高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 6.4 不等式的解法（1）

1、1第 六 章第 六 章不等式不等式26.4 不等式的解法不等式的解法考考點(diǎn)點(diǎn)搜搜索索一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法分式不等式的解法分式不等式的解法指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法3高高考考猜猜想想 整式、分式不等式的解法是高考整式、分式不等式的解法是高考考查運(yùn)算能力的重要途徑，它們有時(shí)考查運(yùn)算能力的重要途徑，它們有時(shí)單獨(dú)、直接地出現(xiàn)在選擇、填空題中，單獨(dú)、直接地出現(xiàn)在選擇、填空題中，難度中、低檔；有時(shí)與函數(shù)、三角函難度中、低檔；有時(shí)與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)綜合，以解題工數(shù)、

2、解析幾何等知識(shí)綜合，以解題工具的面貌出現(xiàn)在一些大、小綜合題中，具的面貌出現(xiàn)在一些大、小綜合題中，需熟練掌握其解法需熟練掌握其解法.4 一、一元一次不等式的解法一、一元一次不等式的解法 基本形式：基本形式：axb. 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，x ;當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，x ; 當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)，若時(shí)，若b0，則，則_; 若若b0，則，則_. 二、一元二次不等式的解法二、一元二次不等式的解法 1.設(shè)不等式設(shè)不等式ax2+bx+c0(a0)對(duì)應(yīng)的方程對(duì)應(yīng)的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根有兩個(gè)不等實(shí)根x1和和x2，且，且x1x2，則此不等式的解集為則此不等式的解集為_(kāi).babaxxR(-,x1)(x2,+)5 2

3、.設(shè)不等式設(shè)不等式ax2+bx+c0(a0)對(duì)應(yīng)的方程對(duì)應(yīng)的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根有兩個(gè)不等實(shí)根x1和和x2，且，且x1x2，則此不等式的解集為則此不等式的解集為_(kāi). 注：注：(i)若不等式若不等式ax2+bx+c0(或或0)中，中，a0，可在不等式兩邊乘，可在不等式兩邊乘-1轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù)為轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的情況，然后再按上述正的情況，然后再按上述1，2進(jìn)行求解進(jìn)行求解. (ii)若方程若方程ax2+bx+c=0中，中，0時(shí)，可根據(jù)時(shí)，可根據(jù)函數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象直接寫(xiě)出解集的圖象直接寫(xiě)出解集. 三、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法三、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法(

4、x1，x2)6 一元高次不等式一元高次不等式f(x)0用根軸法用根軸法(或稱(chēng)或稱(chēng)區(qū)間法、穿根法區(qū)間法、穿根法)求解，其步驟是：求解，其步驟是： 1.將將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)； 2.將將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式之積；二次不可分因式之積； 3.將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線； 4.根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號(hào)變的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集. 四、一般分式不等式的解法四

5、、一般分式不等式的解法7 1.整理成標(biāo)準(zhǔn)型整理成標(biāo)準(zhǔn)型 0(或或0)或或 0 (或或0)； 2.化成整式不等式來(lái)解：化成整式不等式來(lái)解： (1) 0 _; (2) 0 _; (3) 0 _; (4) 0 _.( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg xf(x)g(x)0f(x)g(x)0( ) ( )0( )0f x g xg x( ) ( )0( )0f x g xg x8 3.再討論各因子的符號(hào)或按數(shù)軸標(biāo)根再討論各因子的符號(hào)或按數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出解集法寫(xiě)出解集. 盤(pán)點(diǎn)指南：盤(pán)點(diǎn)指南：x;xR;(

6、-，x1)(x2，+);(x1，x2);f(x)g(x)0;f(x)g(x)0; ; .( ) ( )0( )0f x g xg x( ) ( )0( )0f x g xg x9c1011 不等式不等式ax2+bx+c0的解集為的解集為x|2x3，則不等式則不等式ax2-bx+c0的解集為的解集為( ) A. x|x-2 B. x|x3 C. x|x-2或或x3 D. x|-3x-2 解解:令令f(x)=ax2+bx+c,其圖象如下圖所示，其圖象如下圖所示， 再畫(huà)出再畫(huà)出f(-x)的圖象即可的圖象即可,故解集為故解集為x|-3x-2.12 3.已知已知 則不等式則不等式x+(x+2) f(x+

7、2)5的解集是的解集是_. 解：解：當(dāng)當(dāng)x+20，即，即x-2時(shí)，時(shí)，x+(x+2)f(x+2)52x+25 x ，所以，所以-2x ; 當(dāng)當(dāng)x+20,即即x-2時(shí)，時(shí)，x+(x+2)f(x+2)5x+(x+2)(-1)5 -25，所以，所以x-2, 綜上知綜上知x .1(0)( ),-1(0)xf xx32323213 1. 解下列不等式：解下列不等式： (2)ax+23(a-x)(aR，為常數(shù)，為常數(shù)). 解：解：(1)不等式化為不等式化為 即即2x3，所以，所以x .題型題型1 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法第一課時(shí)第一課時(shí)23(1)-1;43xx3(23)-4 12,xx32

8、14 故不等式的解集是故不等式的解集是x|x . (2)不等式化為不等式化為(a+3)x3a-2. 當(dāng)當(dāng)a+30，即，即a-3時(shí)，不等式的解集是時(shí)，不等式的解集是x|x ; 當(dāng)當(dāng)a+30，即，即a-3時(shí)，不等式的解集是時(shí)，不等式的解集是x|x ; 當(dāng)當(dāng)a+3=0，即，即a=-3時(shí)，不等式的解集是時(shí)，不等式的解集是R.323 -23aa3 -23aa15 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：解一元一次不等式的一般解一元一次不等式的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為并、系數(shù)化為1.去分母、去括號(hào)時(shí)不去分母、去括號(hào)時(shí)不要漏乘；移項(xiàng)時(shí)注意要變號(hào)；系數(shù)化要漏乘；移項(xiàng)時(shí)注意要變號(hào)；系

9、數(shù)化為為1時(shí)，如果系數(shù)含參注意系數(shù)為負(fù)時(shí)，如果系數(shù)含參注意系數(shù)為負(fù)數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)的情況數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)的情況.16 解關(guān)于解關(guān)于x的不等式：的不等式：ax+a2bx+b2(a，bR). 解解:原不等式化為原不等式化為(a-b)xb2-a2=(b+a)(b-a). 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，則時(shí)，則x =-a-b，不等式的解，不等式的解集是集是-a-b，+)； 當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，則時(shí)，則0 x0，xR，即不等式，即不等式的解集為的解集為R. 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，則時(shí)，則x =-a-b，不等式的，不等式的解集是解集是(-，-a-b.22-baa b22-baa b17 題型題型2 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1819 設(shè)

10、設(shè)a為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù),解不等式解不等式ax2+1ax. 解解:不等式化為不等式化為ax2-ax+10,=a2-4a=a(a-4). (1)當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)，不等式恒成立，所以時(shí)，不等式恒成立，所以xR. (2)當(dāng)當(dāng)a 0時(shí)，時(shí)，0，不等式的解集為，不等式的解集為 (3)當(dāng)當(dāng)0a4時(shí)，時(shí)，0時(shí)，不等式恒成立，時(shí)，不等式恒成立，所以所以xR. (4)當(dāng)當(dāng)a4時(shí)，時(shí)，0，不等式的解集為，不等式的解集為( -4)-( -4)(,).22aa aaa aaa-( -4)( -4)(- ,)(,).22aa aaa aaa20 3. 解下列不等式：解下列不等式： (1)2x3-x2-15x0; (2)(x+4

11、)(x+5)2(2-x)30. 解：解：(1)原不等式可化為原不等式可化為x(2x+5)(x-3)0. 把方程把方程x(2x+5)(x-3)=0 的三個(gè)根的三個(gè)根x1=0，x2=- ， x3=3順次標(biāo)在數(shù)軸上順次標(biāo)在數(shù)軸上. 題型題型3 高次不等式的解法高次不等式的解法5221 然后從右上方開(kāi)始畫(huà)曲線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，然后從右上方開(kāi)始畫(huà)曲線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如圖的陰影部分其解集如圖的陰影部分. 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|- x0或或x3. (2)原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于 其解集如圖的陰影部分其解集如圖的陰影部分. 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|x-5或或-

12、5x-4或或x2.522-550(4)(5) ( -2) 0.(4)( -2) 0-42xxxxxxxxx或22 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：解高次不等式的思路是降解高次不等式的思路是降次，降次一般有兩種方法，一是因式次，降次一般有兩種方法，一是因式分解，二是換元法分解，二是換元法.用因式分解法解高用因式分解法解高次不等式時(shí)，先把高次不等式化為幾次不等式時(shí)，先把高次不等式化為幾個(gè)一次或二次不等式的積，然后可求個(gè)一次或二次不等式的積，然后可求得其對(duì)應(yīng)方程的根，再通過(guò)得其對(duì)應(yīng)方程的根，再通過(guò)“數(shù)軸標(biāo)數(shù)軸標(biāo)根法根法”寫(xiě)出解集寫(xiě)出解集.2324 1. 高次不等式與分式不等式的解法通常高次不等式與分式不等式的解法通常是：使不等式一邊為零，另一邊分解為一次是：使不等式一邊為零，另一邊分解為一次因式因式(一次項(xiàng)系數(shù)為正一次項(xiàng)系數(shù)為正)或二次不完全平方式的或二次不完全平方式的積與商的形式積與商的形式(注意二次因式恒正恒負(fù)的情況注意二次因式恒正恒負(fù)的情況)，然后用數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出解集然后用數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出解集(尤其要注意不等尤其要注意不等號(hào)中帶等號(hào)的情形號(hào)中帶等號(hào)的情形). 2. 掌握一元二次方程的根，一元二次不掌握一元二次方程的根，一元二次不等式的解