傳遞過(guò)程原理作業(yè)題解章

1、第二章21. 對(duì)于在r平面內(nèi)的不可壓縮流體的流動(dòng)，r方向的速度分量為UrAcos /r。試確定速度的分量。解：柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程為對(duì)于不可壓縮流體在 r平面的二維流動(dòng),常數(shù)，Uz 0,土 0,故有zxAcosr穩(wěn)態(tài):0，一維流動(dòng)：ux0 , Uy 0業(yè)Uz0,z z即(Uz)0z(rur)r將上式積分，可得f (r)都能滿足連續(xù)性方程。令式中，f (r)為積分常數(shù)，在已知條件下，任意一個(gè) f(r) 0,可得到U的最簡(jiǎn)單的表達(dá)式:2. 對(duì)于下述各種運(yùn)動(dòng)情況， 試采用適當(dāng)坐標(biāo)系的一般化連續(xù)性方程描述，并結(jié)合下述具體條件將一般化連續(xù)性方程加以簡(jiǎn)化，指出簡(jiǎn)化過(guò)程的依據(jù)。(1) 在矩形截面管道內(nèi)，可壓

2、縮流體作穩(wěn)態(tài)一維流動(dòng)；(2) 在平板壁面上不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)；(3) 在平板壁面上可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)；(4) 不可壓縮流體在圓管中作軸對(duì)稱的軸向穩(wěn)態(tài)流動(dòng)；(5) 不可壓縮流體作球心對(duì)稱的徑向穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。解：在矩形截面管道內(nèi)，可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)一維流動(dòng)(2) 在平板壁面上不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)穩(wěn)態(tài):0，二維流動(dòng):Uz(Ux)( Uy) 0, 又 const,從而 -U 0x yx y(3) 在平板壁面上可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)在此情況下,(2)中 const(Ux)(4) 不可壓縮流體在圓管中作軸對(duì)稱的軸向穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài):0，軸向流動(dòng)：ur 0，軸對(duì)稱:Uz生0（不可壓縮const）

3、z（5）不可壓縮流體作球心對(duì)稱的徑向穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)0，沿球心對(duì)稱0 ,不可壓縮const12d 2r-（r2ur）0，即一（）03. 某粘性流體的速度場(chǎng)為已知流體的動(dòng)力粘度0.144 Pa s，在點(diǎn)（2，4, 6）處的法向應(yīng)力yy100N/m2 ,試求該點(diǎn)處的壓力和其它法向應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：由題設(shè)Ux 5x2y , Uy 3xyz , Uzc 28xz在點(diǎn)所以xxUxyyyy4,10xy ,6)Uy處,UyUyUx 2x 33xz,Uzz16xzUx(且x（且UyUyUyUz)yz)電)zUz)z4. 某不可壓縮流體在一無(wú)限長(zhǎng)的正方形截面的水平管道中作穩(wěn)態(tài)層流流動(dòng)，此正方形截面的邊界分別為 x

4、a和ya，有人推薦使用下式描述管道中的速度分布試問(wèn)上述速度分布是否正確，即能否滿足相關(guān)的微分方程和邊界條件。解：在壁面處，即y a時(shí)，Uz 0，故滿足壁面不滑脫條件；在管道中心，x y 0時(shí)，可得Uz2_a_p4 zUmax將所給速度分布式代入不可壓縮流體連續(xù)性方程（2-20）,因UxUy0可得2 導(dǎo))y將所給速度分布式分別對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),x22z2Uz1py22z2UzP1d)2a將式（3 ）和（4）1代入式（2）可知，僅當(dāng)999x y 2a時(shí)才滿足運(yùn)動(dòng)方程。因此所將不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程（2-45C）化簡(jiǎn)，可得2P(Uz (T x給速度分布式不能完全滿足運(yùn)動(dòng)方程。5. 某一流場(chǎng)的速度向量可以

5、下式表述 試寫(xiě)出該流場(chǎng)隨體加速度向量 史 的表達(dá)式。D解：第三章體的密度、動(dòng)力粘度和厚度分別為1. 如本題附圖所示，兩平行的水平平板間有兩層互不相溶的不可壓縮流體，這兩層流1、1、h,和為2、2、rn，設(shè)兩板靜止，流體在常壓力梯度作用下發(fā)生層流運(yùn)動(dòng)，試求流體的速度分布。解：將直角坐標(biāo)下的連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程化簡(jiǎn)，可得積分得 比 -y22 xC1 y C2因此，兩層流體的速度分布可分別表示為Ux11 P 2亍丫 C1y C2(1)ux2 y22 2 xDiy D2由下列邊界條件確定積分常數(shù):hl ,Ux1 0；h2 , Ux2 0；0,Ux1 Ux2 ；如dUx2，1石2石將以上4個(gè)邊界條件代入

6、式（1)與（2），得解得C2C2Ciph22xDih2D2D2 ；h_p_2 1 x 1最后得速度分布方程為2. 粘性流體沿垂直圓柱體的外表面以穩(wěn)態(tài)的層流液膜向下流動(dòng)，如本題附圖所示。試 求該流動(dòng)的速度分布。該液體的密度和粘度分別為解：由題給條件，有0，ur uXz g2由柱坐標(biāo)系連續(xù)性方程簡(jiǎn)化得簡(jiǎn)化得且0z由柱坐標(biāo)系N-S方程（r r由于UzrUz業(yè)）0 r0 （軸對(duì)稱），故積分得邊界條件為Uzg4r2C1 In r C2(1)ro,Uz 0UzUz（r），即dUz c R, 0 dr1)，得在無(wú)限流體中繞自身軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)流 導(dǎo)出本流動(dòng)問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)方程，并求速度分將邊界條件代入式（故速度分

7、布為3.半徑為r0的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體以恒定角速度 體不可壓縮，試從一般柱坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā), 布與壓力分布的表達(dá)式。r方向:£ UrrUzXr -r(Ur)2Ur2 ur2Ur2z(2-47a)解：柱坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程為2方向:uuur UrUuuz 一z2 Ur(2-47b)z方向:UzUru uzUzuzzXz1(rr r土)r2uz2"2uzz(2-47C)由于該流動(dòng)具有穩(wěn)態(tài)、對(duì)稱及一維特性，故有丄一(rur r0 , uruzU2d2udr21 dur drz利用上述特點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方程（2-47）簡(jiǎn)化為由于流動(dòng)為一維，上式可寫(xiě)成常微分方程dp dr式（2）的通解為 利用邊界

8、條件可得Ci0,C2因此2r。r如果令2r。因此壓力分布為Po可得CPop0 84.試求與速度勢(shì)壓力梯度（忽略質(zhì)量力）解：（1）流函數(shù)2y（2）流場(chǎng)中點(diǎn)（2x 5xy 3y 4相對(duì)應(yīng)的流函數(shù)，并求流場(chǎng)中點(diǎn)（2, 5）的5-y2-2,5 2-x 3x C25)的壓力梯度忽略質(zhì)量力，平面穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的Euler方程為寫(xiě)成向量形式為 點(diǎn)（一2, 5）的壓力梯度為5. 粘性流體在兩塊無(wú)限大平板之間作穩(wěn)態(tài)層流流動(dòng)，上板移動(dòng)速度為U1，下板移動(dòng)速度為U2,設(shè)兩板距離為2h，試求流體速度分布式。提示：在建立坐標(biāo)系時(shí)，將坐標(biāo)原點(diǎn)取 在兩平行板的中心。運(yùn)動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為d2Ux解：流體作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，速度與時(shí)間無(wú)關(guān)。建立

9、坐標(biāo)系時(shí)，將坐標(biāo)原點(diǎn)取在兩平行板的中 心，并設(shè)兩板距離為 2h。x方向 y方向?qū)⑹剑?）對(duì)y積分得gyf(x)將式（3）對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)， 由上式可知，P對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)與y無(wú)關(guān)。x方向的運(yùn)動(dòng)方程（1）可改為d2Ux 1_pdy2x容易看出，上式右邊僅與 x有關(guān)，左邊僅與y有關(guān)。因此上式兩邊應(yīng)等于同一個(gè)常數(shù)，即 積分上式得UxGyC2邊界條件為(1)h , UxUi；(2)h ,UxU2將邊界條件代入式5)得Ui2hU2C2U1 U21 Pdh22 x于是速度分布式為第四章Ux Ux(y);1.某粘性流體以速度Uo穩(wěn)態(tài)流過(guò)平板壁面形成層流邊界層，在邊界層內(nèi)流體的剪應(yīng)力不 隨y方向變化。（1 ）試從適當(dāng)

10、邊界條件出發(fā)，確定邊界層內(nèi)速度分布的表達(dá)式(2 )試從卡門邊界層積分動(dòng)量方程 出發(fā)，確定 X的表達(dá)式。解：(1)由于邊界層內(nèi)duxx不隨ydy變化,叫為常數(shù)，速度分布為直線。設(shè)dyUx a by。邊界條件為(1) y 0, Ux(2) y ，山Uo由此可得邊界層內(nèi)速度分布為(2)將邊界層積分動(dòng)量方程寫(xiě)成ddx 0 u010(11 d6 dxs2U。故有6 dxU0d dxU0x 0 ,0 ,積分上式得2.不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)流過(guò)平板壁面形成層流邊界層，在邊界層內(nèi)速度分布為邊界條件為式中，為邊界層厚度,1/ 24.64xRex 。試求邊界層內(nèi)y方向速度分布的表達(dá)式Uy。解：二維穩(wěn)態(tài)層流的連續(xù)性方程為

11、UxUx3u0x 1 y 3u0x 1y33U屮占4x將式(2)代入式(1)積分，得3. 20 C的水以0.1 m/s的流速流過(guò)一長(zhǎng)為3m、寬為1m的平板壁面。試求(1)距平板Uy ; (2)局部曳力系數(shù)Cdx及平均曳力前緣0.1m位置處沿法向距壁面 2mm點(diǎn)的流速Ux、系數(shù)Cd ; (3)流體對(duì)平板壁面施加的總曳力。設(shè)Rexc 5 105。已知水的動(dòng)力粘度為100.5 10 5 Pa s，密度為 998.2 kg/m3。解：距平板前緣0.1m處的雷諾數(shù)為:流動(dòng)在層流邊界層范圍之內(nèi)。(1 )求y方向上距壁面2mm處的Ux, Uy已知查表4-1，由式由式(2)(3)x 0.1m，y 0.002m

12、 ,由式(4-15)得 當(dāng) 1.993時(shí)f =0.6457, f =0.625, f =0.260(4-25 )得(4-26 )得局部曳力系數(shù)Cdx及平均曳力系數(shù)Cd流體對(duì)平板壁面施加的總曳力4.某粘性流體以速度uo穩(wěn)態(tài)流過(guò)平板壁面時(shí)形成層流邊界層，已知在邊界層內(nèi)流體的 速度分布可用下式描述(1)采用適當(dāng)邊界條件，確定上式中的待定系數(shù)a,b和C ,并求速度分布的表達(dá)式;(2)試用邊界層積分動(dòng)量方程推導(dǎo)邊界層厚度和平板阻力系數(shù)的計(jì)算式。 解：(1)選擇如下邊界條件0 , Ux 0 ；,UxU0 ；代入得求解得U。； C -2Ux U0S in()2d0 (U0 Ux)Uxdy dx 0dUx先將

13、速度分布代入，求積分號(hào)內(nèi)的項(xiàng) 代入得移項(xiàng)得CDxU04.79 U0xRJ/20.656R/2Ux5.已知不可壓縮流體在一很長(zhǎng)的平板壁面上形成的層流邊界層中，壁面上的速度梯度。設(shè)流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)，試從普蘭德邊界層方程出發(fā)，證明壁面附近的速度分布可用y 0下式表示式中，p/ x為沿板長(zhǎng)方向的壓力梯度，y為由壁面算起的距離坐標(biāo)。證：對(duì)于二維平板邊界層，普蘭德邊界層方程為uxuxux uy 一 xy1_Px2uxy(1)由于板很長(zhǎng)，可以認(rèn)為由連續(xù)性方程在平板壁面上，uy0，因此由上式可知，在邊界層內(nèi)Uy 0。由此可將式（1）簡(jiǎn)化為上式左端是y的函數(shù)，右端是x的函數(shù)，二者要相等，必須使得上式積分求解，得由題意

14、，當(dāng)y又當(dāng)y 0時(shí),2Ux2yUxk，故y由壁面不滑脫條件，ux 0，故因此，速度分布為 證畢。6. 不可壓縮流體以Uo的速度流入寬為 b高為2 h的矩形通道（b? a），從進(jìn)口開(kāi)始形成速度邊界層。已知邊界層的厚度可近似按5.4砧X / u0估算，式中x為沿流動(dòng)方向解：當(dāng) h的距離。試根據(jù)上述條件，導(dǎo)出計(jì)算流動(dòng)進(jìn)口段長(zhǎng)度Le的表達(dá)式。（矩形高度的一半）時(shí)，邊界層在通道的中心匯合，此時(shí)的流動(dòng)距離為流動(dòng)進(jìn)口段長(zhǎng)度 解得0.033Re式中Reuoh第五章1. 20C的水在內(nèi)徑為2m的直管內(nèi)作湍流流動(dòng)。測(cè)得其速度分布為ux 10 0.8lny ,在離管內(nèi)壁1/3 m處的剪應(yīng)力為103Pa,試求該處的渦

15、流運(yùn)動(dòng)粘度及混合長(zhǎng)。 已知20C水的密度為 998.2 kg/m3，動(dòng)力粘度為1.005 X10-3 Pa 解：（1）渦流運(yùn)動(dòng)粘度t yx(1)dux"dy (10 0.8ln dy0.8 0.8y)2.4 s-1式(2)代入式(1)并整理得已知1.005 10 3 / 998.2y 0.3331.007 10 62m/s?？梢?jiàn)，離管內(nèi)壁1/3處的粘性擴(kuò)散系數(shù)與渦流擴(kuò)散系數(shù)相比，可以忽略不計(jì)。(2)混合長(zhǎng) 忽略粘性應(yīng)力，則 其值約為管半徑的13.4%。2.溫度為20C的水流過(guò)內(nèi)徑為 50mm 證明此情況下流體的流動(dòng)為湍流，并求(1) 層流底層外緣處水的流速、該處的y向距離及渦流粘度;

16、(2) 過(guò)渡區(qū)與湍流主體交界處流體的流速、該處的的圓管。測(cè)得每米管長(zhǎng)流體的壓降為1500N/m2,試向距離及渦流粘度。解：由物性表查得 20 C水的物性：=998.2kg/m3,3100.5 10 Pa SRed叫0.25 3.02 998.21.55100.5 1051010，故為湍流。(1)層流內(nèi)層外緣處u u y 5u5 0.1370.685 m/s0 (層流內(nèi)層只有粘性力)(2)過(guò)渡區(qū)與湍流主體交界處22 10 4 (10.025)=18.58N/m=13.956ys(1 -)18.75idudydu 1_() dy5.0l ny3.05 寫(xiě)成yuu 5.0u In 3.05u3.試應(yīng)

17、用習(xí)題7中的己知數(shù)據(jù)，求r A/2處流體的流速、渦流粘度和混合長(zhǎng)的值。解：y y Ur U 0.025 0.137 998.222 100.5 10 61.710430為湍流主體區(qū)同上題方法推導(dǎo)dy2，故y(1)4.利用流體阻力實(shí)驗(yàn)可估測(cè)某種流體的粘度，其方法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得穩(wěn)態(tài)湍流下的平均速度Ub及管長(zhǎng)為L(zhǎng)時(shí)的壓降（P）而求得。試導(dǎo)出以管內(nèi)徑d、流體密度、平均流速Ub和單位管長(zhǎng)壓降P/L表示的流體粘度的計(jì)算式。解：設(shè)流體在管內(nèi)湍流且流動(dòng)充分發(fā)展，則p 4fd 24 0.046 (虬廠2丄丄d 2移項(xiàng)并整理得5.假定平板湍流邊界層內(nèi)的速度分布可用兩層模型描述，即在層流底層中，速度為線 性分布；在

18、湍流核心，速度按1/7規(guī)律分布，試求層流底層厚度的表達(dá)式。故有解：層流底層很薄，UxdUx dy平板湍流壁面剪應(yīng)力又可由式（5-56）表示，即1/4s2U。0.023U0以上兩式聯(lián)立得到Ux0.023U0、1/4 )y令層流底層厚度為b，其外緣與湍流核心接壤處的速度為Ui，則上式可寫(xiě)成2U0 U 01/ 4Ui0.023一(T b或?qū)憺? u ()() 0.023 UoUo另一方面，湍流核心的速度可用1/7次方定律描述，即在兩層交界處，有或?qū)懗娠w7(6)式（5）與式（6）聯(lián)立得將一0.376（止）1/5代入上式，可得XUlUo2.12()1/102.12Rex1/10U0X將式（7）代入式（6

19、)中，得再將 -X0.376(獨(dú)）1/5代入上式，可得6. 20C的水在內(nèi)徑為 2m的直管內(nèi)作湍流流動(dòng)。測(cè)得其速度分布為Ux10 0.8ln y ,1.005 X10-3 Pa s。t yx('dydUx (10 0.8ln dyy)0.8 0.8y 0.3332.4 s-1式（2）代入式（1）并整理得已知1.005 10 3 / 998.21.007 10 62m /S?？梢?jiàn)，離管內(nèi)壁1/3處的粘性擴(kuò)在離管內(nèi)壁1/3 m處的剪應(yīng)力為103Pa,試求該處的渦流運(yùn)動(dòng)粘度及混合長(zhǎng)。 已知20C水的密度為 998.2 kg/m3，動(dòng)力粘度為 解：（1）渦流運(yùn)動(dòng)粘度散系數(shù)與渦流擴(kuò)散系數(shù)相比，可

20、以忽略不計(jì)。（2）混合長(zhǎng)忽略粘性應(yīng)力，則其值約為管半徑的13.4%。與y的關(guān)系式或參數(shù)與雷諾數(shù)Re和U ri7. 試從光滑圓管中湍流核心的對(duì)數(shù)速度分布式（5-43）和剪應(yīng)力s（1 -）出發(fā)，推導(dǎo)渦流粘度的表達(dá)式，并討論渦流粘度ri位置y的關(guān)系。解：在湍流核心，可忽略粘性力的影響，則移項(xiàng)得(1細(xì)嗎1ridy湍流核心的速度分布為將式u 2.5ln y5.5,yuux2.5u In 5.5uduxdy2.5 y(2)代入式并將U廠廠代入，得(1 -)r 2.5uy0.4u (1 -)y或?qū)懗傻谄哒?.在一無(wú)內(nèi)熱源的固體熱圓筒壁中進(jìn)行徑向穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。當(dāng)2 2m時(shí)，t2 100 C 其導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的線性

21、函數(shù)，即式中k0為基準(zhǔn)溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)，其值為k0 0.138 W/(m K),ri1m 時(shí)，ti 200 C,為溫度系數(shù)，其值為1.95 10 4 iK，試推導(dǎo)出導(dǎo)熱速率的表達(dá)式并求單位長(zhǎng)度的導(dǎo)熱速率。解：導(dǎo)熱速率的表達(dá)式為(1)k r對(duì)于本問(wèn)題,k ko(1t)，A 2 rL，其中L為圓筒壁的長(zhǎng)度。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)情況下,q const，將上述情況代入式(1)，并分離變量，可得(1t)dtq dr2 Lk0 r(2)邊界條件為r11, t1200r2t2100積分得將邊界條件代入式(2)，可得C t1t12 r"Lk0ln r1(200273.2)(1.95 10 4) (200 273.2)2495 K2 1t 49臨于是導(dǎo)熱速率方程為1q 2 Lk0(t -2將邊界條件代入式(3)，可得單位長(zhǎng)度的導(dǎo)熱速率為2.有一具有均勻發(fā)熱速率 q的球形固體，其半徑為R。球體沿徑向向外對(duì)稱導(dǎo)熱。球ts不變。試從一般化球坐表面的散熱速率等于球內(nèi)部的發(fā)熱速率，球表面上維持恒定溫度 標(biāo)系熱傳導(dǎo)方程出發(fā)，導(dǎo)出球心處的溫度表達(dá)式。解：球坐標(biāo)系的熱傳導(dǎo)方程為式（7-3），即球表面的散熱速率等于球內(nèi)部的發(fā)熱速率,球表面上維持恒定溫度ts不變，故為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,一維徑向?qū)ΨQ導(dǎo)熱,于是式（7-3）變?yōu)閬A d 2 dt,2r邊界條件為d(rdrdr)(1)ts