數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1、第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念976.1內(nèi)容框圖6.2基本要求(1)(2)(3)(4)6.3內(nèi)容概要1）總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把作為統(tǒng)計(jì)研究對象的隨機(jī)變量稱為總體，記為©,",。對總體進(jìn)行 n 次試驗(yàn)后所得到的結(jié)果，稱為樣本，記為(X1,X2，,Xn)，（丫1,丫2,，Yn）,，其中，試驗(yàn)次數(shù)n稱為樣本容量。樣本（X1,X2，Xn）中的每一個(gè) Xi都是隨機(jī)變量。樣本所取的一組具體的數(shù)值，稱為樣本觀測值，記為理解總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量的概念，并熟練掌握常用統(tǒng)計(jì)量的公式 掌握矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)的求法，以及估計(jì)無偏性、有效性的判斷 掌握三大抽樣分布定義，并記住其概率密度的形狀.

2、6.46.9 及定理 6.11.理解并掌握有關(guān)正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量分布的幾個(gè)結(jié)論，如定理（Xi,X2，Xn）。具有性質(zhì):（1）獨(dú)立性，即Xi,X2，Xn相互獨(dú)立。（2）同分布性，即每一個(gè) Xi都與總體服從相同的分布。稱為簡單隨機(jī)樣本。如果總體匕是離散型隨機(jī)變量，概率分布為Pr =k，那么樣本（Xi,X2，,Xn）的聯(lián)合概率分布為P X 1 = Xi, X 2 = X2，,X nnn=Xn =n px i = Xi =n PE = Xi o是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為護(hù)（X），那么樣本（Xi,X2，,Xn ）的聯(lián)合概率密度為護(hù) * （X1,X2，Xn） =n ®Xi（Xi）=n ®

3、（Xi）。如果總體匕的分布函數(shù)為F（x），那么樣本（Xi,X2，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為F*（Xi,X2，Xn） =n Fxi（Xi） =n F（Xi）。ii2）用樣本估計(jì)總體的分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)主要任務(wù)，就是要用樣本估計(jì)總體的分布。參數(shù)估計(jì)又可以分為兩種，一種是點(diǎn)估計(jì)，另一種是區(qū)間估計(jì)。3）矩法估計(jì)求矩法估計(jì)的步驟為:（1）計(jì)算總體分布的矩E（©k） = fk佝月2，），k=12，m，計(jì)算到m階矩為止（m是總體分布中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)）。（2）列方程f1&,兔,俘m）= eE =XA f2（腎監(jiān)gm） =EC2）=X2A -fm6&,號）=E（織）=Xm從方程中解出曾,，

4、它們就是未知參數(shù)日1,&2，&m的矩法估計(jì)。4) 極大似然估計(jì)求極大似然估計(jì)的步驟為:(1)寫出似然函數(shù)L的表達(dá)式。如果總體©是離散型隨機(jī)變量，概率分布為nPE = k，那么 L = P© = Xi；i 4如果總體©是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為n叫X)，那么L =n(Xi)。7(2)在6,82,Pm的取值范圍©內(nèi)，求出使得似然函數(shù)L達(dá)到最大的參數(shù)估計(jì)值氏閔，鼠，它們就是未知參數(shù)的極大似然估計(jì)。通常的做法是，先取對數(shù)In L (因?yàn)楫?dāng)In L達(dá)到最大時(shí),L也達(dá)到最大)。然后令I(lǐng)nL關(guān)于01,02，月m的偏導(dǎo)數(shù)等于0,得到方程組=0c01由此

5、可見，如果上面這個(gè)方程組在0內(nèi)有唯一解 曾，霍，臥，所以，按照極大似然估計(jì)的定義，閔，閔，號 就是未知參數(shù) 日1,日2,Qm的極大似然估計(jì)。5)衡量點(diǎn)估計(jì)好壞的標(biāo)準(zhǔn)定理設(shè)總體©的數(shù)學(xué)期望 E©和方差 D匕都存在，(X1,X2,.,Xn)是©的樣本，X是樣本均值，S2是樣本方差，則有. DEX =Ee ；( 2)DX =nE(S2)dE。n衡量點(diǎn)估計(jì)的好壞標(biāo)準(zhǔn):(1) 無偏性定義6.1 設(shè)是參數(shù)日的估計(jì)，如果有E®=8，則稱W是日的無偏估計(jì)。(2)有效性D(昭 De?)，則稱硏比定義6.2設(shè)?，鄉(xiāng)都是參數(shù)日的無偏估計(jì)，如果有(3)相合性(一致性)定義6.3

6、 設(shè)令是參數(shù)0的估計(jì),n是樣本容量，如果任何S > 0，都有l(wèi)im Pn_jpc則稱§是0的相合估計(jì)(一致估計(jì))。可以證明，矩法估計(jì)都是相合估計(jì)。除了極個(gè)別的例外，極大似然估計(jì)也都是相合估計(jì)。6)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)常用的分布n定義6.4 若有Xi,X2，Xn相互獨(dú)立，XiN(0,1) ,i=1,2"，n，則稱S X：y所服從的分布為 自由度是 n的Z2分布，記為/2(n)。n_iX2X e2/2分布的概率密度為1n“，nx<0-2上分布的圖象見圖6-2 。定理如果有匕工2(m), n/ 2( n)，相互獨(dú)立，則©工2(m+ n)。即工2分布具有可加性。t分

7、布定義若有匕N（0,1）, nZ 2（n）,相互獨(dú)立，則稱所服從的分布為 自由度是n的t分布，記為t（n）。分布的概率密度為半（X）=2一r©）(16-3F分布定義 若有 S 2(m), n/ 2(n),相互獨(dú)立，則稱邯所服從的分布為自n/n由度是（m, n）的F分布，記為 F （m, n）。F分布的概率密度為X2m4n(mx + n) 2x<06-4 。F分布概率密度的圖象見圖定理 如果FF（m,n），則必有丄F（n,m）。F三大抽樣分布N(0,1+三大抽樣分布的嚴(yán)格定義見定義6.4, 6.5, 6.6,構(gòu)造性定義可簡示如下:+ N （0,1 I - 乂2（n ） F (m,

8、 n )99其中F代表分布F對應(yīng)的隨機(jī)變量.7)正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布定理設(shè)（Xi,X2，Xn）是總體匕N（巴CT2）的樣本,X是樣本均值，則有2Q-N(巴一)n，即有口需N（0,1）。c定理設(shè)（X1,X2，Xn ）是總體 匕N（巴CT2）的樣本，X是樣本均值,S2是樣本方差，則有（1） X與S2相互獨(dú)立；nS2(2) W心n-1）。定理設(shè)（Xi,X2，Xn）是總體 匕N（巴b2）的樣本，X是樣本均值,S*是修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差,X _ (1則有 Jnt(n 1)。S*定理設(shè)（Xi,X2，Xm）是總體匕N（已，時(shí)）的樣本，（丫1,丫2,，Yn ）是總體nN （打，環(huán)）的樣本，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，X ,

9、Y是 J n的樣本均值，則有（X -丫）岸1 罷）一 N（0,1）。定理 設(shè)（Xi,X2,，Xm ）是總體 匕N（Ai，Cr 一）的樣本，（丫1,丫2,，Yn ）是總體nN （卩2, b；）的樣本,其中 6=6，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，X，Y 是匕，的樣本均值，sX2, sy是 J n的樣本方差，則有（又一Y）糾-込）I2一J mSx + nSvt(m + n2)，其中，Sw=J。W m+n-2總體 1 為正態(tài)分布，（Xi,.,Xm ）與（Y,Yn ）分別為其樣本時(shí)，幾個(gè)重要結(jié)論及關(guān)系:25#1.無論總體©服從什么分布,都近似服從正態(tài)分布.（）2. 參數(shù)日的矩法估計(jì)一定是3. 從一批零件中

10、有放回地取6.4自測題六判斷題（正確用“ + ”錯(cuò)誤用“-”）只要總體的期望和方差存在，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本均值X 日的無偏估計(jì).（）5個(gè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)前2個(gè)是次品，后3個(gè)為正品，則這批零件的 次品率P的矩法估計(jì)值為 一.（）4.設(shè)總體匕服從參數(shù)為A普阿松分布，（Xi,X2,.,Xn ）為取自總體的樣本，則參數(shù) A的極大似然估計(jì)是無偏的.（）25.設(shè)匕 N （4,cr2 ），則二服從 72 分布.（）I b丿6.設(shè)總體E N （巴b2'（XjX?）為取自總體的樣本，則Xi F(1,1).()1X2-卩|*'7.設(shè)（X1,X2,.,Xn ）為取自總體匕 N （巴C72 ）的樣本,X

11、為樣本均值，S*為樣本修正標(biāo)準(zhǔn)差，則nX - A )丨 F (1,n )() IS) j8.設(shè)總體E N （巴CT2 ）, X和S*2分別為其樣本的均值與修正方差，則對任意常數(shù)*2a , ® = aX +（1 -a ）S 都是卩的無偏估計(jì).（）9.設(shè)總體E N（0,1）,X為樣本（Xi,X2,.,Xn ）的均值，則-7=XF(1,n.()(xjni)10.設(shè)總體©服從參數(shù)為A的指數(shù)分布，X為樣本均值，則A的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)選擇題1.設(shè)（X1,X2,.,Xn ）是總體匕的樣本，E N （巴CT2 ），其中2巴b均未知，下列表達(dá)式中只有（）是統(tǒng)計(jì)量.(B)-ZXi(C)

12、4 Xi2n ii(D) Az(Xi-叮n y1011 n(A)1S Xi2n i:1 n(C) 2 Xi2.設(shè)（X1,X2,.,Xn堤取自總體EN（0,b2）的樣本，可以作為CT2的無偏估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量(B)丄£ Xi2n 1 i #(D)丄Z Xi n -1 i #3.設(shè)總體匕 N(A,CT2 ),(X1,X2 )是其樣本，下列4個(gè)卩的無偏估計(jì)中，最有效的是().(A) ? =0.2X1 +0.8X2(B) I?2=0.4Xi +0.6X2(C) % =0.7X4 +0.3X2(D) l?4 =0.9X1 +0.1X21074.設(shè)隨機(jī)變量X1和X2都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則().(A)

13、Xf+X；服從嚴(yán)分布(B) X： -X；服從/ 2分布(C) X12/x2服從F分布2 2 2(D) Xi和X2都服從/分布5.設(shè)總體匕 N(o,cr2 ),(X1,X2,X3,X4 )為©的樣本，則下式中服從t(2)分布的統(tǒng)計(jì)量是(C) r +X2J2(X32 +X42 )(B)L2JX32 +X42(D) 密X1 + X2) JX32 +X426.設(shè)隨機(jī)變量巴 N(叫，W2 )嚴(yán) N (卩2,無2 ),且匕與相互獨(dú)立,2,而(Xi,X2,.,Xm ),(Y,%,Yn )分別為匕和n的樣本，則有(A) X -Y N(氣 +巴,W2 +時(shí))(B)X -Y N/卩一卩1 2 ,k(C)

14、X -Y N/嚴(yán)1廣2 ,V.2 2 £1_玉m n(d)x_ynlH 丿7.設(shè)(X1,X2,X3,X4,X5)為取自正態(tài)總體N(0,4 )的樣本，則服從 F(2,3 )分布的統(tǒng)計(jì)量是(A)2(X12+X22 )3(X32 +X42 +X52 )2 2 22(X1 +X2 +X3 ) (B)3(X42 +X52 )(C)3(X12+X22)2(Xj+X22 +X32 )3(X12+X22)"D)2(X32 + X42 + X52 )8.設(shè)(Xi，X2，.,Xm )，(Y,，Y2,YJ為分別取自相互獨(dú)立的正態(tài)總體匕山氣,耳2)：屮41嚴(yán)22)的樣本，X'SXLs；和Y

15、,s2,s；2分別為總體J n的樣本均值，樣本方差和修正樣本方差，則下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的是(A)X,Y,s2，sy相互獨(dú)立X _ U(B)7mt(m-1)Sx(C) SXF(1,n-1)Sy 2(D) "ASm+n一2 )其中 Sf9.設(shè)(X )為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),0V PV 1.下述關(guān)于臨界值的四個(gè)選項(xiàng)，正確的是(A ) Up +Ui_p i(B)(uP)= P(C) 7(n )= -Zp (n )(D)1F5m，心話10.設(shè)(X1,X2，.,X16 )為取自正態(tài)總體匕 N (4, b2)的樣本，X為樣本均值，若有16 2P送(Xi -X )li呂>acr2 >

16、 = 0.95,則 a 等于().(A) /0295(16)(B) 0.95 (15)(C) 0.05 (15)(D)盂.05(16)填空題1. 設(shè)總體匕服從參數(shù)為兀的普阿松分布，把對總體進(jìn)行的n次觀測結(jié)果記為(Xi,X2,.,Xn ),(Xi,X2,.,Xn )可以稱為樣本必須滿足的兩個(gè)條件是此時(shí) (XXz/.-./Xn)的聯(lián)合概率分布為2. 設(shè)(X1,X2,.,X9 )為取自均勻分布 U (2, 4)的樣本，X為樣本均值，S2為樣本方差,則 max (X1,X2,.,X9 )的分布函數(shù)為EX;ES2 =3. 設(shè)總體匕概率密度為X 31®(x)= *X <1其中，£

17、 >1為未知參數(shù)，(X1,X2，.,Xn )是匕的樣本，這時(shí)0的矩法估計(jì)為;e的極大似然估計(jì)為4.設(shè)總體E服從對數(shù)正態(tài)分布，概率密度為(In x-卩廠X0x<0其中，巴CT > 0是未知參數(shù),(X1,X2,.,Xn )是匕的樣本，這時(shí)卩的極大似然估計(jì)為;b的極大似然估計(jì)為；當(dāng)CT =1時(shí)，4的矩法估計(jì)為5.已知總體©的概率密度為2嚴(yán))x>0其中，e是未知參數(shù),X cO(X1,X2,.,Xn )是匕的樣本，這時(shí)9的矩法估計(jì)為日的極大似然估計(jì)為一 1 n6.設(shè)(X1,X2,.,Xn )是總體匕的樣本，©N (巴4 )，樣本均值X =-£ Xi

18、.當(dāng) n i¥nA時(shí)，才能使E|X -叮蘭0.17.設(shè)總體匕 M12 ), n N(42,b22 ), (X1，X2，.,Xm)是 ©的樣本，(二,冷.丸)是n的樣本，兩組樣本相互獨(dú)立，X =-£ Xj'Y =丄£ Yj ,則myn uD (X -Y 尸.8.設(shè)(X1,X2,.,X6 )是來自總體匕的樣本，匕N (0, 1),隨機(jī)變量222Xi丫 =(X1 +X2+X3 ) +(X4+X5 +X6 )，當(dāng)常數(shù)c=時(shí)，CY服從/ 2分布，其自由度9.已知總體匕N(0,w2 ), (X1,X2,X3 )為匕的樣本，則丨 X2 - X3 IX 2 +

19、X 210.設(shè)總體巴服從正態(tài)分布(0'4)，X1X2.,)為©的樣本，則丫二啟卞服從分布，其自由度是6.5自測題六答案1. +;2. -;3. +;4. +;5. +;6. -;7. -;8. -;9. -;10. +1. C;2. A;3. B;4. D;5. A;6. B;7. D;8. D;9. B;10. C1. XinP(A )( i=1,2，,n) , X1,X2,.,Xn 相互獨(dú)立 nT x !-xde'“,1 -(1 + nA)e幾;2.x<2Fmax ( X )2 <x c4.1 83, 一 , 一2727x>4X3.=X +1n1

20、寸;4. -無Z lnXin yiziinxr口,V n ylnX；2minXi(1<i <n )； 6. 40;7.m¥ 8.n13,2;9. t(1);10. F,(1O,5)6.6典型例題1設(shè)總體匕NWw2），巴b：>0是未知參數(shù)，（X1,X2,，Xn）是©的樣本，求比b的矩法估計(jì)。先求總體分布的矩，得到E© = P ， E（匕2） = Dt+ （Er）2 =cr2+卩2。再列方程i 總=XA 02 + |?2 =E(©2) = X2(1)從(1)得莎=X，代入(2)可得衣2 =x2 - (X)2 = S Xj2 - X2n y=

21、s2開方后得<? = ±Js2 = ±S，由于b >0 ，舍去不符合題意的負(fù)根， 最后得到的矩法估計(jì)？ = X-。在推導(dǎo)中，我們順便也求得了2 = sa2的矩法估計(jì)改2=s2。例2設(shè)總體©服從0,0上的均勻分布，概率密度為®(x)£0 其xr的矩法估計(jì)。先求總體分布的矩0 >0是未知參數(shù)，（Xi,X2,，Xn）是的樣本，求E e = f X ®(x) dx = f x/£ dx再列方程。解此方程，得到 日的矩法估計(jì)W = 2X。3設(shè)總體匕服從0-1分布，概率分布為P© = k = pk(1 - p

22、k=0,1 ,是未知參數(shù)，（Xi,X2,Xn）是巴的樣本,求P的極大似然估計(jì)。先求似然函數(shù)L =n PE=Xi=n pxi(1- p)7 =nExp- (1-p)再取對數(shù)In Lxi In p + (n 送 xi) ln (1 p)i #i =±求導(dǎo)，列方程dlnXiP 7dp丄(n-z Xi)=0。1 P y從方程中可解得，它使In L達(dá)到最大，所以 P的極大似然估計(jì)為例4設(shè)總體匕N（kCT >0是未知參數(shù)。（Xi,X2，,Xn）是©的樣本。求卩，CT的極大似然估計(jì)。解先求似然函數(shù)n=n w(xi)=ri i 1i二寸2兀b1 n(2®n 2crn e再取

23、對數(shù)(Xi-門22 y求導(dǎo)，列方程gin Li刖I <gln L CC1n21 (A i)- (送 Xi - n#) = 0 2cryCTy(xi)2 =0CT CT y-2 n(1)xi，代入（2）可解得CT2 =-送（Xin y-X)2 =s2開方后得 b = ±Js2 = ±s,由于>0，舍去不符合題意的負(fù)根，得到 CT =s。它們使In L達(dá)到最大，所以,CT的極大似然估計(jì)為b = s使L達(dá)到最大，也就是2=s使L達(dá)到最大，所以，順便還可以推導(dǎo)出b2的極大似然估計(jì)為c32 =S2。例5設(shè)總體E服從0,9上的均勻分布,概率密度為0<x< 日其他日>0是未知參數(shù)，（Xi,X2，Xn）是©的樣本，求 日的極大似然估計(jì)。3111先求似然函數(shù):0 < 為 <0 (i =1,2,n)其他en0 < min Xi < maxxi <0ii其他L H0時(shí),取對數(shù),1