幾種特殊類型行列式及其計算

1、1行列式的定義及性質(zhì)1.1定義n級行列式a113,2La21a22LMMan1an2La1na2nMann等于所有取自不同行不同列的個n元素的乘積a1 j, a2 j2 Lanjn(1)的代數(shù)和,這里 jljzL jn 是1,2,L , n的一個排列，每一項（1）都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)j&L jn是偶排列時,（1）帶正號，當(dāng)jlj2L jn是奇排列時,（1）帶有負(fù)號這一定義可寫成這里jjL jn表示對所有n級排列求和.311312L31na21a22La2nMMMan1an2Lann,mL jn,1a1j1 a2j2 LanjnML jn1.2 性質(zhì)性質(zhì)1.2.1行列互換,行列式的值

2、不變.性質(zhì)1.2.2某行例）的公因子可以提到行列式的符號外.性質(zhì)1.2.3如果某行例）的所有元素都可以寫成兩項的和，則該行列式可以寫成兩行列 式的和;這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行例）與原行列式相同.性質(zhì)1.2.4兩行（列）對應(yīng)元素相同，行列式的值為零.性質(zhì)1.2.5兩行（列）對應(yīng)元素成比例，行列式的值為零.性質(zhì)1.2.6某行例）的倍數(shù)加到另一行（列）對應(yīng)的元素上，行列式的值不變.性質(zhì)1.2.7交換兩行（列）的位置,行列式的值變號.2行列式的分類及其計算方法2.1箭形（爪形）行列式這類行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）對角線上元素外的其他

3、元素均 為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上（下）三角形行列式來計算.即利用對 角元素或次對角元素將一條邊消為零.例1 計算n階行列式Dn解將第一列減去第二列的Dna111L1a20L0i 倍,aii 2a3L0LLLLL第三列的a200L0a1100Lan倍La3ana20L0i 2 ai1第n列的丄倍，得ana3L0LLLLan2.2兩三角型行列式這類行列式的特征是對角線上方的元素都是 C,對角線下方的元素都是b的行列式，初看,這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對這類行列式，當(dāng)b c時可以化為上面列舉的爪形來計算，當(dāng)c時則用拆行（列）法9來計算.

4、例2計算行列式Dna1bbLbDna1bbLbba2bLba2 b Lba3Lba3LbLLLLLLLLLLanbbbLan將第2行到第行n都減去第1行，則Dn化為以上所述的爪形，即Dnqb a1b a1Lbaiba2 b0L0b0a3 bL0LLLLLb00Lan用上述特征1的方法，則有aiDna1ib a1b a1Lbaiai2 aiaia20L0a3L0LLLL00Lan bb aiL an b .當(dāng)b c時，用拆行（列）法9，則DnX1bbLb化簡得Dn而若一開始將Xn拆為aDn由 1Xn b2XnxibX1bLb0XnX2bLbX3LbLLLLLXnbbLbX2bLbXiXiX3Lb

5、X2Lb a0a x2，則得b X2DnX1bbLX2 b L bX3LbLLLLLX2bLX3LLLLLaL'Xn b000LXnbLLLLLXnXnXnDn 1 .XnDnXn 1XnDnnXjj 1有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進行計算.例3計算行列式DnLLLLLX解 將第一行a，第一列a，得bDnbeaa2dbeaLLLL即化為上21情形，計算得Dnadn 2be X a而對于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公 共因子的，則用升階法8來簡化.例4計算行列式Dn1X12X2NLX1X21X22

6、LXnXiXnX2LLLLXnL12Xn解將行列式升階，得Dn100L0X1X2X1LX2X1X21 X22LXnX1XnX2LLLLLXnX1XnX2XnL2Xn將第i行減去第一行的Xi i2,L ,n倍，得DnX1X2LXn10L0X201L0LLLLLXn00L1這就化為了爪形，按上述特征1的方法計算可得XiXiX2XnDni 100Ln2X .i 12.3兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主（次）對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個 頂點中的某個點外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元 素全為0的，自然也直接展開降階計算例5計算行列式Dna1L

7、LL bna2LLLL b>LLLdn 1LLLLbn 1andi a? LbL bn.解按第一行展開可得a2b2LLLbLLLLLa3baLLa2b2LLLLLLLLa 11 nLLLLLLLLan 1bn 1LLan 1bn 1LLLLLanLLLan 1bn 11dnDna1n 1例6計算行列式anb.an 1D2nad1Cn 1dnCndn解方法1直接展開可得D2nanan 1a1C1bl d1NObn1 0bn1 2n10an 1Obl d1NObn 1ONNa1Clcn 1dn 1Cn 1d n 10dnCn0andnan 1NObn 1bA2n 111an 1Od1NObn

8、 1Ob4Na1GNa1C1Cn 1dn 1Cn 1dn 1andnbnCnD2 n 1D2nandnbnCnD2 n 1and nbnCnan 1dnbn 1Cn 1D2aidibi Ci.i 1方法2 （拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展開得anCnbndn1 2n 1 2n1a1bld1CnandnbnCnD2 n 1 .bn 1NOdn 1其余的同法1.2.4 Hesse nberg 型行列式這類行列式的特征是除主（次）對角線及與其相鄰的斜線，再加上第1或第n行外，其他元 素均為零，這類行列式都用累加消點法，即通常將第一行 （列）元素化簡到只有一個非零元素,以便于這一行或列的展開降

9、階計算例7計算行列式Dn110LL0212LL0302LL0LLLL Ln 100L2n00L01解將各列加到第一列得Dnn200LL012LL002LL000L200L01 n按第一列展開得Dn12LL00L200L01 n2.5三對角型行列式DnaDn 1bcDn 2形如Dn的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展 開，將所得的n 1階行列式再展開即得遞推公式.對這類行列式用遞推法例8計算行列式Dn解按第一列展開有解特征方程x2 ax bc 0得Xia Ja2 4bc2,X2Ja2 4bc2DnnX

10、1n 1X2,X1X2.例9計算行列式Dn解按第一行展開得Dn9Dn 1200.解特征方程得Xi4,X25.Dn腫1a4.n 1b5分別使n 1,2得a 16,b 25,則Dn5n14n12.6各行（列）元素和相等的行列式這類行列式的特征是其所有行（列）對應(yīng)元素相加后相等，對這類行列式，將其所有行 （列）加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都減去第一行（列），即可使行列式 中出現(xiàn)大量的零元素.例10計算行列式Dn1 a1a2La11 a2LananLLLLan11解將第2行到第n行都加到第1行,Dna1 L a2 Lana1 L1 a2LanananLLLLa1 Lana2

11、L1 anaiana2Lana1an10L0a1an2.7相鄰兩行（列）對應(yīng)元素相差1的行列式11 a2Lan11L0LLLLLLLL10L1這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行a2L1an（列）元素相差1的行列式，對這類行列式，自第一行（列）開始，前行例）減去后行（列），或自第行n （列）開始，后行例）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或1的行列式，再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素若相鄰兩行 例）元素相差倍數(shù)k，則前（后）行例）減去后（前）行例）的k倍,可使行列式出 現(xiàn)大量的零元素.例11計算行列式Dn012Mn 2n 1101Mn 3n 2210Mn 43234 M 01123M10解依次用前行減去后行，可得Dn111M1n 1111M1n 2111M1n 3111M1111110現(xiàn)將第1列加到第2列至第n列，得Dn例11計算階n行列式Dn002M2000M22n2n2n 4000M011an 1an 2Ma2a1an 1Ma32aa2a1Ma43a解 這是相鄰兩行（列）相差倍數(shù)a ,Dn1 an002.8范德蒙德型行列式這類行列式的特征是有逐行蒙德行列式來計算.例12計算行列式anananM1n 1aan 1an 2an 3M可采用前行減去后行的01 an0001 ana倍的方法化簡得M