§8.4-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、1.直線與平面垂直 8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)圖形條件結(jié)論a丄b, b? ab為a內(nèi)的仟意直線）a丄aa 1 m，a 1 n，m、n? a, m A n = Oa丄a判定aII b, a丄 ab丄aa丄 a, b? aa丄ba丄a, b丄aa II b性質(zhì)知識(shí)拓展幾個(gè)常用的結(jié)論(1) 過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;(2) 過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直;(3) 垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行.2.兩個(gè)平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果

2、一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線那么這兩個(gè)平面互相垂直1? 3? a丄31丄a(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面a丄3ad 3= a? 1丄al? 3l丄a3.線面角與二面角（1）直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.當(dāng)直線與平面垂直和平行 （或直線在平面內(nèi)）時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90和 0.（2）二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作

3、垂直于棱的兩條 射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“2”或“X”（1）直線I與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則1丄久（ 若直線a丄平面a,直線b/ a,則直線a與b垂直.直線a丄a, b丄a,貝U a / b.( V(4) 若a丄a丄價(jià)a/ a(5)a 丄 a, a?保 a丄 3( V1.下列條件中，能判定直線I丄平面a的是（）a內(nèi)的兩條直線垂直 a內(nèi)無數(shù)條直線垂直 a內(nèi)的某一條直線垂直 a內(nèi)任意一條直線垂直答案 D解析由直線與平面垂直的定義，可知D正確.2 .（2013廣東）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a, B是兩個(gè)不同的平面，下列命題中

4、正確的是（）A .若 a丄3 ,m?a n?3 則m丄nB .若 all 3,m?a n?3 則m/ nC .若m丄n ,m?a n?3 則a丄3D .若m丄a ,m/n n/3 則a丄3解析 A 中，m與n可垂直、可異面、可平行； B 中 m 與 n 可平行、可異面；C中若allB,仍然滿足m丄n , m? a, n?a，3,故C錯(cuò)誤；故D正確.3. （2014浙江）設(shè)m、n是兩條不同的直線,a、3是兩個(gè)不同的平面，則 （A .若a，B .若ml 3，3丄a，C .若m丄3, n丄3，D .若3，答案解析A中，由m丄n, n / a,可得m? a或mll a或m與a相交，錯(cuò)誤；B中,a，由

5、m/ 3 3丄 a答案 D可得a，m丄a,正確；D中，由m丄n , n丄3, 3丄a,可得m與a相交或m? a或m / a,錯(cuò)誤.a，m? a或m / a或m與a相交，錯(cuò)誤；C中，由m丄3 n丄3可得 m /4 . a 3是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面a及平面3之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷: m丄n；a丄3;n丄3；m丄a,以其中三個(gè)論斷作為條件，剩余的一個(gè)論斷作為結(jié)論, 寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 答案 可填 ? 與 ? 中的一個(gè)題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD,AC丄 CD , / ABC = 60 PA

6、= AB= BC, E 是 PC 的中點(diǎn).證明：（1）CD丄AE;(2)PD丄平面ABE.思維點(diǎn)撥 第（1）問通過DC丄平面PAC證明；也可通過AE丄平面PCD得到結(jié)論；第 問利用線面垂直的判定定理證明直線PD與平面ABE內(nèi)的兩條相交直線垂直.證明在四棱錐P ABCD中,/ FAX 底面 ABCD，CD?平面 ABCD ,而AE?平面PAC, CD 丄 AE.(2)由 FA= AB = BC,/ ABC = 60 可得 AC = PA./ E是PC的中點(diǎn), AE丄 PC. FAX CD.TAC 丄 CD , PAA AC = A, CD丄平面PAC.由(1)，知 AE丄 CD, 且 PCn C

7、D = C, AE丄平面PCD.而 PD?平面 PCD, AE丄 PD./ PA丄底面 ABCD , PA丄 AB.又 AB 丄 AD 且 PAA AD = A, AB丄平面PAD，而PD?平面PAD, AB丄 PD.又 ABn AE = A, PD丄平面ABE.思維升華（1）證明直線和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性（a / b,a,a丄a? b丄a）；面面平行的性質(zhì)（a丄a a/價(jià)a丄3；面面垂直的性質(zhì).（2）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.（3）線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線

8、垂直.(2014重慶)如圖，四棱錐P ABCD中，底面是以 O為中心的菱形，PO丄底面ABCD , AB = 2,1BC上一點(diǎn)，且BM = 2-(1)證明：BC丄平面POM ;若MP丄AP,求四棱錐 P ABMO的體積.C(1)證明 如圖，因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，O為菱形中心，連接 OB,貝U AO丄OB.因?yàn)? BAD=nn故 OB = AB snOAB = 2sin-= 1,6/nOA = AB coS OAB = 2 cgs設(shè)P0 = a，由P0丄底面ABCD知， POA為直角三角形，故 PA2= P02+ 0A2= a2+ 3.由 POM也是直角三角形,故 PM2= PO2+ OM

9、2= a2+ 4.連接 AM，在 ABM 中，AM2= AB2 + BM2 2AB BM - coSABM21212 n 21=22+(2)2 2 2 7哼=亍由已知MP丄AP,故APM為直角三角形，則3 21PA2+ Pm2= am2，即 a2 + 3+ a2+ 3=-得a = , a= （舍去），即P。二爭(zhēng), 止匕時(shí) S四邊形 ABMO = SAOB + Sa OMB=2-AO OB + 2 BM OM所以四棱錐P ABMO的體積1“丄 5/3 遲 _5_VP ABMO = 3 S 四邊形 ABMO PO = - g * 2 =屆-題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2（2013北京）如圖，

10、在四棱錐 P ABCD中，AB / CD , AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面 ABCD , PA丄AD .E和F分別是 CD、PC的中點(diǎn).求證:(1)PA丄底面 ABCD ;(2)BE /平面 PAD ;平面BEF丄平面 PCD.思維點(diǎn)撥平面PAD丄底面ABCD，可由面面垂直的性質(zhì)證 PA丄底面ABCD ;（2）由BE/ AD可得線面平行；（3）證明直線CD丄平面BEF.證明 /平面PAD n平面ABCD = AD.又平面 PAD丄平面ABCD，且PA丄AD. PA丄底面 ABCD.(2) / AB/ CD , CD = 2AB, E 為 CD 的中點(diǎn), AB / DE，且 AB

11、= DE. 四邊形 ABED 為平行四邊形. BE/ AD.又: BE?平面 FAD , AD?平面 FAD, BE/ 平面 PAD./ AB丄AD，且四邊形 ABED為平行四邊形. BE丄CD, AD 丄 CD.由知FA丄底面ABCD，貝U FA丄CD , 又 FA n AD = A, CD丄平面 FAD , 從而CD丄PD,又E、F分別為CD、CP的中點(diǎn), EF / PD, 故 CD丄 EF.由EF , BE在平面BEF內(nèi)，且 EF n BE= E, CD 丄平面 BEF.又 CD?平面 PCD , 平面BEF丄底面PCD.思維升華(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定義； 面面垂直的判定

12、定理(a丄3, a? a a丄3.(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.(2014北京)如圖，在三棱柱ABC AiBiCi 中，側(cè)棱垂直于底面， AB丄 BC, AAi = AC = 2, BC = I , E, F 分別是 AiCi, BC的中點(diǎn).(1)求證：平面 ABE丄平面BiBCCi； 求證：CiF /平面ABE;A求三棱錐E ABC的體積.(1)證明 在三棱柱 ABC AiBiCi中，BBi丄底面ABC,所以BBi丄AB.又因?yàn)锳B丄BC, 所以AB丄平面BiBCCi, 又AB?平面ABE, 所以平面 A

13、BE丄平面BiBCCi.證明 取AB的中點(diǎn)G,連接EG, FG.因?yàn)镋, F分別是AiCi, BC的中點(diǎn),所以FG / AC，且 FG = 2aC.因?yàn)锳C / AiCi, 且 AC = AiCi,所以FG / ECi, 且 FG = ECi,所以四邊形FGECi為平行四邊形.所以 CiF / EG.又因?yàn)镋G?平面ABE, CiF?平面ABE,所以CiF /平面ABE.(3)解 因?yàn)?AAi = AC = 2, BC= 1, AB丄 BC,所以 AB = 7AC2- BC2 =V3.所以三棱錐 E-ABC的體積V =評(píng)厶ABC AA1題型三 直線、平面垂直的綜合應(yīng)用例3 如圖所示，在四棱錐P

14、ABCD 中,平面PAD丄平面ABCD ,AB / DC , PAD是等邊三角形，已知 BD = 2AD = 8, AB= 2DC = 5.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，求證：平面 MBD丄平面 PAD;求四棱錐P ABCD的體積.思維點(diǎn)撥(1)因?yàn)閮善矫娲怪迸cM點(diǎn)位置無關(guān)，所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD，考慮證明BD丄平面PAD.四棱錐底面為一梯形，高為 P到面ABCD的距離.(1)證明 在 ABD 中，/ AD = 4,BD = 8, AB= 4品 AD2 + BD2= AB2. a ad 丄 BD.又平面PAD丄平面 ABCD，平面PAD n 平面 ABCD = AD,BD

15、?平面 ABCD , BD丄平面在底面四邊形 ABCD中，AB/ DC ,AB= 2DC ,PAD.又BD?平面MBD , 平面MBD丄平面PAD.解過P作PO丄AD , 平面PAD丄平面ABCD , PO 丄平面 ABCD , 即PO為四棱錐PABCD的高.又 PAD是邊長為4的等邊三角形, PO= 23.四邊形ABCD為梯形.在Rt ADB中，斜邊AB邊上的高為4X8 =洋,4寸55此即為梯形的高. S四邊形ABCD = 字5 X甕=24.25 VpABCD = tX 24 X 2yJ3= i6jf3. 3思維升華垂直關(guān)系綜合題的類型及解法:(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線

16、線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.垂直與平行結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積.(2013江西)如圖，直四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB / CD, AD 丄 AB, AB = 2, AD = 2, AAi = 3, E 為 CD 上一點(diǎn)，DE = 1, EC=3.(1)證明：BE丄平面 BBiCiC;(1)證明 過B作CD的垂線交CD于F,求點(diǎn)Bi到平面EAiCi的距離.貝U BF = ad =2, EF = AB DE = 1 , FC = 2.在 Rt BFE 中，BE =V3.在 R

17、t CFB 中，BC =76在BEC 中，因?yàn)?BE2 + BC2= 9= EC2,故 BE丄 BC.由BBi丄平面ABCD得BE丄BBi, 又BBin BC = B,所以BE丄平面BBiCiC.解 三棱錐E AiBiCi的體積V = 3aai S/a1b1c1 =邁.在 Rt AiDiCi 中，AiCi = qAiD1+ DiC2= 3亞 同理，ECi = U EC2 + CCi = 3 邁,AiE =寸 iA2 + AD2 + DE2 = 2范 故 SVaiCiE = W5.設(shè)點(diǎn)Bi到平面AiCiE的距離為d, 則三棱錐Bi AiCiE的體積1V = 3 d vaiCiE =V5d,即點(diǎn)B

18、i到平面EAiCi的距離為曙.5題型四 線面角、二面角的求法例4 如圖，在四棱錐 PABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD , / ABC= 60 PA= AB= BC, E 是 PC 的中點(diǎn).(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;證明：AE丄平面PCD ;求二面角 A PD C的正弦值.思維點(diǎn)撥 (1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運(yùn)用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的定義作角.(1)解在四棱錐P ABCD中,因?yàn)镻A丄底面ABCD , AB?平面ABCD , 故 PA丄 AB.又 AB丄 AD, PAn AD = A,從而AB丄平面PAD

19、 , 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為 PA,從而/ APB為PB和平面PAD所成的角.在 Rt PAB 中，AB = PA，故/APB = 45所以PB和平面PAD所成的角的大小為 45證明 在四棱錐P ABCD中,因?yàn)镻A丄底面ABCD , CD?平面ABCD , 故CD丄PA.由條件 CD丄AC , PAn AC = A, CD丄平面PAC.又 AE?平面 FAC, AE丄CD.由 PA = AB= BC, / ABC = 60；可得 AC= PA./ E是PC的中點(diǎn)， AE丄PC.又PC n CD = C,綜上得 AE丄平面PCD.解 過點(diǎn)E作EM丄PD,垂足為M，連接AM，如圖所示.由知

20、，AE丄平面PCD , AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則可證得AM丄PD.0因此/ AME是二面角 A PD C的平面角.由已知，可得/ CAD = 30設(shè)AC = a,可得PA= a, AD = 233a, PD = a, AE=a.在 Rt ADP 中，/ AM 丄 PD , AM PD = PA AD,則AM =計(jì)a=導(dǎo)在 Rt AEM 中，sin / AME =卷=呼.所以二面角A PD C的正弦值為 卑4思維升華 求線面角、二面角的常用方法:線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線,找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量

21、.平面角的作法常見的有 定義法;垂面法注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).已知在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD丄平面ABCD ,E、F、G分別是FA、PB、BC的中點(diǎn).(1)求證：EF丄平面PAD ；(2)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小;(3)若M為線段AB上靠近A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問當(dāng) AM長度等于多少時(shí)，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于耍?5(1)證明平面PAD丄平面 ABCD，且平面 PAD n平面 ABCD = AD , AB丄AD , AB丄平面PAD, / E、F 為 PA、PB 的中點(diǎn)， EF / AB, EF丄平

22、面PAD.n解取AD的中點(diǎn)H, 連接EH, GH./ EF / HG, AB/ HG , HG是所求二面角的棱, / HG / EF , HG丄平面PAD , AD 丄 HG , EH 丄 HG , / EHA是銳二面角的平面角,/ PAD 為正三角形，且 ED / PD, / EHA = 60.解 過M作MK丄平面EFG于K，連接KF , 則/ KFM即為MF與平面EFG所成角,因?yàn)锳B / EF，故AB /平面EFG，故AB上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于 A到平面EFG的距離./ HG丄平面PAD , 平面EFGH丄平面PAD于EH , A到平面EFG的距離即三角形 EHA的高，等于護(hù),普

23、=，F(xiàn)M =5,在直角梯形 EFMA中，AE= EF = 2, AM = i 或 AM = 3, / M 靠近 A, AM = i,當(dāng)AM = i時(shí)，MF與平面EFG所成角的正弦值等于 些.5立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想典例：（12分）如圖所示，M , N, K分別是正方體 ABCD AiBQiDi的棱AB, CD , CiDi的中點(diǎn).求證：（i）AN /平面 AiMK ;(2)平面 AiBiC丄平面 AiMK.思維點(diǎn)撥（i）要證線面平行，需證線線平行.（2）要證面面垂直，需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直.規(guī)范解答證明(1)如圖所示，連接NK.在正方體 ABCD AiBiCiDi中,四

24、邊形AAiDiD，DD1C1C都為正方形, AAi/ DDi, AAi= DDi, Ci Di II CD , CiDi= CD.2 分 N, K分別為CD , CiDi的中點(diǎn), DN / DiK , DN = DiK,四邊形DDiKN為平行四邊形.3分 KN / DDi , KN = DDi, AAi I KN , AAi= KN.四邊形AAiKN為平行四邊形. AN / AiK.4分/ AiK?平面 AiMK , AN?平面 AiMK , AN / 平面 AiMK .6 分 如圖所示，連接 BCi.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AB / CiDi, AB= CiDi. M , K

25、分別為AB , CiDi的中點(diǎn), BM / CiK , BM = CiK.四邊形BCiKM為平行四邊形. MK / BCi.8分在正方體 ABCD AiBiCiDi 中，AiBi丄平面 BBiCiC,BCi?平面 BBiCiC, AiBi 丄 BCi. MK / BCi , AiBi丄 MK.四邊形BBiCiC為正方形， BCi丄BiC.i0分 MK 丄 BiC. AiBi?平面 AiBiC, BiC?平面 AiBiC, AiBiP BiC= Bi, MK 丄平面 AiBiC.又 MK?平面 AiMK , 平面 AiBiC丄平面 AiMK.i2 分溫馨提醒(i)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指

26、導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理;線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書寫要規(guī)范方法與技巧1三類論證 (1)證明線線垂直的方法 定義：兩條直線所成的角為90 平面幾何中證明線線垂直的方法； 線面垂直的性質(zhì)：a丄a, b? a? a丄b;線面垂直的性質(zhì)：a丄a, b/ a? a_L b.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直? a 丄 a；m、n? a， md

27、 n= A判定定理1:? I丄I 丄 m, I 丄 na，a；判定定理2: a/ b, a丄a b丄a;面面平行的性質(zhì)：a/ 3 a丄a? a丄3面面垂直的性質(zhì)：a丄3 ad 3= I , a?a，(3)證明面面垂直的方法 利用定義:兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a? a a丄價(jià)a丄B 2 .轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化死宦賤踐垂直譏P戈面睡直J匸面面垂直在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則 可通過作輔助線來解決.失誤與防范1 .在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂

28、直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：45分鐘）1.給出下列四個(gè)命題:垂直于同一平面的兩條直線相互平行; 垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行; 若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行; 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任一直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）答案B. 2 C. 3 D. 4解析由直線與平面垂直的性質(zhì)，可知 正確；正方體的相鄰的兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，而不平行，故 錯(cuò)；由直線與平面垂直的定義知 正

29、確，而 錯(cuò).2 下列命題中錯(cuò)誤的是（）A 如果平面 a丄平面3那么平面 a內(nèi)一定存在直線平行于平面3B .如果平面a不垂直于平面 3那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C .如果平面 a丄平面 Y平面 肚平面 Y aPl 3= l,那么I丄平面丫D .如果平面 a丄平面 3那么平面 a內(nèi)所有直線都垂直于平面答案 D即與平面3的關(guān)解析 對(duì)于D，若平面a丄平面3,則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面系還可以是斜交、平行或在平面3內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的.Ci在底面 ABC上的射影H必在（）C3.如圖，在斜三棱柱ABC AiBiCi中，/ BAC = 90 A .直線AB上B .直線BC上C .直線A

30、C上D . ABC內(nèi)部答案 A解析 由AC丄AB, AC丄BCi, AC丄平面ABCi.又 AC?面ABC , 平面ABCi丄平面ABC. Ci在面ABC上的射影H必在兩平面交線AB 上.4如圖所示，已知 E, F分別是正方體的棱BB1, AD的中點(diǎn)，則直線EF和平面BDDiBi所成角的正弦值是（A. 6 B. 6C-3答案 B解析 設(shè)正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長為2，如圖，連接AE,過F作BD的垂線FH交BD于H,連接EH,則FH丄平面BDDiBi,所以fl虬E-rJA直線EF和平面BDDiBi所成的角為/ FEH，因?yàn)镕H =*, AF = 1, AE/5, EF = ，故si

31、n/ FEH =黑=，故選 B. EF 6B5.如圖所示，直線 PA垂直于O O所在的平面， ABC內(nèi)接于O 0,且AB為O 0的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：BC丄PC;0M / 平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段 BC的長，其中正確的是 ( )A .B .C .D . 答案 B解析 對(duì)于， PA丄平面ABC, PA丄BC, / AB為O0的直徑， BC丄AC, BC丄平面PAC,又 PC?平面 FAC, BC丄 PC;對(duì)于，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)， 0M / PA, / PA?平面 PAC, OM / 平面 PAC;對(duì)于，由知BC丄平面PAC , 線段BC的長即是點(diǎn)B到平面P

32、AC的距離，故 都 正確.的直線中，與PC垂直的直線有;與AP垂直的直線有6.如圖，/ BAC = 90 PC丄平面ABC,則在 ABC和 PAC的邊所在答案 AB、BC、AC AB解析 / PC丄平面ABC, PC垂直于直線 AB, BC, AC; / AB丄AC,AB丄PC, AC n PC= C, AB丄平面PAC, 與AP垂直的直線是 AB.7在正三棱錐（底面為正三角形且側(cè)棱相等 ）P ABC中，D , E分別是AB, BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷： AC丄PB;AC/平面 PDE;AB丄平面 P DE.其中正確論斷的序號(hào)為答案 解析 如圖， P ABC為正三棱錐, PB 丄 AC;又

33、V DE / AC, DE?平面 PDE , AC?平面 PDE , AC /平面PDE.故正確.8 .正方體ABCD AiBiCiDi中，BBi與平面ACD i所成角的余弦值為C,解析 畫出圖形，如圖，BBi與平面ACDi所成的角等于 DDi與平面ACDi所成的角，在三棱錐 D ACDi中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACDi內(nèi)的射影為等邊三角形 ACDi的垂心即中心 H ,連接DiH , DH，則=3 ./ DDiH為DDi與平面ACDi所成的角，設(shè)正方體的棱長為a,貝U cos/ DDiH=a9 .在如圖所示的幾何體中， 四邊形ABCD是直角梯形，AD / BC,AB丄BC,AD =

34、2, AB = 3, BC= BE = 7,A DCE是邊長為6的正三角形.(i)求證：平面 DEC丄平面BDE ;求點(diǎn)A到平面BDE的距離.(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,AD / BC, AB 丄 BC, AD= 2, AB= 3，所以 BD = 13又因?yàn)锽C= 7, CD = 6,所以根據(jù)勾股定理可得 BD丄CD , 因?yàn)锽E = 7, DE = 6,同理可得 BD丄DE.因?yàn)?DE n CD = D, DE?平面 DEC , CD?平面 DEC , 所以BD丄平面 DEC.因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面 DEC丄平面BDE.連接0E,因?yàn)?DCE是邊長為6的正三角形,解如圖

35、，取CD的中點(diǎn)0,所以E0丄CD , E0 =亦, 由 易知E0丄平面ABCD ,貝y VeABD = 32X 3X 3/3 = 33,又因?yàn)镽t BDE的面積為12 X 6f3= 3再設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h, 則由 Ve ABD= Va BDE , 得3x n3h=3V3,所以 h= 3i39,所以點(diǎn)A到平面BDE的距離為3侮i3 .10. （2014 東）如圖，在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD是等腰梯形，/ DAB = 60 AB= 2CD = 2, M是線段 AB的中點(diǎn).(1)求證：CiM /平面 AiADDi;若CDi垂直于平面 ABCD且CDi = Q3，

36、求平面CiDiM和平面 ABCD 所成的角（銳角）的余弦值.M（i）證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,且 AB = 2CD,所以 AB / DC.又由M是AB的中點(diǎn)，因此 CD / MA且CD = MA.C,連接ADi,如圖（i）.在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中,因?yàn)?CD / CiDi, CD = CiDi,可得 CiDi/ MA, CiDi = MA ,所以四邊形AMCiDi為平行四邊形,因此 CiM / DiA.又 CiM?平面 AiADDi,DiA?平面 AiADDi,所以CiM /平面AiADDi.解方法一如圖，連接AC, MC.由(i)知 CD / AM 且 CD = AM

37、 ,Hl所以四邊形AMCD為平行四邊形, 可得 BC = AD = MC , 所以 / ABC = / DAB = 60 所以 MBC為正三角形,因?yàn)?AB = 2BC= 2，可得 CA=73,因止匕CA丄CB.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.所以 A(萌,0,0), B(0,1,0), Di(0,0,羽),因此M斗3, i, 0 , 所以 MIDi=-窖,-2, PCPA= PBPCPA= PB = PCPAM PB 豐 PC答案 C解析 / M為AB的中點(diǎn)， ACB為直角三角形， BM = AM= CM，又PM丄平面ABC, Rt PMB 也 Rt PMA也 Rt

38、PMC ,故 PA = PB = PC.12.已知a, 3 丫是三個(gè)不同的平面， 命題“a/ 3且a丄Y 3丄Y是真命題，如果把a(bǔ),a,個(gè).丫中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有 答案 2解析 若a, 3換為直線a, b，則命題化為“a / b,且a丄Y b丄Y，此命題為真命題；若a, 丫換為直線a, b，則命題化為“a/ 3且a丄b? b丄3，此命題為假命題；若 3 丫換為a,直線a, b,則命題化為 “a / a,且b丄0? a丄b”，此命題為真命題.13.如圖，已知六棱錐 P ABCDEF的底面是正六邊形，F(xiàn)A丄平面ABC,PA= 2AB,則下列結(jié)論中：

39、PB丄AE;平面 ABC丄平面PBC;直線BC/平面 PAE;/ PDA = 45 .其中正確的有(把所有正確的序號(hào)都填上)答案 解析 由PA丄平面ABC, AE?平面ABC，得FAX AE,又由正六邊形的性質(zhì)得 AE丄AB, FA n AB = A,得AE丄平面FAB,又PB?平面FAB, AE丄PB,正確;/平面PAD丄平面ABC, 平面ABC丄平面PBC不成立，錯(cuò);由正六邊形的性質(zhì)得BC / AD ,又 AD?平面 PAD , BC?平面 PAD , BC / 平面 PAD,直線BC /平面PAE也不成立，錯(cuò);在 Rt PAD 中，PA = AD = 2AB,PDA = 45正確.14.

40、如圖，A, B, C, D 為空間四點(diǎn)，在 ABC 中，AB = 2, AC = BC = 2,等邊三角形 ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng).(1)當(dāng)平面 ADB丄平面 ABC時(shí)，求CD的長;當(dāng) ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有 AB丄CD ?證明你的結(jié)論.解 (1)取AB的中點(diǎn)E,連接DE, CE./ ADB是等邊三角形， DE丄AB.當(dāng)平面ADB丄平面ABC時(shí), 平面 ADB n 平面 ABC = AB, DE丄平面ABC，可知DE丄CE.由已知可得 DE =V3, EC = 1.在 Rt DEC 中，CD = a/de2+ EC2 = 2.當(dāng) ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有 AB丄CD.證明如下:當(dāng)D在平面AB

41、C內(nèi)時(shí)，/ AC= BC, AD= BD , C, D都在線段AB的垂直平分線上，即 AB丄CD.當(dāng)D不在平面 ABC內(nèi)時(shí)，由 知AB丄DE.又 AC = BC, AB丄 CE.又DE , CE為相交直線， AB丄平面CDE.由 CD?平面 CDE，得 AB丄 CD.綜上所述，總有AB丄CD.15. (2014天津)如圖，在四棱錐 P ABCD中，F(xiàn)A丄底面 ABCD ,AD 丄 AB,AB / DC, AD = DC = AP= 2, AB = 1,點(diǎn) E 為棱 PC 的中占I 八、(1)證明:BE 丄 DC ;(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足 BF丄AC,求二面角F AB P的余弦值.方法一 (1)證明 依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖D(0,2,0), P(0,0,2) 由 E 為棱 PC 的中點(diǎn)，得 E(1,1,1).BE= (0,1,1),DC = (2,0,0),故BE DC = 0,(1)，可得 B(1,0,0) ,C(2,2,0),N