遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析

1、求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對(duì)數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項(xiàng)公式例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，

2、得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、利用累加法求通項(xiàng)公式例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)

3、系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出+，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、利用累乘法求通項(xiàng)公式例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國15題）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)解：因?yàn)樗运允绞降脛t則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為（n2），進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)n2時(shí)的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=1

4、，代入式，得由0及式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式，得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公

5、比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、利用對(duì)數(shù)變換法求通項(xiàng)公式例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、利用迭代法求通項(xiàng)公式例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋杂?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為

6、。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而七、利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)n=1時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對(duì)任何評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、利用換元法求通項(xiàng)公式例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為

7、，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，即，得。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、利用不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)公式例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首

8、項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十、利用特征根法求通項(xiàng)公式例16 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：的相應(yīng)特征方程為，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程組求得從而。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.3遞推數(shù)列一、基本知識(shí)簡(jiǎn)述1有關(guān)概念：我們?cè)谘芯繑?shù)列an時(shí)，如果任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則此公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。

9、主要有以下幾種方法：（1） 構(gòu)造法：通過構(gòu)造特殊的數(shù)列（一般為等差數(shù)列或等列），利用特殊數(shù)列的通項(xiàng)求遞推數(shù)列的通項(xiàng).（2） 迭代法：將遞推式適當(dāng)變形后，用下標(biāo)較小的項(xiàng)代替某些下標(biāo)較大的項(xiàng)，在一般項(xiàng)和初始之間建立某種聯(lián)系，從而求出通項(xiàng).（3） 代換法：包括代數(shù)代換、三角代換等（4） 待定系數(shù)法：先設(shè)定通項(xiàng)的基本形式，再根據(jù)題設(shè)條件求出待定的系數(shù)。3.思想策略：構(gòu)造新數(shù)列的思想。4.常見類型： 類型：（一階遞歸）類型II:分式線性遞推數(shù)列:二、例題：例1：，求通項(xiàng) 分析：構(gòu)造輔助數(shù)列， ，則求通項(xiàng)過程中，多次利用遞推的思想方法以及把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列去討論，從而求出了通項(xiàng)公式。一般形式

10、已知，其中p,q,a為常數(shù)，求通項(xiàng)同類變式已知數(shù)列滿足，且，求通項(xiàng)分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列使其為等比數(shù)列，即，解得求得歸納：類型：（一階遞歸）其特例為：（1）時(shí), 利用累加法，將，+,+,各式相加，得 +(n2)(2)時(shí),;利用累乘法,（3）時(shí),解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列法1：(常數(shù)變易法) 設(shè) 則，從而亦即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為p的等比數(shù)列，從而可得：， 法2：利用成等比數(shù)列求出，再利用迭代或迭另法求出法3：由，則可得 ,從而又可得 即（4）時(shí),兩邊同除以例2：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例3：數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.提示歸納：類型II:分式

11、線性遞推數(shù)列:練習(xí)：1.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·

12、;2當(dāng)n2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用練習(xí)：2.設(shè)二次方程x-x+1=0(nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a；例9數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）由題意，為等差

13、數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競(jìng)賽題遞推數(shù)列是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的“熱點(diǎn)”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構(gòu)建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問題，基本思路是根據(jù)題設(shè)提供的信息，構(gòu)建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系，然后通過研究新數(shù)列達(dá)到問題解決之目的。其中，怎樣構(gòu)造新數(shù)列是答題關(guān)鍵。1 求通項(xiàng)求通項(xiàng)是遞推數(shù)列競(jìng)賽題的常見題型，這類問題可通過構(gòu)建新數(shù)列進(jìn)行代換，使遞推關(guān)系式簡(jiǎn)化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)

14、化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。例1、數(shù)列中，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析 本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則 ， ，即化簡(jiǎn)得 ，即 數(shù)列 是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 即 2 證明不等式這類題一般先通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，然后證明不等式或者對(duì)遞推關(guān)系式先進(jìn)行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡(jiǎn)化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。例2、設(shè)， ，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這

15、兩個(gè)信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則 ，又 ， ，從而 因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列?？紤]到當(dāng)時(shí)，有 。所以，注：對(duì)型如 ，都可采用三角代換。3 證明是整數(shù)這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識(shí)結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決。例3、設(shè)數(shù)列滿足， 求證： 。（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第8期第53頁，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題）分析 直接令，轉(zhuǎn)化為證明 證明：構(gòu)建新數(shù)列，令則 ，代入 整理得 從而 于是 由已知，由上式可知，依次類推， ，即。例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列

16、如下： ， 求證：。（1992年中國臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 把條件變形為比較與 前的系數(shù)及與 的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明：由已知得構(gòu)建新數(shù)列，則， 又 | | ，從而 。4 解決整除問題一般通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。例5、設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解：由已知構(gòu)建新數(shù)列 則， 從而，當(dāng)時(shí)，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8，及的一切自然數(shù)。5 證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，問題也就迎刃而解了。例6、