傳熱學-第四章-熱傳導問題數(shù)值解法

1、作業(yè)：作業(yè)：第四版：第四版：3-23-2，3-313-31，3-483-482022-1-141第四章第四章導熱問題的數(shù)值解法導熱問題的數(shù)值解法Numerical Method forHeat Conduction2022-1-143主要內容（重點掌握）：導熱問題數(shù)值求解的基本思想導熱問題數(shù)值求解的基本思想內外節(jié)點離散方程的建立內外節(jié)點離散方程的建立非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法 Friday, January 14, 20224特點：特點： (1) 分析法分析法 a 能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提

2、供比較依據(jù)； b 分析解具有普遍性，各參數(shù)的物理意義及影響清晰分析解具有普遍性，各參數(shù)的物理意義及影響清晰 c 局限性很大，對復雜的問題無法求解；局限性很大，對復雜的問題無法求解；前述前述2、3章對導熱問題的求解思路：章對導熱問題的求解思路：導熱微分方程導熱微分方程+邊界條件邊界條件+初始條件初始條件穩(wěn)態(tài)問題：直接積分法穩(wěn)態(tài)問題：直接積分法非穩(wěn)態(tài)問題：分離變量法非穩(wěn)態(tài)問題：分離變量法解析解（解析解（analytical solution）局限性：局限性：簡單幾何形狀及邊界條件簡單幾何形狀及邊界條件工程實際中面臨的大部分問題幾何形狀和邊界條件要復雜的多，由于數(shù)學上工程實際中面臨的大部分問題幾何形

3、狀和邊界條件要復雜的多，由于數(shù)學上的困難還不能給出解析解，導致目前解析解只能作為某些簡單問題的參照依的困難還不能給出解析解，導致目前解析解只能作為某些簡單問題的參照依據(jù)，不能解決實際問題。據(jù)，不能解決實際問題。研究傳熱學問題的三種基本方法：研究傳熱學問題的三種基本方法：(1)理論分析法；理論分析法； (2)實驗法；實驗法；(3)數(shù)值計算法數(shù)值計算法Friday, January 14, 20225(2) 實驗法實驗法: 是傳熱學的基本研究方法：是傳熱學的基本研究方法：a 偏向于機理研究；偏向于機理研究；b.受場地，燃料動力源等因素的影響，無法完全復現(xiàn)研究對象，具有時間、受場地，燃料動力源等因素

4、的影響，無法完全復現(xiàn)研究對象，具有時間、空間上的局限性空間上的局限性c.費用昂貴費用昂貴(3) 數(shù)值方法數(shù)值方法數(shù)值方法：把原來在數(shù)值方法：把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場時間和空間連續(xù)的物理量的場，用，用有限個離散點上的值有限個離散點上的值的集合的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數(shù)方程代數(shù)方程，從而獲得，從而獲得離散點上被求物理量的值離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；并稱之為數(shù)值解a. 在很大程度上彌補了分析法的缺點；適應性強，特別對于復雜問題更顯其在很大程度上彌補了分析法的缺點；適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)

5、越性；優(yōu)越性；b. 與實驗法相比成本低與實驗法相比成本低數(shù)值解法：數(shù)值解法：有限差分法（有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法（有限元法（finite-element） 、 邊界元法（邊界元法（boundary- element）、）、 分子動力學模擬（分子動力學模擬（MD） Friday, January 14, 202264-1 4-1 導熱問題數(shù)值求解的基本思想導熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（建立網格系統(tǒng)）針對所有節(jié)點建立某物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是改進初場否是否收斂步驟：步驟：Friday, Janua

6、ry 14, 20227研究對象：研究對象：二維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內熱源導熱問題二維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內熱源導熱問題1.建立控制方程，給出定解條件：B.C.Friday, January 14, 202282.區(qū)域離散化-建立網格系統(tǒng)相鄰節(jié)點之間的距離相鄰節(jié)點之間的距離步長步長（step length）節(jié)點（節(jié)點（node）：）：網格線的交點，是需要確定溫度值的點，是每個子區(qū)域的代表。網格線的交點，是需要確定溫度值的點，是每個子區(qū)域的代表。網格線：網格線：一系列與坐標軸平行且相互交叉的網格線，將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域一系列與坐標軸平行且相互交叉的網格線，將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域元體（元體（

7、element）或或控制容積控制容積（control volume）：）：相鄰兩相鄰兩節(jié)點中錘線構成的區(qū)域。節(jié)點中錘線構成的區(qū)域。xyxyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Friday, January 14, 202293.建立物理量的代數(shù)方程建立物理量的代數(shù)方程節(jié)點(m,n)上物理量的代數(shù)方程物理量的代數(shù)方程稱為離散方程（discretizationequation），是數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)。4.設立迭代初場設立迭代初場代數(shù)方程組的解法分為直接解法和迭代法，有限差分解法有限差分解法主要采用迭代法迭代法。其中每一個未知數(shù)都需要給定一個初值，其合集稱之為初場（initialfield）5.求解

8、代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組各項系數(shù)（l等）經確定后，在求解過程中不發(fā)生變化線性問題r，c，l，e隨溫度變化各項系數(shù)在每次迭代中更新非線性問題6.解的分析解的分析獲得溫度場不是最終目的，根據(jù)傅里葉定律獲取界面處的熱流q，熱應力，熱變形等。若把矩形看成肋片，最終目的可能是求其肋效率等。Friday, January 14, 202210建立離散方程的常用方法：建立離散方程的常用方法：4-2 4-2 離散方程的建立方法離散方程的建立方法Friday, January 14, 202211Friday, January 14, 202212a，b相加得：略去無窮小量有：Friday, January 1

9、4, 202213同理，在y軸方向有：這種使用被離散點本身、前后兩點作近似的差分方法稱為中心差分傳熱學中常用到的一階二階導數(shù)的差分表達式如下表所示（均分網格）：Friday, January 14, 202214Friday, January 14, 202215思路：思路：類似于導熱微分方程的推導，利用傅里葉定律，直接寫出每個控制體的能量守恒方程。均分網格：直接將能量守恒原理與傅里葉定律應用于節(jié)點所代表的控制體。物理概念清晰，直接將能量守恒原理與傅里葉定律應用于節(jié)點所代表的控制體。物理概念清晰，推導過程簡潔，應予以重點掌握！推導過程簡潔，應予以重點掌握！非均網格只需對界面面積做適當處理即可(

10、m,n)Friday, January 14, 2022164-3 4-3 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解第一類邊界條件：已知全部邊界的溫度，作為已知值加入到內節(jié)點的離散方程中，第一類邊界條件：已知全部邊界的溫度，作為已知值加入到內節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)封閉第二類邊界條件或第三類邊界第二類邊界條件或第三類邊界條件：部分邊界溫度未知。條件：部分邊界溫度未知。不封閉(m,n)Friday, Janua

11、ry 14, 2022171.1.邊界節(jié)點離散方程的建立：邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的節(jié)點(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)Friday, January 14, 202218(2) 內部角點內部角點xyqw(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)(m+1,n)Friday, January 14, 202219(3) 外部角點外部角點xy(m,n)(m,n-1)(m-1,n)qwFriday, January 14, 202220熱流邊界熱流邊界qw分為三種情況討論：分為三種情況討論：第三類邊界條件：第三類邊界條件：(

12、3) 輻射邊界條件：輻射邊界條件：Friday, January 14, 202221 迭代法：給出初場，在迭代中不斷改進，直至滿足收斂條件為止。 直接求解：矩陣求逆，高斯消元法等經過有限次運算獲得代數(shù)方程的精確解。Friday, January 14, 202222Friday, January 14, 202223Friday, January 14, 202224當有溫度t接近于零的時，選此準則較好迭代次數(shù)，表示第k次迭代表示第k次迭代所得計算域內的最大值Friday, January 14, 202225例題：Friday, January 14, 202226Friday, January 14, 202227 4-4 4-4 非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法 Friday, January 14, 202228Friday, January 14, 202229向前差分向前差分當前（當前（i i）時）時層層左側導入熱量右側導入熱量Friday, January 14, 202230Friday, January 14, 202231內部節(jié)點溫度方程的隱式差分格式內部節(jié)點溫度方程的隱式差分格式 Friday, January 14, 202232Friday, January 14, 202233向前差分向前差分前一時