解析幾何中定值與定點(diǎn)問題

1、解析幾何中定值與定點(diǎn)問題探究問題解決的技巧、方法】(1) 定點(diǎn)和定值問題就是在運(yùn)動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要 解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2) 解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再 視具體情況進(jìn)行研究實例探究】題型 1：定值問題 :例1已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于(I) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線I交橢圓C于A B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 為定值 .解：(I )設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知 b = 1.橢圓C的方程

2、為(II )方法一：設(shè)A、B M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 易知 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為( 2， 0) .將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 去分母整理得方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為( 2，0).顯然直線I存在的斜率，設(shè)直線I的斜率為k，則直線I的方程是 將直線I的方程代入到橢圓 C的方程中，消去y并整理得例2.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,3/2),兩個焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0).1) 求橢圓方程2) E、F是橢圓上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值( 1 ) a2 - b2=c2 =1設(shè)橢圓方程為 x2/(b2+1) +

3、y2/b2=1將(1, 3/2 )代入整理得 4X4- 9b2-9=0解得b2=3 (另一值舍) 所以橢圓方程為x2/4+y2/3=1(2)設(shè)AE斜率為k則 AE方程為 y-(3/2)=k(x-1)x2/4+y2/3=1，聯(lián)立得出兩個解一個是A (1,3/2 )另一個是E (x1, y1)代入消去 y 得(1/4+k2/3 ) x2 - (2k2/3 -k ) x+k2/3 -k-1/4=0 根據(jù)韋達(dá)定理x1 1= (k2/3 -k-1/4 ) / (1/4+k2/3 )3將的結(jié)果代入式得y1 =(-k2/2 -k/2+3/8 ) /(1/4+k2/3)設(shè)AF斜率為-k , 則AF方程為y-F

4、 (x2, y2)(3/2 ) =-k (x-1 )® x2/4+y2/3=1 聯(lián)立同樣解得x2=(k2/3+k -1/4 ) / (1/4+k2/3 )y2=(- k2/2+k/2+3/8 )EF斜率為(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個定值是x* 2例3、已知橢圓2a(I)求橢圓的方程；2b2 1(a b/ (1/4+k2/3 )1/2。76L0)的離心率為，且過點(diǎn)(J2,1).3(n)若過點(diǎn) c(-1,0)且斜率為k的直線I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A, B，試問在x軸,0 十亠亠，亠 LLUL LULL5上是否存在點(diǎn)M，使MA LLB 3b2a2

5、一是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若1不存在，請說明理由.又Q橢圓過點(diǎn)(72, 1)，代入橢圓方程，得_22a1b2所以a25,b2橢圓方程為¥1，即 x2 3y25.534uLun uum(2)在x軸上存在點(diǎn) mQ,。)，使ma mb_5_3k2LULL LUU 5證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M( m,0),使MA MB : 是與k無關(guān)的常數(shù), 3k2 1-是與K無關(guān)的常數(shù).1直線L過點(diǎn)C (-1 , 0)且斜率為K, L方程為y k(x 1),2 o 2c6k2x 3k20.由 X 3y5,得（3k2 1）x2y k（x 1）,設(shè) A（Xi，yi）,B（X2，y2）,則

6、XiX26k3p-2,X11X23k253k21uuu MA（XiLULUm,y1）,MB（X2 m,y2）,UUL二 MALunMB53k2 1（X1m）（X2 m）XiX2k2X1 1 x253k2 1 _5 3k2k2X1X221mx-iX2m2k2153k2 1k23k23k2 1k26k2m 23k2k253k2 1k2 6mk2 3m2k23k21m2設(shè)常數(shù)為t,k2 6mk2 3m2k23k2 1t.整理得(3m26m 123t）kt 0對任意的k恒成立,3m2 6m m2 t 0.1 3t0,解得即在X軸上存在點(diǎn)M（丄,。）,6使IMAUULMB3k25 -是與K無關(guān)的常數(shù).1

7、題型2:定點(diǎn)問題21 （a > b > 0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直X例4.已知橢圓C:a)的動直線L交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在角三角形，直線x-y+b=0(1) 求橢圓的方程(2) 過點(diǎn) S (0, -1/3是拋物線y2=4x的一條切線。一個定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) T?若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存在，請說 明理由。例5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 C:,如圖所示，斜率為 k (k> 0)且不過 原點(diǎn)的直線I交橢圓C于A, B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E,射線OE交橢圓C于點(diǎn)G,交直 線 x=-3 于點(diǎn) D (-3

8、, m)(I)求mi+k2的最小值;(n)若 |OG|2=|OD| |0E|,(i)求證：直線l過定點(diǎn);(ii)試問點(diǎn) B, G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由。解：(I)由題意：設(shè)直線 I : y=kx+ n(n豐0),由，消y 得:, 設(shè)A B, AB的中點(diǎn)E, 則由韋達(dá)定理得:=， 即，, 所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,因為O E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以k0E=k0D,即，解得，所以m+k2=，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號，即m+k2的最小值為2。(n) (i)證明：由題意知：n>0，因為直線 0D的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，又因為，且 |OG|2

9、=|OD| |OE| , 所以,又由(I)知：，所以解得k=n, 所以直線I的方程為I : y=kx+k，即有I : y=k (x+1),令x=-1得，y=0，與實數(shù)k無關(guān)，所以直線I過定點(diǎn)(-1 , 0);(ii)假設(shè)點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對稱，則有 ABG的外接圓的圓心在 x軸上,又在線段 AB的中垂線上，由(i)知點(diǎn) G 所以點(diǎn)B,又因為直線I過定點(diǎn)(-1 , 0), 所以直線I的斜率為， 又因為，所以解得或 6, 又因為，所以mf=6舍去，即=1,此時 k=1 , m=1, E,AB的中垂線為 2x+2y+1=0,圓心坐標(biāo)為，G圓半徑為，圓的方程為；綜上所述，點(diǎn)B, G關(guān)于x軸對稱，此時 A

10、BG的外接圓的方程為。【針對練習(xí)】1. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(I )求橢圓的方程；(n)點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)(川)在(n)的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點(diǎn) 分別為，若,試證明為定值,并求出這個定值.，連接,設(shè)的角平分線交 的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍； ,設(shè)直線的斜率x軸于A, B兩點(diǎn),連結(jié)并延長SA SB分別交拋物線于C D兩點(diǎn)。2、如圖，是拋物線為上的一點(diǎn)，以S為圓心，r為半徑()做圓，分別交(I )求證：直線CD勺斜率為定值;(n )延長DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,若EC: ED= 1 : 3，求的值。2

11、 23、已知橢圓 C： 2 "21( a ba b0)的離心率為1 3-，點(diǎn)(1,-)在橢圓2 2(I )求橢圓C的方程；(n )若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn) M4, t),其中t R,切點(diǎn)分別是 A B試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓2 2篤 存 1上的點(diǎn)(xo,yo)處的橢圓切線方程是 暫 黑 1,證明直線AB恒過橢圓的右 a ba b焦點(diǎn)F2；XgXyoy(川)在(n)的前提下，試探究IAF2I IBF2I 的值是否恒為常數(shù)，若是,求出此常數(shù)；若不是,請說明理由.2x4、橢圓C ： 2a2古1(ab 0)的離心率為2，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為應(yīng)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; 若直線l : y

12、 kx m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓 坐標(biāo).C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的25、如圖，已知橢圓C4x 2y 1,A, B是四條直線x 2, y1所圍成長方形的兩個頂uuu uuu uuu(1 )設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若 OP mOA nOB,求證：動點(diǎn)Q(m,n)在定圓上運(yùn)動，并求出定圓的方程;(2)若M、N是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，且直線 OM、ON 的斜率之積等于直線 OA、OB的斜率之積，試探求 OMN的面積是否為定值，說明理由【針對練習(xí)參考答案】1、解：(I)由于，將代入橢圓方程得由題意知，即又所以，所以橢圓方程為(n)由題意

13、可知:=,=,設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得:m(,因為， 所以，而，所以(3) 由題意可知，1為橢圓的在P點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程尸 ,所以，而，代入中得為定值.2、解(1)將點(diǎn)(1, 1)代入，得拋物線方程為設(shè)，與拋物線方程 聯(lián)立得: 由題意有,(2 )設(shè)同理因此:3、解:(2y2 1( a b 0) bb2a22I )設(shè)橢圓c的方程為篤a3 313Q點(diǎn)(1, 3)在橢圓C上,斗4 2a224,b23 橢圓C的方程為一4由得：a2-9i 1 4b22It 1,(n )設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A(x1, y1), B(x2,y2),則切線方程分別為X1X yy431,曽于1.又兩條切線交于點(diǎn)

14、M(4, t),即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程即 X1£ y11, X2 y233-y 1,顯然對任意實數(shù)t,點(diǎn)(1,0)3故直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn)(n )將直線AB的方程xF2.t3y都適合這個方程,1，代入橢圓方程，得3( - y 1)2 4y2 12 0,3即匸 4)y2 2ty3不妨設(shè)y10, y2y1,14所以IAF2I1所以IAF2I13,1= (1 bf2 1 尿9 y1的值恒為常數(shù)|BF2|丄)y243y2y1 = _3Jt2 9y1 y2Tt2" J(y2 yJ29 屮y4、解：(1)由題：e左焦點(diǎn)(一c,0)到點(diǎn)R2,1)的距離為:由可解得c = 12x所

15、求橢圓C的方程為 +4(2)設(shè)A(xi,yi)、B(X2, y2)，將y = kx + m代入橢圓方程得2(4 k + 3)2 2X + 8 kmx+ 4 m 12 = 0 .二 Xi + X2 =8 km，X1X2 =4m2 124k 2 + 3 ，且屮=kxi + m y2 = kx2 + mx AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A2(2,o)，所以 Na ?Nb = 0 .所以(X1 2,y1)(X2 2,y2)= ( x 2) ( X2 2) + yy? = ( X1 - 2)(X2 2) + (kx1 + m ( kx22=(k + 1)2=(k + 1)X1X2 + ( km- 2) (

16、X1 + 4m 124k 2 + 32X2)+m + 4整理得+ 16 km+ 4若m=2k時，直線若m=-(km- 2)8 km4k 2 + 3I 為 y = kx 2k =或m= - 2k都滿足k ( x 2)，恒過定點(diǎn)A?(2,0),不合題意舍去2 2 2 2 7 k 時，直線 I 為 y = kx 7 k = k ( x7 ), 恒過定點(diǎn)(7 ,0)5.解析：(1)證明：由題意可知 設(shè) P(xo, yo)，則 x + y0 = 1.A(2,1) , B( 2,1).由 0P= mOA- nOB 得x 2m2nyom2+ (m+ n) = 1,2 2 1 即 m +n = 2.22 I故點(diǎn)Q(m, n)在定圓x + y=空上.yiy2i(2)設(shè) M(xi, yi), N(X2, y2)，則=-X 2X22. Xi i 2 2 i 4