華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)

1、 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 4.4 解析函數(shù)的洛朗展式1、雙邊冪級數(shù)、雙邊冪級數(shù)2、解析函數(shù)的洛朗展式、解析函數(shù)的洛朗展式3、 典型例題典型例題 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)10000100()()()()nnnnnnnccc z zz zz zcc z zc z z ), 2, 1, 0(ncn定義定義 稱級數(shù)稱級數(shù)（4.3）為復(fù)常數(shù)，稱為復(fù)常數(shù)，稱 為雙邊冪級數(shù)（為雙邊冪級數(shù)（4.3）的系數(shù)）的系數(shù) 為雙邊冪級數(shù)，其中為雙邊冪級數(shù)，其中 一個以一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該可以在該圓域內(nèi)展開成圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù)的冪級數(shù). 如果如果

2、f (z)在在z0處不解析處不解析, 則在則在 z0 的鄰域內(nèi)就不能用的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況但是這種情況在實際問題中經(jīng)常遇到在實際問題中經(jīng)常遇到. 因此因此, 在本節(jié)中將討論在以在本節(jié)中將討論在以 z0 為為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.4.4.1 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù) 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)0雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)()nnnczz 負(fù)冪項部分負(fù)冪項部分非負(fù)冪項部分非負(fù)冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時收斂同時收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 f1(z)

3、f2(z)f(z) 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑011zzrr收斂域收斂域收斂收斂半徑半徑r0zzr收斂域收斂域1若若 ( ):rr 兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,2( ):rr 兩收斂域有兩收斂域有公共部分公共部分h:0.rzzrr1az0rrhf(z)=f1(z)+ f2(z)1r 時，收斂時，收斂 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)z022221111222nnnzzzzzz 1012nnnnzz 內(nèi)內(nèi)收收斂斂，在在111zznn內(nèi)內(nèi)收收斂斂，在在220zznn12z 雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)域雙邊冪級數(shù)在圓環(huán)

4、域 內(nèi)收斂內(nèi)收斂. .例如：雙邊冪級數(shù)例如：雙邊冪級數(shù) 這時這時,級數(shù)級數(shù)(4.3)在在圓環(huán)圓環(huán)h:r|z-z0|r 收斂于和函收斂于和函數(shù)數(shù)f(z)=f1(z)+ f2(z) 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. . 例如例如, , 可以證明可以證明, , 上述級數(shù)上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, , 而且可以逐項求積和逐而且可以逐項求積和逐項求導(dǎo)項求導(dǎo). .冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), , 級數(shù)級數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 現(xiàn)在反問現(xiàn)在反問

5、, , 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)成冪級數(shù)? ?先看下例先看下例. . 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)其次其次,在圓環(huán)域在圓環(huán)域:0|z-1|1內(nèi)也可以展開為內(nèi)也可以展開為z-1的負(fù)次冪級數(shù)的負(fù)次冪級數(shù):2121111( )(1)11(1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1oxy 函數(shù)函數(shù) 在在 及及 都不解析都不解析, ,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域 及及 內(nèi)部都是解析的內(nèi)部都是解析的. .先研究先研究 的情形的情形: :1( )(1)f zzz 0z 1z 0 | 1z 0 |1| 1z 0 |

6、1z 21111( )1.(1)1nf zzzzzzzzz 由此可見由此可見, 內(nèi)是可以展開為內(nèi)是可以展開為z的負(fù)次冪級數(shù)的負(fù)次冪級數(shù).( )0 | 1f zz在在 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 定理定理4.7 (洛朗定理洛朗定理) 在圓環(huán)在圓環(huán)h:r|z-z0|r, (r0,r+)內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊冪級必可展成雙邊冪級數(shù)數(shù)0)()nnnczzf z 其其中中1012012( ),()(,),nncfcdizn (4.3)4.4.2 4.4.2 解析函數(shù)的洛朗展式解析函數(shù)的洛朗展式cz0|(),( ).narrf zhcc c并并且且展展式式是是唯唯為為圓圓周周即即及及圓

7、圓環(huán)環(huán)唯唯一一地地決決系系數(shù)數(shù)一一定定了了的的 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)證證 設(shè)設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點為圓環(huán)域內(nèi)的任一點,在圓環(huán)域內(nèi)作在圓環(huán)域內(nèi)作以以z0為中心的正為中心的正向圓周向圓周k1與與k2, k2的半徑的半徑r大于大于k1的半徑的半徑r, 且使且使z在在k1與與k2之間之間.r1r2zrk1 rk2 z0由柯西積分公式得由柯西積分公式得211122( )( )( )kkfff zddiziz 02201,.zzkzkz 在在上上在在里里面面2201001122( )( )()()nnnkkffddzziziz 和泰勒展式一樣可以推得：和泰勒展式一樣可以推得： 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)

8、1112( )d.,kfkiz 第第二二個個積積分分由由于于 在在上上0101,.zzkzz 點點 在在的的外外部部0001111zzzzzz 因因此此100111001()(),()()nnnnnnzzzzzz 11101101122( )( )dd()( ),()nnnnnkkffzzrziziz 110012()( )( )d.()nnnn nkzfrzizz 其其中中00001,|zrqqzzzz 令令則則， 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)00lim,lim( ).nnnnqrz由由可可以以證證明明00001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz 因因此此21101

9、01( )d,(0,1,2,);2()1( )d,(1,2,) .2()nnknnkfcnizfcniz cr2r1z0 如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線的任何一條正向簡單閉曲線c, 則根據(jù)閉路變形原理則根據(jù)閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示這兩個式子可用一個式子來表示:101( )d,(0, 1, 2,)2()nncfcniz 0101201 2( )( )() ,d ,()(,)nnnnncff zc zzcizn 于于是是 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (z)在以在以z0為中心的圓環(huán)域為中心的圓環(huán)域: r1|z-z0|r2內(nèi)的內(nèi)的

10、洛朗洛朗(laurent)展開式展開式, 它右端的級數(shù)稱為它右端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)在此圓環(huán)域內(nèi)的域內(nèi)的洛朗級數(shù)洛朗級數(shù). 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項負(fù)冪項的級數(shù)是的級數(shù)是唯一唯一的的, 這個級數(shù)就是這個級數(shù)就是 f (z)的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù).0)()nnnczzf z 其中其中1010122( ),(,),()nncfcdniz 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)注注1 1：0nnnf zc z z 00nnnc z z 01nnnczz zz 0rzzr 0( )zzzr ：解解析析部部分分，在在內(nèi)內(nèi)解解析析；0(z)zzr ：奇

11、奇異異部部分分或或主主要要部部分分，在在解解析析。注：注：00laurentnnfznc;n 時時 ，系系 數(shù)數(shù)注注3：taylor級數(shù)是級數(shù)是laurent級數(shù)的特殊情形級數(shù)的特殊情形0f ( z )zzr 當(dāng)當(dāng)在在內(nèi)內(nèi)解解析析時時，101)012nnccf(z zzdzn;i 1012nncf zcdzizz 0012nfzn, , ,n! 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 注注4：同一函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的展開式不同；同一函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的展開式不同； 例如例如 在在 z=i 和和z=-i處展開函數(shù)處展開函數(shù) 為洛朗級數(shù)。為洛朗級數(shù)。12( )()if zz zi 展開點為展開點為i：f(z)在復(fù)平

12、面內(nèi)有兩個奇點在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點: z=0與與z= i, 分別在以分別在以i為中心的圓周為中心的圓周: |z-i|=1與與|z-i|=2上上. 因此因此, f (z)在以在以i為中心的圓環(huán)域為中心的圓環(huán)域(包括圓域包括圓域)內(nèi)的展開內(nèi)的展開 式有三個式有三個: 1)在在|z-i|1中的泰勒展開式中的泰勒展開式; 2)在在1|z-i|2中的洛朗展開式中的洛朗展開式; 3)在在2|z-i|+ 中的洛朗展開式中的洛朗展開式;oii 展開點為展開點為 i：f(z)在復(fù)平面內(nèi)有一個奇點在復(fù)平面內(nèi)有一個奇點: z=0在以在以-i為為中心的圓周中心的圓周:|z+i|=1上上. 因此因此, f (z)在以在

13、以-i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個: 1)在在0 |z+i|1中的洛朗展開式中的洛朗展開式; 2)在在1|z+i| + 中的洛朗展開式。中的洛朗展開式。i0 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)將函數(shù)展為洛朗級數(shù)將函數(shù)展為洛朗級數(shù)常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點缺點: 計算往往很麻煩計算往往很麻煩. 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)4.4.3 典型例題典型例題例例1 1, 0

14、 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解：解：,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 cnnzfic d213 cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzc , 3 時時當(dāng)當(dāng) n0 nc, 2在圓環(huán)域內(nèi)解析在圓環(huán)域內(nèi)解析zez故由柯西故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時時當(dāng)當(dāng) n由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n d213 cnneic 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)根據(jù)正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方

15、法去展開用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點優(yōu)點 : 簡捷簡捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 = 0 既是各負(fù)冪項的奇點既是各負(fù)冪項的奇點, ,. 2的奇點的奇點也是函數(shù)也是函數(shù)zez 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處

16、處解析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解：解：,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 zoxy1,1 z由于由于12 z從而從而 nzzzz2111則則2112121zz nnzzz22212122 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù) )( zf所以所以)1 (2 zz 421212zz 2874321zz , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 zzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z 2112121zz nnzzz2221212212oxy)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111

17、121zzzzznn 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù), 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 24211zzz, 121 zz此時此時仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)注意注意:0 z奇點但卻不是函數(shù)奇點但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf的奇點的奇點 .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項的是各負(fù)冪項的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負(fù)冪項的負(fù)冪項,

18、 而且而且0z又是這些又是這些項的奇點項的奇點, 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點的奇點,也可能也可能)(zf的奇點的奇點.不是不是 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)2. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后以后, 函數(shù)可以在以函數(shù)可以在以z0為中心的為中心的(由奇點隔開的由奇點隔開的)不同圓環(huán)域不同圓環(huán)域內(nèi)解析內(nèi)解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式式 (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).回答回答：不矛盾：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相

19、矛盾問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)解：解： z0例例3 將函數(shù)將函數(shù) 及及 在在z0=0的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù). 2 sinsinzzzz21352241111352111113521sin()!()!()!()!nnnnzzzzzzznzzzn 2135222131111352111113521sin()!()!()!()!nnnnzzzzzzznzzzzn z0 4.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)2113()()zz 13|z 例例4:4:求函數(shù)求函數(shù)在圓環(huán)在圓環(huán)內(nèi)的羅朗級數(shù)展式內(nèi)的羅朗級數(shù)展式. . 13|z 1113|,|zz 解：解：由于由于，那么，那么 我們得我們得22221113113138318311()()()(