matlab在數學分析中應用

1、畢 業(yè) 論 文（2015屆）題 目 MATLAB在解決數學分析中 圖形問題的應用 學 院 數學計算機學院 專 業(yè) 信息與計算科學 年 級 學生學號 學生姓名 指導教師 2015年5月8日MATLAB在解決數學分析中圖形問題的應用數學計算機學院 信息與計算科學專業(yè) 2015屆 馮鑠 摘 要：本文試圖探討運用 MATLAB操作平臺的命令函數和繪圖語句的特點，將數學分析中抽象的、難以理解的圖形（例如：螺旋曲線），以及難以靠手工繪制得到理想圖形的，用MATLAB來解決。并介紹MATLAB在這些方面的使用方法和技巧，從而達到事半功倍的效果。關鍵詞：MATLAB；數學分析；圖形；命令函數；方法中圖分類號：

2、TP311.1 The Application of Graphics Problem in Mathematical Analysis Solved by MATLABAbstract: The paper discusses the command function and the graphics characteristics, and solves the abstract, confused graphics which is hard to paint by hand in mathematical analysis by MATLAB. And then, the p

3、aper introduces its methods and skills to make problems easier.Key words: MATLAB; mathematical analysis; graph; Command function; Method目 錄1 引言 12 MATLAB 簡介 13 實例與分析 23.1 二維圖形 2 3.1.1 初等函數 33.1.2分析函數當x0,1 時的變化趨勢 43.1.3 研究Dirichlet核的性質 53.1.4 二重積分D e-(x2+y2)d相關問題 53.1.5曲面積分 1+4x2+4y2ds相關問題 7 3.2 三維圖形

4、 83.2.1 螺旋曲線 83.2.2 馬鞍面 93.2.3 莫比烏斯帶 93.2.4 二元函數z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2的相關問題 113.2.5 三重積分的符號計算及其MATLAB程序 11 3.3 空間曲線曲面相關問題 133.3.1 空間曲線的切線和法平面的實驗 133.3.2 空間曲面的切線和法平面的實驗 143.4 MATLAB 在數學分析中的其他方面應用 173.4.1 計算交錯級數 的和 173.4.2 計算收斂問題 173.4.3函數的 10 階 Taylor 級數展開式 18結束語 19參考文獻 19致謝 19MATLAB在解決數學分析中圖形問題的應用1 引言

5、計算機技術的迅猛發(fā)展使得數學在自然科學, 工程技術, 經濟管理和人文社會科學中越來越成為解決實際問題的重要工具. 在數學分析的學習和研究中, 常常會遇到二維圖形、三維圖形、極坐標圖形、對數坐標圖形的繪制, 這類圖形的繪制往往繁冗復雜, 僅憑手工繪制難以達到精確的效果, 尤其是遇到需要準確的圖形才能解答的問題. 把計算機技術用于其中， 則可以使我們能更好更快的理解和完成數學分析中遇到的復雜圖形問題, 于是數學軟件就應運而生. 其中 MATLAB 就是一個功能強大的數學軟件, 它的功能之一就是分析數據和把數據可視化, 為算法和應用程序開發(fā)提供了核心的數學高級圖形工具. 它所具有的數值計算功能、符號

6、計算功能以及可視化建模、仿真功能體現了其它同類軟件難以比擬的優(yōu)勢, 而它的圖形功能更加彰顯了MATLAB的智能化和自動化的優(yōu)越性. 且MATLAB對使用者的數學基礎和計算機語言知識的要求較低, 編程效率和計算效率又極高, 還可以在計算機上直接輸出結果和精美的圖形拷貝, 的確不失為一個方便高效的高質量數學工具. 此次通過用MATLAB來解決數學分析中遇到的實際問題, 來展示MATLAB在處理復雜圖形的效果和能力.2 MATLAB簡介MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數學軟件, 用于算法開發(fā)、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境, 主要包括MATLAB和S

7、imulink兩大部分. MATLAB是matrix和laboratory兩個詞的組合， 意為矩陣工廠. 是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境. 它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中， 為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案, 并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式, 代表了當今國際科學計算軟件的先進水平. MATLAB的基本數據單位是矩陣， 它的指令表達式與數學、工程中常用的形

8、式十分相似, 故用MATLAB來解算問題要比用C、FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多. 3 實例與分析數學分析是高等院校數學類專業(yè)（數學與應用數學、信息與計算科學）最重要的基礎課程之一， 對常微分方程、實變函數、泛函分析等后繼課程的學習影響很大. 而初入大學的學生普遍對數學分析這門課程的高度抽象性感到迷惑， 而使用MATLAB編程計算相關問題和使用MATLAB強大的繪圖功能就可以是里面的難點簡單化, 降低學習者的學習難度， 縮短數學理論與應用的距離. 同時還能夠培養(yǎng)學習者的數學應用以及利用數學知識進行創(chuàng)新的能力. MATLAB 在數學分析中的應用很多， 下面結合實例從幾個方面來闡述MA

9、TLAB在數學分析中處理圖形的應用. 從而最直觀的向大家展示在數學分析中使用MATLAB的優(yōu)點. 3.1 二維圖形(2-D Graph)數學分析中有不少復雜的限制區(qū)間的函數問題需要求奇偶性和單調性, 面對這類題的函數圖像,做題者一般都是憑借想想和隨手一畫, 正因為這樣有時候得到錯誤的答案, 這就是憑借不標準的函數圖像所導致. 對于函數的二維圖形的準確輸出, 利用MATLAB就可以輕而易舉的得到最標準的函數圖形. 從而幫助做題者得到準確的答案. 下面通過幾個簡單的例子來體現MATLAB在實際中的使用效果.3.1.1 初等函數常見的初等函數,例如: ,笛卡爾葉形線見文獻MATLAB中可以實現同一窗

10、口的分割輸出, 下面就用同一個窗口輸出這四個函數的圖形,用MATLAB輸入下列語句即可實現:subplot(3,3,1),fplot(sin(1./x) ,0.01 0.1,le-3)subplot(3,3,2),ezplot(2*exp(-0.5*x). *sin(2*pi*x) )subplot(3,3,4),ezplot（x2+y2-1）subplot(3,3,4),ezplot（x3+y3-3*x*y,-3,3）輸出圖形如圖3.1所示:圖3.13.1.2 分析函數當x0,1 時的變化趨勢.用MATLAB輸入程序：syms xfx=x/(x-1)-1/(x2-x);ezplot(fx,-

11、5,5)grid onhold on;plot(1,2, rd)xlabel(圖3.2f(x)的圖像)得到的函數圖像如下:圖3.2從圖3.1.2可知,當x1時, 函數f(x)以2為極限. 而當x0時,由f(x)的圖像知x0+時,f(x)+; x0-時, f(x)-.故f(x)當x0時極限不存在.3.1.3 研究Dirichlet核的性質Dirichlet核在Fourier級數理論中具有十分重要的意義, 而其性質對初學數學分析的學生而言是比較難把握的， 但如使用MATLAB動畫的計算, 可十分容易且直觀的得到Dirichlet核的性質. 我們知道 因此， 可以使用如下程序：x=-pi: 0.01

12、: pi:for k=0: 12plot(sin(sin(k+0.5)*x)./(2*sin(0.5*x)hold onend運行， 可很易得出關于Dirichlet核的變化規(guī)律， 如圖3.3：圖3.3 Dirichlet核3.1.4 二重積分 D e-(x2+y2)d 相關問題【例3.1.4】計算D e-(x2+y2)d， 其中Dxy曲線 2xy=1, y=2x,x=2.5所圍成的平面區(qū)域. 編程如下：%繪制積分區(qū)域x = 0.08 : 0.001 : 3;y1 = 1./(2 * x);y2 = sqrt(2 * x);plot(x, y1, 'b-',x , y2, &#

13、39;m-', 2.5, x, 'r-'),%axis(0.53 5.3)% x = 1/2, y =1 計算兩條曲線的交點syms x yy1 = ('2 * x * y = 1');y2 = ('y - sqrt(2 * x) = 0');x, y = solve(y1, y2, x, y)% 計算積分syms x y f = exp(-(x2 + y2);y1 = 1/(2 * x);y2 = sqrt(2 * x);jfy = int(f, y, y1, y2);jfx = int(jfy, x, 0.5, 2.5);jf2 =

14、double(jfx);得到的函數圖像如下：圖3.43.1.5曲面積分 1+4x2+4y2ds相關問題計算曲面積分 1+4x2+4y2ds， 其中 是旋轉拋物面z=x2+y2被平面z=1所截得的底部， 即在0z1的部分. 求曲面 的方程在x0y平面上的投影區(qū)域Dxy. 曲面 的方程為z=x2+y2， 在x0y平面上的投影區(qū)域Dxy為圓形閉區(qū)域：x2+y21， 即-1-x2y1-x2， -1x1.具體編程如下：%畫出積分區(qū)域的草圖x = -1 : 0.01 : 1;y1 = -sqrt(1 - x.2);y2 = sqrt(1 - x.2);plot(x, y1, 'b-', x

15、, y2, 'm-'),axis(-1.5 1.5 -1.5 1.5)title('由圓x2+y2=1所圍成的積分區(qū)域')% 計算曲面積分syms x yfunz = x2 + y2;fun = sqrt(1 + 4* x.2 + 4 * y.2);x1 = -1; x2 = 1;y1 = -sqrt(1 - x.2); y2 = sqrt(1 - x.2);I = qmjf1(funz, fun, y1, y2, x1, x2)y = double(I) 到的函數圖像如下：圖3.53.2 三維圖形(3-D Graph)會描繪簡單的二次曲面的圖像是數學分析的基本

16、要求之一,也是學習三重積分和曲面積分的基礎. 下面用幾個例子來闡述MATLAB在解決數學分析鄰域中的三維圖形的廣泛應用.3.2.1 螺旋曲線例如:求螺旋線 x=2costy=2sintz=3t (0t6)的弧長.題中給出了螺旋線的參數方程, 但在算的過程中仍感到困難, 其主要原因之一就是對題目所給的區(qū)間不能準確地定下來. 如能將相關的圖形繪制出來就有利于理解了. 為此在MATLAB下輸入:ezplot3(2*cos(t) ， 2*sin(t) ， 3*t， 0， 6*pi， animate)將得到的圖形如圖3.6所示：圖3.6 螺旋曲線3.2.2 馬鞍面馬鞍面是一種曲面， 又叫雙曲拋物面. 文

17、獻的課后練習題中出現了曲面方程z=x2a2-y2b2表示馬鞍面. 設a=3、b=2編程如下：x,y=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25); z=x.2/9-y.2/4;surf(x,y,z)title('馬鞍面')grid off 得到的函數圖像如下：圖3.7馬鞍面3.2.3莫比烏斯帶曲面積分是數學分析的重要內容之一， 在曲面積分中,首先要了解單側曲面與雙側曲面,其中一個著名的單側曲面就是莫比烏斯帶. 它的方程式為:r=a+bs cost2x=r costy=r sint z=bs sin(t2)其中 a,b為常數， s,t為參數. 下面給出莫比烏斯

18、帶的MATLAB的程序:function z=mobius(a,b)s=linspace(-1,1,30);t=linspace(0,2*pi,30);S,T=meshgrid(s,t);X=(a+b.*S.*cos(T/2).*cos(T);Y=(a+b.*S.*cos(T/2).*sin(T);Z=b.*S.*sin(T/2);mesh(X,Y,Z)title(莫比烏斯帶)當 a=b,b=1 時的莫比烏斯帶如圖3.2.3所示: 圖3.8莫比烏斯帶3.2.4 二元函數z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2的相關問題設二元函數 z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2,取區(qū)域為-2.1x2.

19、1, -2.1y2.1， x和y的步長均為0.2， 失球該曲面在每個節(jié)點的法向量， 并畫圖. 解 輸入求該曲面在每個節(jié)點的法向量和畫圖的程序：x,y = meshgrid(-2.1 : 0.2: 2.1, -2.1 : 0.2: 2.1);z = 3 * (x - 1).2.* exp(-(x+1).2 - y.2);surfnorm(x, y, z);得到的函數圖像如下：圖3.9 二元函數3.2.5 三重積分的符號計算及其MATLAB程序計算If=v (x+ex+sinz)dxdydz,其中積分區(qū)域V是由旋轉拋物面z=8-x2-y2,圓柱x2+y2=4和z=0所圍成的空間閉區(qū)域. 具體編程如

20、下：%繪制積分區(qū)域x, y = meshgrid(-2 : 0.01 : 2);z1 = 8 - (x.2 + y.2);figure(1)mesh(x, y, z1),hold on,x = -1 : 0.01: 2;r = 2;x, y, z = cylinder(r, 30); %半徑為2的圓柱面mesh(x, y, z),hold offtitle('由旋轉拋物面of z = 8 - (x2 + y.2);圓柱面 x2 + y2 = 4, 和z=0所圍成區(qū)域')figure(2)contour(x, y, z, 10)title('由旋轉拋物面of z = 8

21、- (x2 + y.2);圓柱面 x2 + y2 = 4, 和z=0所圍成區(qū)域的投影區(qū)域')%計算積分上下限syms x y zf1 = ('z = 8 - (x2 + y2)');f2 = ('x2 + y2 = 4');x, y, z = solve(f1, f2, x, y, z)%計算積分syms x y z f = x + exp(y) + sin(z);z1 = 0;z2 = 8 - (x2 + y2);x1 = -sqrt(4 - y2);x2 = sqrt(4 - y2);jfz = int(f, z, z1, z2);jfx = int

22、(jfz, x, x1, x2);jfy = int(jfx, y, -2, 2);jf2 = double(jfy)所得圖像如圖3.10：圖3.103.3空間曲線曲面相關問題3.3.1空間曲線的切線和法平面的實驗空間曲線在點處的切線的方向向量為過點的切線方程為即過點的法平面方程為即設空間曲線L:x=3sint， y=cost， z=5t， 求L在 T=4 處的切線方程和法平面方程syms t x y z x1 = 3 * sin(t); y1 = 3 * cos(t); z1 = 5 * t;w1 = x1, y1, z1;S1 = jacobian(w1, t);t = pi / 4; x

23、0 = 3 * sin(t);y0 = 3 * cos(t);z0 = 5 * t;S0 = S1;v0 = subs(S0)t0 = t;F = -x; y; z + x0; y0; z0 + v0 * tG = x - x0; y - y0; z - z0.' * v0t = 0: pi/10 : 2 * pi;x = 3 * sin(t);y = 3 * cos(t);z = 5 * t;plot3(x, y, z), hold ont0 = pi/4;x0 = 3 * sin(t0); y0 = 3 * cos(t0); z0 = 5 * t0;plot3(x0, y0, z0

24、, 'ro'),hold off3.3.2 空間曲面的切線和法平面的實驗（1）空間曲面在點處的切平面的法向量為過點的切平面方程為即 過點的法線方程為（2）空間曲面在點處的切平面的法向量為過點的切平面方程為即 過點的法線方程為設曲面方程求在點處的切平面方程和法線方程.syms t x y z F = x2 + y2 + z2 - x * y - 3;x0 = 1; y0 = -1; z0 = 0;w = x, y, z;S1= jacobian(F,w)v1 = subs(S1, x, x0);v2 = subs(v1, y, y0);n = subs(v2, z, z0);F

25、= x - x0, y - y0, z - z0 * n'G = -x, y, z + x0, y0, z0 + n * tX1, Y1 = meshgrid(-2 : 0.2: 2, -2 : 0.2 : 2);Z1 = (-X1.2 - Y12 + X1.*Y1 + 3).(1/2);plot3(X1, Y1, Z1)hold onZ2 = -(-X1.2 - Y12 + X1.*Y1 + 3).(1/2);plot3(X1, y1, z2)xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'),hold onz0 =

26、 1; y0= -1; z0 = 0;plot3(x0, y0, z0, 'bo')hold off3.4 MATLAB在數學分析中的其他方面應用3.4.1 計算交錯級數 的和對此問題， 使用 MATLAB 處理十分簡單， 只需輸入如下程序： syms n symsum(-1)(n-1)/n， n， 1， inf) 就可得出結果=3.4.2 計算收斂問題設x1=1, y1=2, xn+1=xn+yn2, yn+1=xnyn , 證明 xn , yn 收斂. 在學習數學分析的過程中，許多人拿到這類問題后喜歡用初值進行試算， 看看這兩個序列的變化規(guī)律. 當然，這是很好的，可是算幾此

27、后， 就會發(fā)現計算變得十分繁瑣， 從而使得忙了一會卻沒有效果，從而放棄這一想法. 而使用 MATLAB 軟件， 只需要設計如下簡單的程序, 就能達到事半功倍的效果.程序如下：x(1)=1；y(1)=2； for k=1：10 x(k+1)=(x(k)+y(k)/2； y(k+1)=sqrt(x(k)*y(k)； end程序運行得到的結果如下：12345X1.00001.50001.45711.45681.4568Y2.00001.41421.45681.45681.4568678910X1.45681.45681.45681.45681.4568Y1.45681.45681.45681.45681.4568從所獲得的數值計算結果中，很容易看到這兩個序列極限相等. 當然， 數值計算并不是理論上的證明， 但是有了此計算， 學者就可以很方便的知道將初值改變會發(fā)生什么結果， 這樣的考察就很容易聯想到離散動力系統(tǒng)這一領域上去， 變被動的計算為主動， 這就通過MATLAB簡單的編程所帶來的效果. 3.4.3函數的 10 階 Taylor 級數展開式計算出 xex-1 函數的 10 階 Taylor 級數展開式. 這是一個典型的實解析函數， 因此可以展開成 Taylor 級數， 但展開系數的計算， 當 Taylor