余弦定理教學設計經典

1、1.1 2余弦定理教學設計一、教學目標認知目標：在創(chuàng)設的問題情境中，引導學生發(fā)現余弦定理的內容，推證余弦定理，并簡單運用余弦定理解三角形；能力目標：引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數形結合的工具，將幾何問題轉化為代數問題；情感目標：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，培養(yǎng)學生學習數學興趣和熱愛科學、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學重難點重點：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內容；初步對余弦定理進行應用。難點：利用向量法證明余弦

2、定理的思路；對余弦定理的熟練應用。探究和證明余弦定理過程既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點。學生已經具備了勾股定理的知識，即當/ C=9C0時，有c2=a2+b2。作為一般的情況，當/Cw900時，三角形的三邊滿足什么關系呢?學生一時很難找到思路。最容易想到的思路就是構造直角三角形，嘗試應用勾股定理去探究這個三角形的邊角關系；用向量的數量積證明余弦定理更是學生想不到的，原因是學生很難將向量的知識與解三角形的知識相結合。因而教師在授課時可以適當的點撥、啟發(fā)，鼓勵學生大膽的探索。在教學中引導學生從不同的途徑去探索余弦定理的證明，這樣既能開拓學生的視野，加強學生對余弦定理的理解，又能培養(yǎng)學生形成良好

3、的思維習慣，激發(fā)學生學習興趣，這是本節(jié)課教學的重點，也是難點。三、學情分析和教學內容分析本節(jié)內容是人教B 版普通高中課程標準實驗教科書必修5 第一章第一節(jié)余弦定理的第一課時。余弦定理是關于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關三角形問題與實際應用問題（如測量等）的重要定理，它將三角形的邊和角有機的結合起來，實現了“邊”和“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”有機的結合起來，為求與三角形有關的問題提供了理論依據，同時也為判斷三角形的形狀和證明三角形中的等式提供了重要的依據。教科書首先通過設問的方式，指出了“已知三角形的兩邊和夾角，無法用正弦定理去解三角形”，進而通過直角三角形中的勾股定理引導學

4、生去探究一般三角形中的邊角關系，然后通過構造直角三角形去完成對余弦定理的推證過程，教科書上還進一步的啟發(fā)學生用向量的方法去證明余弦定理，最后通過3 個例題鞏固學生對余弦定理的應用。在學習本節(jié)課之前，學生已經學習了正弦定理的內容，初步掌握了正弦定理的證明及應用，并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎上，教師可以創(chuàng)設一個“已知三角形兩邊及夾角”來解三角形的實際例子，學生發(fā)現不能用上一節(jié)所學的知識來解決這一問題，從而引發(fā)學生的學習興趣，引出這一節(jié)的內容。在對余弦定理教學中時，考慮到它比正弦定理形式上更加復雜，教師可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的啟發(fā)和引導，讓學生進行思考，通

5、過類比、聯(lián)想、質疑、探究等步驟，輔以小組合作學習，建立猜想，獲得命題，再想方設法去證明。在用兩種不同的方法證明余弦定理時，學生可能會遇到證明思路上的困難，教師可以適當的點撥。四、教學過程環(huán)節(jié)一【創(chuàng)設情境】1、復習引入讓學生回答正弦定理的內容和能用這個定理解決哪些類型的問題。2、情景引入如圖1,某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。 工程技術人員先在 地面上選一適當的位置 A,量出A到山腳 日C的距離， 再利用經緯儀測出 A對山腳BC （即線段BQ的張角， 最后通過計算求出山腳的長度 BG學生不難將這個實際問題轉化到數學問題：已知三角形的兩邊和一個夾角， 去求三角形的另

6、外一 B 邊。這個問題是不能使用正弦定理來求解的。 學生急 切的希望應用新知識來解決這個問題。C環(huán)節(jié)二【導入新課】問題：在 ABC中，當/ C=90時，有 c2=a2+b2.若a, b邊的長短不變，反 1 C的大小時, c2與a2+b2有什么大小關系呢？請同學們思考。教師鼓勵學生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學生解決問題，學生回答，借助于多媒體動畫演不'結果。圖3如圖2,若/ Cv90°時，由于 AC與BC的長度不變，所以 AB的長度變短，即 c2<a2+b2.如圖3,若/ C>90°時，由于 AC與BC的長度不變，所以 AB的長度變長，即 c2>a2+

7、b2.經過議論學生已得到當/ Cw90°時， c2Wa2+b2。環(huán)節(jié)三【新課探究】探究1、在上一個問題中，我們已經知道，當/Cw90°時，c2wJ+b2。那么c2與a2+b2到底有什么等量關系呢？請同學們繼續(xù)探究。教師引導學生分組合作學習，可讓幾個小組的學生研究當/C為銳角時的結論，另外的小組研究當/ C為鈍角時的結論。最后交流探索，展示成果。如圖4,當/ C為銳角時，作 BDLAC于D, BD把 ABC分成兩個直角三角形：B在 RtMBD中,AB=AD+BD2;在 RtBDC中，BD=BC sinC=asinC , DC=BC cosC=acosC所以，A隹aD+bD化為

8、c2=（b acosC） 2+（asinC） 2,c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin 2C,c2=a2+b2 2abcosC.可以看出/ C為銳角時， ABC的三邊a, b, c具有c2=a2+b22abcosC的關系。 如圖5,當/ C為鈍角時，作 BD±AC交AC的延長線于 Do ACB是兩個直角三角形之差。在 RtMBD中,Ad=AD+BD.在 Rt BCD43, / BCD書一C.BD=BC sin（兀一C）, CD=BC cos（兀一C）.所以A隹AE2+BE2化為c2=（AC+CD）2+BE）=b+acos（兀一C） 2+asin（兀一C）2=b2+2a

9、bcos（兀一C）+a2cos2（兀一C）+a2sin 2（兀一C）=b2+2abcos（兀一C）+a2.因為cos（兀一C尸一cosC,所以也可以得到 c2=b2+a22abcosC。教師點撥：以上兩種情況，我們可以考察向量AC在向量BC方向上的正射影的數量：當/C分別是銳角和鈍角的時候，得到兩個數量符號相反；當/C是直角的時候，其向量 AC在直角邊上的正射影的數量為零。因此，無論是/C是銳角、直角還是鈍角，都有AD bsinC,DC bcosC,BD a bcosC,在RtADB中，運用勾股定理，得 c2=a2+b2-2abcosC,我們輪換/ A, / B, /C的位置可以得 到a2=b

10、2+c2 2bccosA.b2=c2+a2 2accosB.于是，我們得到三角形中邊角關系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內容 ）余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦 的積的兩倍，即c2=a2+b2 -2abcosCa2=b2+c2 -2bccosAb2:=c2+a2 2accosB從以上的公式中解出 cosA,cosB,cosC ,則可以得到余弦定理的另外一種形式:222cosAcosBcosCb c a2bc22. 2cab2ca2,22a b c2ab從以上分析過程，我們對/ C不是直角的情況有了清楚認識。我們不僅要認識到，/C為銳角和鈍角時

11、都有c2=a2+b2 2abcosC,還要體會出怎樣把一個斜三角形轉化成兩個直角三角形的。這種由未知向已知轉化的思想在數學中經常用到。探究2、你還能用向量的方法證明余弦定理嗎？參看教材例1左上方的思路提示。教師點撥學生的思路，可以讓學生分組討論、探究，最后教師用多媒體展示證明的思路及過 程。如圖 6,在4ABC中，設 AB c,CA b,BC a,BC AC AB,22BC AC AB222BC AC AB 2AB?ACBC2 AC2 |AB2 2AB?|ACcosA 即：a2 b2 c2 2bccosA教師點評：對于探究 1,我們分/ C是銳角和鈍角的情況對余弦定理的形式給出了證明，過程 比

12、較復雜；對于探究 2,我們應用向量的數量積可以很簡單的證明余弦定理，這就可以看出向 量作為一種工具在證明一些數學問題中的作用，在今后的學習中，我們應該加強對所學知識 的應用。探究3、余弦定理在解三角形中的應用 教師啟發(fā)學生：根據余弦定理的兩種形式，可以看出它能夠解決解三角形的哪些類型？（學生并不難發(fā)現，余弦定理可以用來解決兩種解三角形的類型：已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊；已知三角形的三邊，求三個內角。）下面，請同學們根據余弦定理的這兩種應用，來解決以下三個例題。（用多媒體展示例題）例 1、在 ABC中，已知 a=5,b=4, /C=120°,求 c.例2、在 ABC中，已知a=

13、3,b=2,c= J19 ,求此三角形三個內角的大小及其面積（精確到0.1）例 3、 ABC的定點為 A（6,5）,B（-2,8）, 和 C（4,1）,求/ A（精確到 0.1）.雙邊活動：師生可以共同完成例題，進一步的加深學生對余弦定理的應用。環(huán)節(jié)四【練習與鞏固】1、在 ABC中，a=1,b=1, /C=12（f,則 c=。2、在 ABC中，若三邊 a,b,c 滿足 a2 b2 c2 bc ,貝U A=。3、在 ABC中，已知sinA：sinB ：sinC 3:4:5 ,這個三角形是 （填銳角、直 角、鈍角三角形）。4、在 ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中線長為 2,求AB=雙邊活動

14、：學生限時訓練，讓學生回答結果，對于出錯題目加以講解，可以用多媒體展示第4題的解題過程。環(huán)節(jié)五【課堂反思總結】通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此有何體會？（先由學生回答總結，教師適時的補充完善）1、余弦定理的發(fā)現從直角入手，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現了由特殊到一般的認識 過程，運用了分類討論的數學思想；2、用向量證明了余弦定理，體現了數學知識的應用以及數形結合數學思想的應用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解 決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內角的兩類問題。（從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等

15、思維方法，最后得到了推導出正弦定理。我們 研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握 了研究問題的一般方法。在強調研究性學習方法，注重學生的主體地位，調動學生積極性， 使數學教學成為數學活動的教學。）環(huán)節(jié)六【布置課后作業(yè)】1、若三角形ABC的三條邊長分別為a 2, b 3 , c 4, 貝 U 2bccosA 2ca cosB 2abcosC 。132、在ABC，若a=7, b=8, cosC 一，則最大內角的余弦值為。143、已知 ABC中，acosB=bcos A ,請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。4、教材練習B1,3。五、教學反思1、余弦定理

16、是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節(jié)內容安排兩節(jié)課適宜。第 一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節(jié)復習定理內容，加強定理的應用。2 、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。3 、本節(jié)課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰(zhàn)術，加重了學生的負擔

17、，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應用呢？事實上已經證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經不能適應新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調過程，重視學生探索新知識的經歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內心感受，把 “發(fā)現、探究知識”的權利還給學生。4 、本節(jié)課的教學過程重視學生探究知識的過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結論。在這個過程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采

18、取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現的困惑置之不理。5 、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學的知識忘得一干二凈。6 、在實際的教學中，發(fā)現學生對于所學的知識（例如向量）不能很好的應用，學生的數學思想（如分類討論、數形結合）也不能靈活的應用，這在以后的教學中還應該加強。從授課的實際效果來看，能較好的完成本節(jié)課的教學任務。后一階段的教學主要應該加強師生的課堂雙邊活動，處理

19、好教與學的關系，充分調動學生的課堂參與意識，鼓勵學生積極大膽的發(fā)言，學生主動暴露自己的問題，教師及時的加以糾正，使教學更具針對1.1.2余弦定理（導學案）K學習目標1 .會用向量的數量積證明余弦定理的方法。，2 .熟記并掌握余弦定理3 .能運用余弦定理及其推論解三角形K學習重點2余弦定理的理解及應用K學習難點2由數量積證明余弦定理及應用K學習過程一、課前準備【知識清單】（預習教材 P5 8,找出疑惑之處）1 .余弦定理：a2 b2 c2 2 .余弦定理的推論：cosA cosB cosC 3 .用余弦定理可以解決兩類有關解三角形的問題已知三邊，求已知 和它們的,求第三邊和其他兩個角【牛刀小試】

20、1 .已知 b 3,c 1, A 600 ,求 a；2 .已知 a 4, b 5, c 6 ,求 cos A二、新課導學1 .【復習導入】1 .三角形的正弦定理內容:2.已知A=60 ,C=45 , b 16,你能解這個解三角形?【探究】在問題中探究余弦定理若把2的條件C=45，改成c 8,如何解三角形？（即已知三角 形的兩邊及其夾角解三角形 ）問題：聯(lián)系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題?分析：用正弦定理試求，發(fā)現因 A、B均未知，所以較難求邊C;由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。uirrumruurr rrr設 CB a , CA b , AB c ,那么 c a b ,則C B（小組合作完成）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2 b2 c2 2bccosAb2 a2 c2 2accos B思考：這個式子中有幾個量？從方