高中數學人教A版（2019）必修第一冊 第一講 集合及其關系 講義（含答案）

第一講---集合及其關系知識背景集合論的創(chuàng)始人——康托爾（1845-1918），德國數學家，生于俄國圣彼得堡（今蘇聯列寧格勒）。父親是猶太血統的丹麥商人，母親出身藝術世家，1856年全家遷居德國的法蘭克福。1890年領導創(chuàng)立德國數學家聯合會并任首屆主席?？低袪枏奶岢黾险撝两褚延幸话俣嗄?，數學家們評價：它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。集合是高中數學的第一個知識點，學校教學時間通常為一個月。集合概念抽象，符號術語多，研究方法跟學習初中數學時有著明顯的差異，是學習高中數學的第一個“攔路虎”。集合符號語言是數學中的獨特語言，學好集合這一節(jié)內容可促使學生從形象思維向抽象思維的轉化。集合是一種數學語言，是對數學的進一步抽象，它將貫穿在整個高中數學內容中，甚至在今后的數學學習中，將集合的概念和理論滲透到數學的各類分支中，會有利于提高學生的數學素養(yǎng)。知識要點集合的概念一、集合的概念（1）集合：能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集。（2）元素：集合中的各個對象叫做這個集合的元素。例1、下列對象的全體，哪些可以構成集合？為什么？(1)我們班級中的高個子同學；(2)我們班級中的身高接近170cm的同學；(3)我們班級中的身高超過170cm的同學；（4）著名的足球運動員；（5）絕對值最小的實數；(6)二次函數圖像上的點的坐標。解：（1）不能，不確定；（2）不能，不確定；（3）能，可確定；（4）不能，不能確定；（5）能，；（6）能，。二、元素與集合的關系（1）屬于：如果是集合的元素，就說屬于，記作；（2）不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作。例2、用符號“”、“”填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。三、集合中元素的三個特性（1）確定性：對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的；（2）互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素是各不相同的；（3）無序性：對于一個給定的集合，集合中的元素的排列，沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）。四、集合的分類（1）有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集。（2）無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集。空集：不含任何元素的集合，記作，如：。五、特殊集合的符號（1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合，記作：；（2）正整數集：非負整數集內排除的集，記作：；（3）整數集：全體整數的集合，記作：；（4）有理數集：全體有理數的集合，記作：；（5）實數集：全體實數的集合，記作：。六、集合的表示法（1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內，這種表示集合的方法叫做列舉法。（2）描述法：在大括號內先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，這種表示集合的方法叫做描述法。表示：；含義：在集合中滿足條件的的集合。例如：所有直角三角形的集合可以表示為：注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分，如：{直角三角形}；{大于的實數}；（2）錯誤表示法：{實數集}、{全體實數}等。例3、用列舉法或描述法表示下列集合：(1)方程的解集；（2）直線上的所有點的坐標組成的集合；（3）使函數有意義的的值組成的集合；（4）方程組的解組成的集合；（5）由的所有可能的取值所組成的集合（其中）。解：（1）或；（2）；（3）或；（4）；（5）。例4、對于集合,若滿足:當時,則且,我們稱集合為“完美”集.問:(1)自然數集是否是“完美”集?為什么?(2)無理數集是否是“完美”集?為什么?(3)由形如:的數形成的集合是否是“完美”集?說明理由.解：（1）是；（2）不是，如：。（3）是。。例5、已知集合，分別求下列條件下實數的取值范圍：(1)；(2)中只有一個元素；(3)中有兩不同的元素且都為正數。解：（1）；（2）；（3）。集合之間的關系1、子集：對于兩個集合與，如果集合的任何一個元素都屬于集合，那么集合就叫做集合的子集，記作：，讀作：“包含于，或包含”。注：（1）；（2）有兩種可能：①是的一部分；②與是同一集合。性質：（1）空集是任何集合的子集，即：；（2）任何一個集合都是它本身的子集，即：；（3）若，且，則。2、集合相等：對于兩個集合與，如果且，那么叫做我們就說集合與集合相等，記作：，讀作“集合等于集合”。3、真子集：對于兩個集合A與B，如果，并且中至少有一個元素不屬于，那么集合叫做集合的真子集，記作：或，讀：“真包含于”或“真包含”。性質：（1）空集是任何非空集合的真子集，；即：若，則；（2）若，則；（3）若，且，則。例1、已知集合,寫出集合的所有子集.解：，，，，，，，。例2、用適當的符號填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。例3、判斷下列每組兩個集合的關系：（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1）；（2）；（3）；（4）。例4、已知集合,判斷并說明集合之間的關系.解：任取，則，則，則。存在，，所以。例5、已知，，且，求實數的值。解：，（1）；（2）；（3）。所以。例6、填空：集合有個子集，有個真子集；集合有個子集，有個真子集；集合有個子集，有個真子集；集合有個子集，有個真子集。例7、（1），求集合的個數；（2），求集合的個數；（3），求集合的個數。解：（1）；（2）；（3）。重要結論：1、含個元素的集合的子集數為；非空子集數為；真子集數為；非空真子集數為。2、設，則滿足條件的的個數是：；設，則滿足條件的的個數是：；設，則滿足條件的的個數是：；設，則滿足條件的的個數是：。例8、已知集合，求集合的所有非空子集元素和的和。解：含有元素1的子集有個，所以1在總和中出現次，同理其他元素各出現次。所以所求和的和為思考：推廣結論是什么？課堂精練1、用適當的符號填空：（，） 已知集合，，則用列舉法表示集合。2、從自然數這個數中任取兩個相加,得到的和作為集合的元素,則的非空真子集共有個.3、已知集合，，若，則的值是。4、已知集合，對它的非空子集，將中每個元素，都乘以，再求和，如，可求得和為，則對的所有非空子集，這些和的總和是。165、設是一個數集,且至少含有兩個數,若對任意,都有(除數,則稱是一個數域.例如有理數集是數域；數集也是數域.有下列命題:①整數集是數域；②若有理數集,則數集必為數域；③數域必為無限集；④存在無窮多個數域.其中正確的命題的序號是.(把你認為正確的命題的序號填填上)③④6、已知集合，，,則集合之間的關系是。7、設的子集為，則N的子集中包含元素1和10的集合有（）個CA、10B、64C、128D、2568、設集合，，，若，，則（）DA、B、C、D、以上答案都不對9、設集合,,且.若,求實數的值.解：，（1）；（2）；（3）10、設集合是由一些自然數組成的非空集合,且具有性質:“若,則”回答下列問題:(1)試寫出只有一個元素的集合；(2)寫出所有只有兩個元素的集合；(3)集合最多能有幾個元素？寫出滿足性質且元素最多時的集合；（4）這樣的集合共有多少個？解：（1）；（2），，，，，，，；（3）17個，；（4）把0與16，1與15，2與14，。。。，8各自看作一個元素，則集合是九個元素的集合的非空子集，共有個。11、設函數,集合,.(1)證明:；(2)當時,求集合；（3）若是只含有一個元素的集合，證明。解：（1）證明：任取，則，則。（2）的兩根為-1，3代入化簡得：，所以。（3）設集合，則方程有重根，，代入中：，則.12、已知非空集合的元素全為實數，且滿足：若，則.①若，求所含元素個數最少的集合；②是不是集合中的元素？請寫出一個不同于①中的集合；③根據①②，能歸納出有關集合的什么結論？請說明理由.解：①由，則，又由，得，再由，得，而，得，故．②不是中的元素．若，則，而，故不是中的元素．取，可得．③(ⅰ)中沒有元素；(ⅱ)中元素個數為個，且每兩個互為負倒數．證：(ⅰ)由②知：．若，則，矛盾.故.(ⅱ)設，則，而，∴、、、必同在集合中.若，則，無實數解，∴，同理可得：、、、兩兩不等.且.故中元素個數為個，且每兩個互為負倒數．課后精練1、A是由一切能表示成兩個整數的平方之差的全體整數組成的集合，證明：(1)任意奇數都是A的元素；(2)偶數4k－2(kZ)不屬于A．證明：設A={x|x=a2－b2，a、bZ}，（1）設任意奇數x=2k+1,kZ，則x=k2+2k+1－k2=(k+1)2－k2A；（2）（反證法）假設任意偶數x=4k－2,kZ屬于A，則設x=a2－b2，a、bZ，于是有2(2k－1)=(a+b)(a－b)，…①在上述①式中，等號右邊的a+b與a－b同奇同偶，則x或為奇數，或為4的整數倍；而等號左邊是2與一個奇數的積，則x不能被4整除，由此產生矛盾．所以假設不成立，原結論成立．2、（美國第七屆競賽題）設為集合具有下列性質的子集，中任意兩不同元素之和不能被整除，那么中元素最多可能有多少個？解：把集合劃分成個子