洛必達(dá)法則泰勒定律

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二講洛必達(dá)法則泰勒公式目的1 .使學(xué)生掌握用洛必達(dá)法則求各種類型未定式極限的方法;2 .理解泰勒中值定理的內(nèi)涵;3. 了解代如兀8£工血0+工）1 +工尸等函數(shù)的麥克勞林公式;4 .學(xué)會泰勒中值定理的一些簡單應(yīng)用.重占.IA 八、1 .運(yùn)用洛必達(dá)法則求各種類型未定式極限的方法;2 .使學(xué)生理解泰勒中值定理的內(nèi)涵.難點(diǎn)使學(xué)生深刻理解泰勒中值定理的精髓.、洛必達(dá)法則在第一章第七節(jié)中我們曾經(jīng)討論過無窮小的比較問題,并且已經(jīng)知道兩個無窮小之比的而由無窮大極限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的極限運(yùn)算法則去求解.與無窮小的關(guān)系知， 無窮大之比的極限

2、問題也是如此.在數(shù)學(xué)上，通常把無窮小之比的極限0 00和無窮大之比的極限稱為未定式，并分別簡記為D和x'由于在討論上述未定式的極限時，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，這或多或少地都會給未定式極限的討論帶來一定的困難.今天在這里我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的理論推出一種既簡便又重要的0未定式極限的計(jì)算方法，并著重討論當(dāng)XT說時，0型未定式極限的計(jì)算，關(guān)于這種情形有以下定理.定理1設(shè)當(dāng)xd時，函數(shù)/（力及Fb）都趨于零;在點(diǎn)也的某去心鄰域內(nèi)，了（卞）及h）都存在，且F O 存在（或?yàn)闊o窮大）,也就是說,存在時,7加也存在，且等于輒網(wǎng)；當(dāng)輒黑為無窮大時， zFE 也是無窮大.這種在一定條件下，通過分子分母分別求導(dǎo)

3、，再求極限來確定未定式極限的方法稱為洛必達(dá)（L' Hospital）法則.F面我們給出定理1的嚴(yán)格證明:分析由于上述定理的結(jié)論是把函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的問題，顯然應(yīng)考慮微分中值 定理.再由分子和分母是兩個不同的函數(shù)，因此應(yīng)考慮應(yīng)用柯西中值定理.lim型證因?yàn)榍髽O限zF（x）與/ W及月的取值無關(guān)，所以可以假定/（口）=盹）=0.于是由條件和知，了及斤W在點(diǎn)出的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的.設(shè)憑是這鄰域內(nèi)一點(diǎn),則在以X及注為端點(diǎn)的區(qū)間上，函數(shù)Zb）和F&）滿足柯西中值定理的條件，因此在用和住之間至少存在一點(diǎn)F，使得等式則川）-呷_/© 雨%）-町）F它）G在兀與住之間）成立.又

4、因?yàn)闃O限°F憶）存在（或?yàn)闊o窮大），所以注若輒鷄故定理1成立.0仍為6型未定式，且此時/和"）能滿足定理1中和叫）所要滿足的條件，則可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則先確定血馬 lim7（，從而確定Z S和zFx) Z F 送)f F (力且這種情況可以繼續(xù)依此類推.? elim 例1求3品工分析當(dāng)E TO時,0分子分母的極限皆為零，故屬于°型不定式，可考慮應(yīng)用洛必達(dá)法則.總一0lim"0 sm Z=lim so CCS X最后一個求極限的函數(shù)匸心在x = °處是連續(xù)的.lim了例2求sin X0拓A-sin , f-sin TT ilQl = 111X1

5、r-*-0 天£tO（1 一匚sjc）sin J； 1=lim=3 6注例2中我們連續(xù)應(yīng)用了兩次洛必達(dá)法則.km解=嗯丄右T性詁If24lim 2 一 A臨/ V-tin聳_1 = _血 早_ = ' liin 二=亠曲 2 5 石 3 r 4 72 T X - 4）屈 5 2z 翻注在例4中，如果我們不提出分母中的非零因子,則在應(yīng)用洛必達(dá)法則時需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)舊"-，從而使運(yùn)算復(fù)雜化.因此，在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時，特別要注意通過提取因子，作等價無窮小代換，利用兩個重要極限的結(jié)果等方法，使運(yùn)算盡可能地得到簡化.課后請同學(xué)們自己學(xué)習(xí)教材136頁上的例10 .2 In 2

6、11 ni(2)例4中的極限 宀2 2工已不是未定式，不能對它應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則要導(dǎo)致錯誤的結(jié)果.以后在應(yīng)用洛必達(dá)法則時應(yīng)特別注意，不是未定式，不能應(yīng)用洛必達(dá)法則.0對于XTOO時的未定式0有以下定理.定理2設(shè)當(dāng)xfra時，函數(shù)了 G)及恥)都趨于零;時，f W與琲）都存在，且FW羊0 ；怛需存在（或?yàn)闊o窮大）,同樣地，對于XT門（或*'）時的未定式8，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則.定理3設(shè)（1）當(dāng)齊Ta（或XT00）時，函數(shù)y W及“都趨于無窮大;在點(diǎn)門的某去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)計(jì)皿時），八）及小）都存在，且尸3工0 ；當(dāng)為F I耳）存在（或?yàn)闊o窮大）,In Xurn 5求 X=0.In X十h

7、m = Jim丫甘電工NIT*&bm 例6求"F©為正整數(shù)說 0）llffi - = lift! 解F總旳十4 P1）兀 21«! C=lim _F= -' = lifti = 0事實(shí)上，例6中的兀不是正整數(shù)而是任何正數(shù)其極限仍為零.注由例5和例6可見，當(dāng)芒T +00時，函數(shù)血總F (mg尹U > °)都是無窮大，但三個函數(shù)增大的“速度”是不一樣的,0 U A °)最快，其次是x'aO),最慢2的是血兀0 TO除了 0和8型未定式外，還有Ogro- 00,0型的未定式.這些未定式可轉(zhuǎn)化0 00為0或OD型的未定式來

8、計(jì)算，下面我們通過實(shí)例來加以說明.hm j" In X (見 > 0)例7求分析因?yàn)閘am X = 0 lim 111 J = -oa"曠，工乂+，所以lim j" In X (« > 0)冷心廣是型未定式.又因?yàn)镮n Zto 1是g型未定式,0h兀是0型未定式,0所以° a型未定式可以轉(zhuǎn)化為0或g型未定式去計(jì)算. / lim - = lim jfHQ+ 科2-尹=0Im(5ec7 - tan jt) 例8求F分析因?yàn)槭?又因?yàn)閘imcosx而lim sec T = oolim沁工=CD，所以lim (secH t加 j)f是旳血型

9、未定lim (sec x- tan x) = lim 3號2乳SUL X1- SJll X=limf cosx0 0是0型未定式，所以上述 旳旳型未定式可以轉(zhuǎn)化為°型未定式來計(jì)算.、一 ( l-sinxCOSJTlim sec - tan zj = lim = km =U解"T豐cos X *-»? sin K注討論閃一型未定式的極限，一般都是通過提取公因式或通分的方法把函數(shù)由和的形式轉(zhuǎn)化為商的形式,然后再去討論.lim X例9求2曠是一個幕指函數(shù)求極限的問題，bni X'所以心廣 是一個0°型未定式.又因?yàn)?-f rbinA = uine 帶亠

10、f*"ir-yO+lim也斗bn jvln z 門而心屮是u -型未定式，所以上述型未定式可以轉(zhuǎn)化為D或3型未定式來計(jì)算.Em m11171；/=圧円汁二 £ =解5例10求f 21arc tan 工J,2Ixm 一 arctan 工=f2Imi s = +«3-2 1lim arctan x，所以是一個I'"型未定./2lim arc tan jrhifiarxLan?; J式.又因?yàn)開 、hm xln arctan j丿是°心型未定式，所以上述"型未定式可以轉(zhuǎn)化為0 DOd或E型未定式來計(jì)算.In arctan z由于(2

11、kfhd 11 + X J arctail x 血Lim rlfl afctaii x = tor-k-to所以bm f-arctafi j?例11分析lim 斗= +oa由于-*+lini = 0，所以lim z"nf 是一個M 型未定式.又因?yàn)? Inn 嚴(yán) lini 疋韶=hni hl X是 0 - oo型未定式，所以上述8°型未定式可以轉(zhuǎn)化為D或8型未定式來計(jì)算.- hm捫訂 lim H -wxtet4<D由于所以hni InJ = hm=tol=0X 14® X00P北嚴(yán)，卻型未定式向6型未定式的轉(zhuǎn)化可形式地表示為:000 0O_ 00 _

12、71;JI ra0° =嚴(yán)（或£）;（或）;O-CD當(dāng)定理的條件滿足時， 所求的最后我們指出，洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種方法.極限當(dāng)然存在（或?yàn)闀A），但當(dāng)定理的條件不滿足時，所求極限不一定不存在.也就是說，當(dāng)不存在時（無窮大的情況除外）,Z、仍可能存在，見下面的例題.卄 羞+別口lim 例12求24 X解這是一個S型未定式，我們有. 托+fin £.1 +lim = urn -_ = lims-j-®的極限不能用洛必達(dá)法則1 + COSAlim 由于上式右端極限1 A + sin 齊lim 不存在，所以未定式f X兀+ sin齊Um去求，但不能據(jù)此斷

13、定極限79 X不存在.這時我們需要另辟新徑，重新考慮這個極 限.lim= lim 1 +卄 t + Sin ?Llim 由此可見極限'T"盂是存在的.、泰勒公式把一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個簡單的問題去研究是我們研究復(fù)雜問題時經(jīng)常采用的方法，那么對于一個復(fù)雜的函數(shù)， 為了便于研究，我們也希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá).說到簡單函數(shù)，我們想到了用多項(xiàng)式表示的函數(shù)，它的運(yùn)算非常簡單.那么是否任意一個函數(shù) 都可以用多項(xiàng)式去近似表達(dá)呢？關(guān)于這個問題我們曾經(jīng)在微分近似計(jì)算中討論過.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且'（“人°，則在該鄰域內(nèi)y W "W+FGJO-心）

14、（1）精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是比）高階的無窮小;（2）用它做近似計(jì)算時，不能具體估算出誤差大小.因此，在一些精度要求較高且要求估計(jì)誤差的問題中,上述近似表達(dá)是滿足不了要求的.這時我們就想，是否可以找到一個關(guān)于（“對的更高次多項(xiàng)式去近似地表達(dá)函數(shù)fh），從而使誤差變得更小呢？這就是下面我們要解決的問題.設(shè)函數(shù)/W在含有坯的某個開區(qū)間3）內(nèi)具有直到左+1階的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)用于近似表達(dá)函數(shù)Zb）的多項(xiàng)式為（1）既然我們要用 耳 去近似地表達(dá)了，自然要求戸氓&）在坯處的函數(shù)值及它的直到階的導(dǎo)數(shù)在兀°處的值依次與川如，八"/叫xj相等，即戸工）二/億）戌【）=/山）卅心二廣

15、認(rèn)）這樣我們就得到了如下丸+1個等式眄二/丫坯）込山廠/仇）% = fM6卄）乍警將所求得的多項(xiàng)式久的系數(shù)耳代入式，得川二了比）+ /'（花）（5-勺）+ /（X -陽）2 + J ,（-X JF面的泰勒（T aylor）中值定理告訴我們，多項(xiàng)式（2）就是我們要找的多項(xiàng)式，并且用它去近似表達(dá)函數(shù)f（x）,其誤差的確變小了.泰勒中值定理若函數(shù)f（x）在含有xO的某個開區(qū)間（a,b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù),f(x)=燉+fg(r)+呼(rFi+讐其中這里£是在兀°與疋之間的某個值.由式和式知，尺）=仇）久匕），現(xiàn)在只要證明（匚介于"與疋之間）即可.證由假

16、設(shè)知，&（x）=HxK）在3）內(nèi)具有直到沙1階的導(dǎo)數(shù)，且忌（州）=尺W=用（心）=小=E d=0函數(shù)也與（L碼在以坯及龍為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故有見伝） 代（£-丘H）_&&）Ct嚴(yán) 0-心嚴(yán)-0 （沖+誕1 -心丫總介于?？谂c工之間）.同樣，函數(shù)尺與 + i）G-心）在以及空為端點(diǎn)的區(qū)間上也滿足柯西中值定理的條件，故有尺0+1）因-燈S + 1逖-訂-0島-每廣1（自介于與之間）.繼續(xù)對函數(shù)說嘰0 + 1恥7在以兀。及丘彳為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，如此做下去，經(jīng)過魁+1次應(yīng)用柯西中值定理后，得Of） +1）1（f介于與量之間，因而也在九

17、與疋之間）.盡GO果對某個固定的,當(dāng)応E時，0）卜M，則有誤差估計(jì)式定理證畢.泰勒中值定理告訴我們，以多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)時，其誤差為在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時，冷階泰勒公式也可寫成五莎?。┯纱丝梢姡?dāng)2附寸，誤差此（劉是比"-心）高階的無窮小，即上述結(jié)果表明，多項(xiàng)式巴的次數(shù)大，"嗎I越小，用EW去近似表達(dá)八） 的誤差就越小，是比k °，高階的無窮小，并且誤差是可估計(jì)的.泰勒公式不僅在近似計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，而且它在級數(shù)理論和數(shù)值計(jì)算中也起著重 要的作用，同學(xué)們一定要深刻地理解它.到此我們所提出的問題就解決了.多項(xiàng)式（2）稱為函數(shù)了® 按（兀忌）的幕展開

18、的理次 泰勒多項(xiàng)式，公式（3）稱為,G）按G心）的幕展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式, 而氐匕）的表達(dá)式（4）稱為拉格朗日型余項(xiàng).當(dāng)用三Q時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式/僅）=/仇）+廣囚匕-jj石介于r與疋之間）.因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣./（兀）二（心）+門州）訂+4'（工-審+0 應(yīng)力的表達(dá)式稱為佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)，公式 稱為/刃按匕-心）的幕展開的帶 有佩亞諾型余項(xiàng)的總階泰勒公式.(Maclauri n)公式在泰勒公式中，如果取“廠°，則'在0與兀之間.因此可令F二氐 從而泰勒公式變成簡單的形式，即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞

19、林嚴(yán)乜)嚴(yán)旳X +*Z H 77K剛W+1J在泰勒公式（6）中，若取卞=°，則帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式為了二了 （0）+ f+0（旳(8)由（7）和（8）可得近似公式/(工”卩)+f(0片+21122” + +宀o)F(9)2!K 誤差估計(jì)式相應(yīng)地變成H4-1(10)例1寫出函數(shù)'（E三"的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的 耗階麥克勞林公式.解因?yàn)樗蚤T0）=廣一把這些值代入公式（7），并注意到丹內(nèi)，便得*2/Jjf"=1十兀+_卄，+_十丙于他（0第C由這個公式可知，若把圧"用它的七次泰勒多項(xiàng)式近似地表達(dá)為2!«!則所產(chǎn)生的誤差為卄1(01

20、 <0 u1)如果取兀=1，則無理數(shù)宮的近似式為其誤差RA < r < 7r'仗+1(旳+1)1當(dāng)九=1°時，可算出2.71S282，其誤差不超過E例2求=的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的理階麥克勞林公式.丸護(hù)Sin A HI2丿解因?yàn)?"(x) = cosK y"a)=-£mK yE(Jc)=-cosH所以/(0)=0 廣心=1 /辿)=0 7*(0) = -1它們順序循環(huán)地取四個數(shù) °0，于是令總二E，按公式（7）得其中護(hù)亍+）sift農(nóng)缶U）=（亦+1）!3mn（0 <6<1）如果取滋=1，則得近似公式Sin這

21、時誤差為（3sin fit H疋I23!<!i_ 6（0 <1）如果御分別取2和亠則可得沁兀的弓3!5!其誤差的絕對值依次不超過勺和可“上三個近似多項(xiàng)式及正弦函數(shù)的圖形見圖4由圖4可見，當(dāng)X TO+時，近似多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其向函數(shù)泗卞逼近的速度就越快，這就是泰勒公式的精髓.類似地，我們還可以求出函數(shù)cgb（l + x）和（1M的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式:11r*°“-一F+-h-+（-1阿+亂斑W其中P 仗)=込& +坎+%光2出2(asi).7 L 如+ 2)In (1 + 對二+】( +% (工)23n其中ff fVl-片疋T" 仙 + 1)1 +