matlab在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文（2015屆）題 目 MATLAB在解決數(shù)學(xué)分析中 圖形問題的應(yīng)用 學(xué) 院 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級(jí) 學(xué)生學(xué)號(hào) 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 2015年5月8日MATLAB在解決數(shù)學(xué)分析中圖形問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 2015屆 馮鑠 摘 要：本文試圖探討運(yùn)用 MATLAB操作平臺(tái)的命令函數(shù)和繪圖語句的特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)分析中抽象的、難以理解的圖形（例如：螺旋曲線），以及難以靠手工繪制得到理想圖形的，用MATLAB來解決。并介紹MATLAB在這些方面的使用方法和技巧，從而達(dá)到事半功倍的效果。關(guān)鍵詞：MATLAB；數(shù)學(xué)分析；圖形；命令函數(shù)；方法中圖分類號(hào)：

2、TP311.1 The Application of Graphics Problem in Mathematical Analysis Solved by MATLABAbstract: The paper discusses the command function and the graphics characteristics, and solves the abstract, confused graphics which is hard to paint by hand in mathematical analysis by MATLAB. And then, the p

3、aper introduces its methods and skills to make problems easier.Key words: MATLAB; mathematical analysis; graph; Command function; Method目 錄1 引言 12 MATLAB 簡(jiǎn)介 13 實(shí)例與分析 23.1 二維圖形 2 3.1.1 初等函數(shù) 33.1.2分析函數(shù)當(dāng)x0,1 時(shí)的變化趨勢(shì) 43.1.3 研究Dirichlet核的性質(zhì) 53.1.4 二重積分D e-(x2+y2)d相關(guān)問題 53.1.5曲面積分 1+4x2+4y2ds相關(guān)問題 7 3.2 三維圖形

4、 83.2.1 螺旋曲線 83.2.2 馬鞍面 93.2.3 莫比烏斯帶 93.2.4 二元函數(shù)z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2的相關(guān)問題 113.2.5 三重積分的符號(hào)計(jì)算及其MATLAB程序 11 3.3 空間曲線曲面相關(guān)問題 133.3.1 空間曲線的切線和法平面的實(shí)驗(yàn) 133.3.2 空間曲面的切線和法平面的實(shí)驗(yàn) 143.4 MATLAB 在數(shù)學(xué)分析中的其他方面應(yīng)用 173.4.1 計(jì)算交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的和 173.4.2 計(jì)算收斂問題 173.4.3函數(shù)的 10 階 Taylor 級(jí)數(shù)展開式 18結(jié)束語 19參考文獻(xiàn) 19致謝 19MATLAB在解決數(shù)學(xué)分析中圖形問題的應(yīng)用1 引言

5、計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展使得數(shù)學(xué)在自然科學(xué), 工程技術(shù), 經(jīng)濟(jì)管理和人文社會(huì)科學(xué)中越來越成為解決實(shí)際問題的重要工具. 在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)和研究中, 常常會(huì)遇到二維圖形、三維圖形、極坐標(biāo)圖形、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖形的繪制, 這類圖形的繪制往往繁冗復(fù)雜, 僅憑手工繪制難以達(dá)到精確的效果, 尤其是遇到需要準(zhǔn)確的圖形才能解答的問題. 把計(jì)算機(jī)技術(shù)用于其中， 則可以使我們能更好更快的理解和完成數(shù)學(xué)分析中遇到的復(fù)雜圖形問題, 于是數(shù)學(xué)軟件就應(yīng)運(yùn)而生. 其中 MATLAB 就是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件, 它的功能之一就是分析數(shù)據(jù)和把數(shù)據(jù)可視化, 為算法和應(yīng)用程序開發(fā)提供了核心的數(shù)學(xué)高級(jí)圖形工具. 它所具有的數(shù)值計(jì)算功能、符號(hào)

6、計(jì)算功能以及可視化建模、仿真功能體現(xiàn)了其它同類軟件難以比擬的優(yōu)勢(shì), 而它的圖形功能更加彰顯了MATLAB的智能化和自動(dòng)化的優(yōu)越性. 且MATLAB對(duì)使用者的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和計(jì)算機(jī)語言知識(shí)的要求較低, 編程效率和計(jì)算效率又極高, 還可以在計(jì)算機(jī)上直接輸出結(jié)果和精美的圖形拷貝, 的確不失為一個(gè)方便高效的高質(zhì)量數(shù)學(xué)工具. 此次通過用MATLAB來解決數(shù)學(xué)分析中遇到的實(shí)際問題, 來展示MATLAB在處理復(fù)雜圖形的效果和能力.2 MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件, 用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境, 主要包括MATLAB和S

7、imulink兩大部分. MATLAB是matrix和laboratory兩個(gè)詞的組合， 意為矩陣工廠. 是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境. 它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中， 為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案, 并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式, 代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平. MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣， 它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形

8、式十分相似, 故用MATLAB來解算問題要比用C、FORTRAN等語言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多. 3 實(shí)例與分析數(shù)學(xué)分析是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)）最重要的基礎(chǔ)課程之一， 對(duì)常微分方程、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等后繼課程的學(xué)習(xí)影響很大. 而初入大學(xué)的學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)分析這門課程的高度抽象性感到迷惑， 而使用MATLAB編程計(jì)算相關(guān)問題和使用MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能就可以是里面的難點(diǎn)簡(jiǎn)單化, 降低學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)難度， 縮短數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的距離. 同時(shí)還能夠培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)應(yīng)用以及利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新的能力. MATLAB 在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用很多， 下面結(jié)合實(shí)例從幾個(gè)方面來闡述MA

9、TLAB在數(shù)學(xué)分析中處理圖形的應(yīng)用. 從而最直觀的向大家展示在數(shù)學(xué)分析中使用MATLAB的優(yōu)點(diǎn). 3.1 二維圖形(2-D Graph)數(shù)學(xué)分析中有不少?gòu)?fù)雜的限制區(qū)間的函數(shù)問題需要求奇偶性和單調(diào)性, 面對(duì)這類題的函數(shù)圖像,做題者一般都是憑借想想和隨手一畫, 正因?yàn)檫@樣有時(shí)候得到錯(cuò)誤的答案, 這就是憑借不標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)圖像所導(dǎo)致. 對(duì)于函數(shù)的二維圖形的準(zhǔn)確輸出, 利用MATLAB就可以輕而易舉的得到最標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)圖形. 從而幫助做題者得到準(zhǔn)確的答案. 下面通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來體現(xiàn)MATLAB在實(shí)際中的使用效果.3.1.1 初等函數(shù)常見的初等函數(shù),例如: ,笛卡爾葉形線見文獻(xiàn)MATLAB中可以實(shí)現(xiàn)同一窗

10、口的分割輸出, 下面就用同一個(gè)窗口輸出這四個(gè)函數(shù)的圖形,用MATLAB輸入下列語句即可實(shí)現(xiàn):subplot(3,3,1),fplot(sin(1./x) ,0.01 0.1,le-3)subplot(3,3,2),ezplot(2*exp(-0.5*x). *sin(2*pi*x) )subplot(3,3,4),ezplot（x2+y2-1）subplot(3,3,4),ezplot（x3+y3-3*x*y,-3,3）輸出圖形如圖3.1所示:圖3.13.1.2 分析函數(shù)當(dāng)x0,1 時(shí)的變化趨勢(shì).用MATLAB輸入程序：syms xfx=x/(x-1)-1/(x2-x);ezplot(fx,-

11、5,5)grid onhold on;plot(1,2, rd)xlabel(圖3.2f(x)的圖像)得到的函數(shù)圖像如下:圖3.2從圖3.1.2可知,當(dāng)x1時(shí), 函數(shù)f(x)以2為極限. 而當(dāng)x0時(shí),由f(x)的圖像知x0+時(shí),f(x)+; x0-時(shí), f(x)-.故f(x)當(dāng)x0時(shí)極限不存在.3.1.3 研究Dirichlet核的性質(zhì)Dirichlet核在Fourier級(jí)數(shù)理論中具有十分重要的意義, 而其性質(zhì)對(duì)初學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)生而言是比較難把握的， 但如使用MATLAB動(dòng)畫的計(jì)算, 可十分容易且直觀的得到Dirichlet核的性質(zhì). 我們知道 因此， 可以使用如下程序：x=-pi: 0.01

12、: pi:for k=0: 12plot(sin(sin(k+0.5)*x)./(2*sin(0.5*x)hold onend運(yùn)行， 可很易得出關(guān)于Dirichlet核的變化規(guī)律， 如圖3.3：圖3.3 Dirichlet核3.1.4 二重積分 D e-(x2+y2)d 相關(guān)問題【例3.1.4】計(jì)算D e-(x2+y2)d， 其中Dxy曲線 2xy=1, y=2x,x=2.5所圍成的平面區(qū)域. 編程如下：%繪制積分區(qū)域x = 0.08 : 0.001 : 3;y1 = 1./(2 * x);y2 = sqrt(2 * x);plot(x, y1, 'b-',x , y2, &#

13、39;m-', 2.5, x, 'r-'),%axis(0.53 5.3)% x = 1/2, y =1 計(jì)算兩條曲線的交點(diǎn)syms x yy1 = ('2 * x * y = 1');y2 = ('y - sqrt(2 * x) = 0');x, y = solve(y1, y2, x, y)% 計(jì)算積分syms x y f = exp(-(x2 + y2);y1 = 1/(2 * x);y2 = sqrt(2 * x);jfy = int(f, y, y1, y2);jfx = int(jfy, x, 0.5, 2.5);jf2 =

14、double(jfx);得到的函數(shù)圖像如下：圖3.43.1.5曲面積分 1+4x2+4y2ds相關(guān)問題計(jì)算曲面積分 1+4x2+4y2ds， 其中 是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2被平面z=1所截得的底部， 即在0z1的部分. 求曲面 的方程在x0y平面上的投影區(qū)域Dxy. 曲面 的方程為z=x2+y2， 在x0y平面上的投影區(qū)域Dxy為圓形閉區(qū)域：x2+y21， 即-1-x2y1-x2， -1x1.具體編程如下：%畫出積分區(qū)域的草圖x = -1 : 0.01 : 1;y1 = -sqrt(1 - x.2);y2 = sqrt(1 - x.2);plot(x, y1, 'b-', x

15、, y2, 'm-'),axis(-1.5 1.5 -1.5 1.5)title('由圓x2+y2=1所圍成的積分區(qū)域')% 計(jì)算曲面積分syms x yfunz = x2 + y2;fun = sqrt(1 + 4* x.2 + 4 * y.2);x1 = -1; x2 = 1;y1 = -sqrt(1 - x.2); y2 = sqrt(1 - x.2);I = qmjf1(funz, fun, y1, y2, x1, x2)y = double(I) 到的函數(shù)圖像如下：圖3.53.2 三維圖形(3-D Graph)會(huì)描繪簡(jiǎn)單的二次曲面的圖像是數(shù)學(xué)分析的基本

16、要求之一,也是學(xué)習(xí)三重積分和曲面積分的基礎(chǔ). 下面用幾個(gè)例子來闡述MATLAB在解決數(shù)學(xué)分析鄰域中的三維圖形的廣泛應(yīng)用.3.2.1 螺旋曲線例如:求螺旋線 x=2costy=2sintz=3t (0t6)的弧長(zhǎng).題中給出了螺旋線的參數(shù)方程, 但在算的過程中仍感到困難, 其主要原因之一就是對(duì)題目所給的區(qū)間不能準(zhǔn)確地定下來. 如能將相關(guān)的圖形繪制出來就有利于理解了. 為此在MATLAB下輸入:ezplot3(2*cos(t) ， 2*sin(t) ， 3*t， 0， 6*pi， animate)將得到的圖形如圖3.6所示：圖3.6 螺旋曲線3.2.2 馬鞍面馬鞍面是一種曲面， 又叫雙曲拋物面. 文

17、獻(xiàn)的課后練習(xí)題中出現(xiàn)了曲面方程z=x2a2-y2b2表示馬鞍面. 設(shè)a=3、b=2編程如下：x,y=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25); z=x.2/9-y.2/4;surf(x,y,z)title('馬鞍面')grid off 得到的函數(shù)圖像如下：圖3.7馬鞍面3.2.3莫比烏斯帶曲面積分是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一， 在曲面積分中,首先要了解單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面,其中一個(gè)著名的單側(cè)曲面就是莫比烏斯帶. 它的方程式為:r=a+bs cost2x=r costy=r sint z=bs sin(t2)其中 a,b為常數(shù)， s,t為參數(shù). 下面給出莫比烏斯

18、帶的MATLAB的程序:function z=mobius(a,b)s=linspace(-1,1,30);t=linspace(0,2*pi,30);S,T=meshgrid(s,t);X=(a+b.*S.*cos(T/2).*cos(T);Y=(a+b.*S.*cos(T/2).*sin(T);Z=b.*S.*sin(T/2);mesh(X,Y,Z)title(莫比烏斯帶)當(dāng) a=b,b=1 時(shí)的莫比烏斯帶如圖3.2.3所示: 圖3.8莫比烏斯帶3.2.4 二元函數(shù)z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2的相關(guān)問題設(shè)二元函數(shù) z=3(x-1)2e-(x+1)2-y2,取區(qū)域?yàn)?2.1x2.

19、1, -2.1y2.1， x和y的步長(zhǎng)均為0.2， 失球該曲面在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的法向量， 并畫圖. 解 輸入求該曲面在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的法向量和畫圖的程序：x,y = meshgrid(-2.1 : 0.2: 2.1, -2.1 : 0.2: 2.1);z = 3 * (x - 1).2.* exp(-(x+1).2 - y.2);surfnorm(x, y, z);得到的函數(shù)圖像如下：圖3.9 二元函數(shù)3.2.5 三重積分的符號(hào)計(jì)算及其MATLAB程序計(jì)算If=v (x+ex+sinz)dxdydz,其中積分區(qū)域V是由旋轉(zhuǎn)拋物面z=8-x2-y2,圓柱x2+y2=4和z=0所圍成的空間閉區(qū)域. 具體編程如

20、下：%繪制積分區(qū)域x, y = meshgrid(-2 : 0.01 : 2);z1 = 8 - (x.2 + y.2);figure(1)mesh(x, y, z1),hold on,x = -1 : 0.01: 2;r = 2;x, y, z = cylinder(r, 30); %半徑為2的圓柱面mesh(x, y, z),hold offtitle('由旋轉(zhuǎn)拋物面of z = 8 - (x2 + y.2);圓柱面 x2 + y2 = 4, 和z=0所圍成區(qū)域')figure(2)contour(x, y, z, 10)title('由旋轉(zhuǎn)拋物面of z = 8

21、- (x2 + y.2);圓柱面 x2 + y2 = 4, 和z=0所圍成區(qū)域的投影區(qū)域')%計(jì)算積分上下限syms x y zf1 = ('z = 8 - (x2 + y2)');f2 = ('x2 + y2 = 4');x, y, z = solve(f1, f2, x, y, z)%計(jì)算積分syms x y z f = x + exp(y) + sin(z);z1 = 0;z2 = 8 - (x2 + y2);x1 = -sqrt(4 - y2);x2 = sqrt(4 - y2);jfz = int(f, z, z1, z2);jfx = int

22、(jfz, x, x1, x2);jfy = int(jfx, y, -2, 2);jf2 = double(jfy)所得圖像如圖3.10：圖3.103.3空間曲線曲面相關(guān)問題3.3.1空間曲線的切線和法平面的實(shí)驗(yàn)空間曲線在點(diǎn)處的切線的方向向量為過點(diǎn)的切線方程為即過點(diǎn)的法平面方程為即設(shè)空間曲線L:x=3sint， y=cost， z=5t， 求L在 T=4 處的切線方程和法平面方程syms t x y z x1 = 3 * sin(t); y1 = 3 * cos(t); z1 = 5 * t;w1 = x1, y1, z1;S1 = jacobian(w1, t);t = pi / 4; x

23、0 = 3 * sin(t);y0 = 3 * cos(t);z0 = 5 * t;S0 = S1;v0 = subs(S0)t0 = t;F = -x; y; z + x0; y0; z0 + v0 * tG = x - x0; y - y0; z - z0.' * v0t = 0: pi/10 : 2 * pi;x = 3 * sin(t);y = 3 * cos(t);z = 5 * t;plot3(x, y, z), hold ont0 = pi/4;x0 = 3 * sin(t0); y0 = 3 * cos(t0); z0 = 5 * t0;plot3(x0, y0, z0

24、, 'ro'),hold off3.3.2 空間曲面的切線和法平面的實(shí)驗(yàn)（1）空間曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為過點(diǎn)的切平面方程為即 過點(diǎn)的法線方程為（2）空間曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為過點(diǎn)的切平面方程為即 過點(diǎn)的法線方程為設(shè)曲面方程求在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程.syms t x y z F = x2 + y2 + z2 - x * y - 3;x0 = 1; y0 = -1; z0 = 0;w = x, y, z;S1= jacobian(F,w)v1 = subs(S1, x, x0);v2 = subs(v1, y, y0);n = subs(v2, z, z0);F

25、= x - x0, y - y0, z - z0 * n'G = -x, y, z + x0, y0, z0 + n * tX1, Y1 = meshgrid(-2 : 0.2: 2, -2 : 0.2 : 2);Z1 = (-X1.2 - Y12 + X1.*Y1 + 3).(1/2);plot3(X1, Y1, Z1)hold onZ2 = -(-X1.2 - Y12 + X1.*Y1 + 3).(1/2);plot3(X1, y1, z2)xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'),hold onz0 =

26、 1; y0= -1; z0 = 0;plot3(x0, y0, z0, 'bo')hold off3.4 MATLAB在數(shù)學(xué)分析中的其他方面應(yīng)用3.4.1 計(jì)算交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的和對(duì)此問題， 使用 MATLAB 處理十分簡(jiǎn)單， 只需輸入如下程序： syms n symsum(-1)(n-1)/n， n， 1， inf) 就可得出結(jié)果=3.4.2 計(jì)算收斂問題設(shè)x1=1, y1=2, xn+1=xn+yn2, yn+1=xnyn , 證明 xn , yn 收斂. 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，許多人拿到這類問題后喜歡用初值進(jìn)行試算， 看看這兩個(gè)序列的變化規(guī)律. 當(dāng)然，這是很好的，可是算幾此

27、后， 就會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算變得十分繁瑣， 從而使得忙了一會(huì)卻沒有效果，從而放棄這一想法. 而使用 MATLAB 軟件， 只需要設(shè)計(jì)如下簡(jiǎn)單的程序, 就能達(dá)到事半功倍的效果.程序如下：x(1)=1；y(1)=2； for k=1：10 x(k+1)=(x(k)+y(k)/2； y(k+1)=sqrt(x(k)*y(k)； end程序運(yùn)行得到的結(jié)果如下：12345X1.00001.50001.45711.45681.4568Y2.00001.41421.45681.45681.4568678910X1.45681.45681.45681.45681.4568Y1.45681.45681.45681.45681.4568從所獲得的數(shù)值計(jì)算結(jié)果中，很容易看到這兩個(gè)序列極限相等. 當(dāng)然， 數(shù)值計(jì)算并不是理論上的證明， 但是有了此計(jì)算， 學(xué)者就可以很方便的知道將初值改變會(huì)發(fā)生什么結(jié)果， 這樣的考察就很容易聯(lián)想到離散動(dòng)力系統(tǒng)這一領(lǐng)域上去， 變被動(dòng)的計(jì)算為主動(dòng)， 這就通過MATLAB簡(jiǎn)單的編程所帶來的效果. 3.4.3函數(shù)的 10 階 Taylor 級(jí)數(shù)展開式計(jì)算出 xex-1 函數(shù)的 10 階 Taylor 級(jí)數(shù)展開式. 這是一個(gè)典型的實(shí)解析函數(shù)， 因此可以展開成 Taylor 級(jí)數(shù)， 但展開系數(shù)的計(jì)算， 當(dāng) Taylor