>NB. M<N C. M =N D.不能確定1解析：- 0<a<b， -1 + a>0,1 +b>0,1 -ab>0,.M- N=1

9、- a 1 - b+ =1+ a 1 + b2 2ab?1 a?1 b?>0.答案:7.若a, bC R,求證:證明 當|a + b|=0時，不等式顯然成立.當|a + b| wo 時,11由 0<|a +b| <|a| + |b|?A|a+b| |a| +|b|a| 十|b|1+|a| 十|b|a +b| _1?1所以 1 + |a + b| 1'1|a + b| 十 ,JaL_ + -IbL + |a + b| 1 + |a|1 + |b| 1 + |a| +|b|=+ <-IOL+ JbL1 + |a| +|b|1+ |a| +|b|1 + |a|1 +

10、|b| .思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧.常見的放縮變換有：11111212變換分式的分子和分母如產(chǎn)麗千浮尿而方而乃加訴k.上面不等式中kCN , k>1;利用函數(shù)的單調(diào)性； 真分數(shù)性質(zhì)“若03b,m>0則（2）在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度.8.設(shè)n是正整數(shù)，求證:2 n+1 n+21卜十 <1.2n證明 由 2n>n+ k>n(k = 1,2 ,，n),得111w<.2n n+ k n111一 111一 111當k=1時，赤W不<n;當k = 1111212 大（縮?。?，如送<?,下>

11、;? 7胃+.（k * N且k>1）時，2nW1<n；，當k=n時，汨w-<-,-=<z2 2n n+1 n + 21 n .g.3.、卜+ =<-= 1. .原不等式成乂.2n n題型四 用反證法證明不等式9 .設(shè) a>0,b>0,且 a+b=.證明: (1)a+b >2; (2)a 2+a<2與 b2+b<2不可能同時成立.【解析】由a+b=,a>0,b>0,得ab=1.（1）由基本不等式及 ab=1,有 a+b>2=2, IP a+t）>2.（2）假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立，則由a

12、2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0Vb<1,從而ab<1, 這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.10 .若 a>0, b>0,且；+（ = 0. 求a3+b3的最小值；（2）是否存在a, b,使得2a+3b=6?并說明理由. 112【解】（1）由yOb = al bn=,得ab>2.當且僅當a=b=y2時等3成立.故a3+b3>2<0底>4/，且當a= b=，2時等號成立.所以 a3+b3的最小值為442.（2）由（1）知，2a +3b>2 q6M>4q3.由于 4。

13、3>6,從而不存在 a, b,使得 2a+3b=6.1 .證明不等式的常用方法有五種，即比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法.2 .應(yīng)用反證法證明數(shù)學命題，一般有下面幾個步驟：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；（3）由條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；（4）斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真.3 .放縮法證明不等式時，常見的放縮法依據(jù)或技巧主要有：（1）不等式的彳遞性；（2）等量加不等量為不等量；（3）同分子（母）異分母（子）的兩個分式大小的比較.縮小分母、擴大分子，分式值增大；縮小分子、擴

14、大分母，分式值減??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小， 但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放 縮有時需便于求和.1 31 4 .放縮法的常用措施：（1）舍去或加上一些項，如a + 2 +-> a + - ; （2）將分子或分母放1.設(shè)a、b是正實數(shù)，給出以下不等式： Ob2ab； a>|a - b| - b;a2+b2>4ab-3b2; a+b2abH->2,其中恒成立的序廳為 (D ) abA. B. C. D. 一2、情2ab 一 答案D解析: a、b C R 時，a+ b>2 -ab, 1- - & 1,

15、 aZjT_bwyab,不恒成立,排除A、B; ,ab +馬>2 J2>2恒成立，故選D. ab 11112.設(shè) M= yo+ a，4 1 + 2丈+ 2 + + Z," 1，則( B )A. g1 B , M<1 C . M>1 D . M與1大小關(guān)系不定 【解析】1°+1>210, 21°+2>210,，2斛析：當 0Vx<1 時，lg x +BT<0,鎬慶;-1>21°,.1 .1.1,11,1, 1 10 , M= 嚴+ 2付+ 1 + 2付+ 2 + 2/_ 1 <尹+ 20+ 22

16、個=1.【答案】 B3.若不等式t t +2aw 2-在t C (0 , 2上恒成立，則a的取值范圍是(【解析】由已知9 t+t對任意t e(°, 2恒成立，于是只要當t e(°, 2時,a> t+9max記 f(t),9=t +pg(t) =11+2 1 2,可知兩者都在(0, 2上單調(diào)遞減,1a< -+ 2f(t)min= f(2)2min13-2, g(t)min= g(2) = 1 ,所以aC2,113【答案】B12 11 一4 .已知a, b為頭數(shù)，且a>。，b>0.則a+b + z a +b + 的取小值為( C )A. 7 B8 C .

17、 9 D . 10【解析】因為a + b + a > 3-a x b x =3匹>0,a>0,b>0,所以同理可證:a2+b + >33/bX3A/-b = 9.【答案】C.當 x > 0 時，Jx + y > 2，一 1由及不等式的性質(zhì)得 a+b+a5 .下列結(jié)論正確的是(B )A.當 x>0 且 xwi 時，lg x +->2 B lg xC.當x>2時，x + 1的最小值為2x一 1 一D .當0vxW2時，x無最大值 x1 . 5當X"時,x+x的最小值為2，錯誤.當0VXW2時,6.若 P=1x 一Xy是增函數(shù)，最

18、大值在 x=2時取得，錯誤.答案：B(x>0 , y>0, z>0)，貝U P與3的大小關(guān)系為P<3【解析】-1+x>0, 1 + y>0, 1 + z>0,x y zP-P-<1 + x 1 + y 1 + z1 + x 1 1 + y' 1+z 1 + x+1 + y+1 + z3.即 P<3.【答案】P<37.某品牌彩電廠家為了打開市場，促進銷售，準備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價銷售,有四種降價方案：先降價a%再降價b% (2)先降價b%再降價a% (3)先降價a+ bh”，入 a+b%再降價-2 %(4) 一次性降價(

19、a + b)%.其中a>0, b>0, ab,上述四個方案中，降價幅度最小的是X3>X1= X2>X4.解析：設(shè)降價前彩電的價格為1,降價后彩電價格依次為則 X1 = (1 a%)(1 b%)= 1 (a + b)%+ a%- b%X2=(1 b%)(1 a%)= X1,Xi、 X2、 X3、 X4.X3= 1 -% = 1 (a + b)%+ 1(a +b)%2,X4=1 (a + b)%<1(a + b)%+ a%- b%= Xi = X2,a%+ b%2 X3 X1= -2 X3>X1 = X2>X4.a%- b%>08.已知兩正數(shù)X,1y

20、 滿足 X+y=1,貝U z= x + 一X1， y+y的取小值為254【解析】z=1 x+ -Xy + - =xy + !+ y + X=xy +y xy x y xy(x + y) 22xy 2=1+ xy - 2, xyXyx+ y 2 10<t =xyW -=-242 .1 . 1 .2 .一 .33由f(t) = t +-在0, 4上單倜遞減，故當t =4時f(t) =t+t有取小值 了，所以當x = y=；時，z有最小值§.【答案】手 2449 .求證：+ 4<2(n C R ). 12 n證明: A< -:,k k (k 1)k- 1 k' .

21、2+ 泉+ 工<1+ (1 -1) +(1-1) + (7_) = 1 + (1 - 1) = 2-1<2. 12 n '223n 1 nn n10 .設(shè) a、b、c 均為正實數(shù)，求證： , += + 1= + 1=>7_- + 二一+a b c ab #bc Vac b+c c+a a+b【證明】a, b, c均為正實數(shù)，1 124 , _,當a=b時等號成立a b ab a+b1 12；-1 R : Rb c bc1 12b+ ca c ac a+c當a = c時等號成立三個不等式相加即得當且僅當a=b=c時等號成立2 2 2222a+b b+c a+c-+ -

22、> t + > + Ia b c ab bc ac口 311111即一十 匚 + > -IH-7= >abcabbcaca+ b+ b+ c+a+ c.11.已知函數(shù)f(x) =m- |x -2| , mC R 且f(x +2) >0的解集為111.(1)求m的值；(2)右a, b, c大于0,且一 +六+f=m,求證： a 2b 3c【解】(1) . f(x + 2) = m- |x| , f(x +2) >0 等價于 |x| < m.由|x| <m有解，得 m>0且其解集為x| -m<xWm.-1,1 .a+2b+3O9.又f(x

23、 +2) >0的解集為1,1, (2)證明：由(1)知1+4+；=1, a 2b 3c11a+2b+3c= (a + 2b+ 3c) -+ + a 2b 3c>3+ 22b a 3cT 2b+27m= 1.a, b,=3+a 3c.金+2 2bc大于0,2b a3c aI+ Ia 2ba 3c3c 2b+12b 3c2b =9.3ca+2b+3O9.一，1 ,一， 一當且僅當a=2b=3c=a時，等號成立.因此312.設(shè) a, b, cCR且 a+b+c=1,試求:- T + -7 + ；2a+1 2b+1 2c+1的最小值.解：= a+b+c=1, a, b, c 為正數(shù)，/ +

24、 罰+ K (2a + 1 + 2b+1 + 2c+1)9審十寧五.當且僅當2a+1=2b+1 = 2c+1.一一一一1 一即a=b=c時等萬成立，.當 a= b=c = w時,32a+1+ 2b+ 1+ 2c+ 19 取最小值-.答案：方案(3)13.設(shè) a>0, b>0, a+b=1,求證：ab+石4- ; (2)探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號內(nèi):a2b2+ 4-2 a b(3)由(1)(2)歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.11 _2 2_解析：(1)證法一：ab+而 >44 ?4a b -17ab+4>0 ?(4ab -1)(ab -4) >0.ab = (Vab) &a+b24ab<1,而又知1 ab<-4<4,因此(4ab -1)(ab成立,-