橢圓及其標準方程優(yōu)秀(公開課)（課堂PPT）

1、2.1.1橢圓及其標準方程仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓 2F1F MM 一、橢圓的定義：一、橢圓的定義： 平面內與兩個定點平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個定點叫做這兩個定點叫做橢圓的橢圓的焦點焦點(F1、F2 )，兩焦點的距離叫做兩焦點的距離叫做橢圓的橢圓的焦距焦距|F1F2|.1、橢圓的定義：、橢圓的定義： 平面內到平面內到兩兩個定點個定點F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常常數(shù)數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢

2、圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。1F2FM幾點說明：幾點說明：1、F1、F2是是兩個不同的點兩個不同的點；2、M是橢圓上任意一點是橢圓上任意一點，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2| = | = 常數(shù)常數(shù)；3、通常這個通常這個常數(shù)常數(shù)記為記為2a，焦距焦距記為記為2c，且，且2a2c；4、如果如果2a = 2c，則，則M點的點的軌跡是線段軌跡是線段F1F2.5、如果如果2a |F1F2|=4，故點，故點M的軌跡為的軌跡為橢圓。橢圓。因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點，故點M的軌跡的軌跡不是橢圓不是橢圓 (是線

3、段是線段F1F2)。，故點M的軌跡為橢圓，故點M的軌跡為橢圓2 22 2| |F FF F| |3 3| |MFMF| | |MFMF| |因因2 21 12 21 1 (3)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為3的點的軌跡。的點的軌跡。因因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故點故點M的軌跡不存在。的軌跡不存在。如圖，建立直角坐標系如圖，建立直角坐標系xOy，使使x軸經(jīng)過點軸經(jīng)過點F1、F2，并且，并且點點O與線段與線段F1F2的中點重合的中點重合.設點設點M(x, y)是橢圓上任一點，是橢圓上任一點，橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0). 焦點焦點F1、F2

4、的坐標分別是的坐標分別是 (c, 0)、(c, 0)又設又設M與與F1和和F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)2a|MF1|MF2|2a2. 橢圓標準方程的推導：橢圓標準方程的推導：講授新課講授新課OXYF1F2M如圖所示：如圖所示： F1、F2為兩定為兩定點，且點，且|F1F2|=2c，求平面，求平面內到兩定點內到兩定點F1、F2距離之距離之和為定值和為定值2a（2a2c)的動的動點點M的軌跡方程。的軌跡方程。 解：以解：以F1F2所在直線為所在直線為X軸，軸， F1F2 的中的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為的坐標分別為(-c

5、,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，為所求軌跡上的任意一點，則則:|MF1|+ |MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為因為2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :

6、ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以兩邊同時除以a2b2得：得：(ab0)這個方程叫做這個方程叫做橢圓的標準方程，橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點在焦點在x 軸上。軸上。(ab0).12222byax橢圓的標準方程：橢圓的標準方程：是是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且，且c2a2b2.它所表示的橢圓的焦點在它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點軸上，焦點講授新課講授新課oyx 1F 2F),(yxP 講授新課講授新課 如果使點如果使點F1、F2在在y軸上，點軸上，點F1、F2的坐標是的坐標是F1(0,c)、F

7、2(0, c)，則橢圓方程為：則橢圓方程為：(ab0).12222 bxayoyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP12222 byax12222 bxay如何根據(jù)標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？如何根據(jù)標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？ 橢圓的方程 012222 babyax與與 222210yxabab 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上 橢圓標準方程中橢圓標準方程中x2項的分母較大；項的分母較大； 橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸上軸上 橢圓標準方程中橢圓標準方程中y2項的分母較大項的分母較大橢圓的方程aA1yOF1F2xB2B1A2cb橢圓方程的幾何意義：橢圓方程的幾

8、何意義：xyo1F2F0 12222babyax橢圓的標準方程橢圓的標準方程定義定義圖形圖形方程方程焦點焦點a、b、c之之間的關間的關系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)b2=a2 c2分母分母哪個哪個大大，焦點焦點就在哪一根就在哪一根坐標軸坐標軸上上 1169144222 yx）11625122 yx）答答:在在 x 軸上軸上(-3,0)和和(3,0）答答:在在 y 軸上軸上(0,-5)和和(0,5）1132222 mymx）答答:在在

9、y 軸上軸上(0,-1)和和(0,1)焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。判定下列橢圓的焦點在判定下列橢圓的焦點在 哪個軸上，寫出焦點坐標。哪個軸上，寫出焦點坐標。寫出適合下列條件的橢圓的標準方程寫出適合下列條件的橢圓的標準方程 (1) a =4，b=1，焦點在，焦點在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點在坐標軸上；，焦點在坐標軸上； 11622 yx11622yx11622yx或例、橢圓的兩個焦點的坐標分別是例、橢圓的兩個焦點的坐標分別是(4, 0 )、( 4 , 0 )，橢圓上一點橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10,求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 12yoFFMx解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為: 1=by+ax22221=9y+25