2020年中考數(shù)學動態(tài)問題-折疊中圖形存在性問題(含答案)

1、專題06動點折疊類問題中圖形存在性問題一、基礎(chǔ)知識點綜述動點型問題是指題設中的圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線、直線、拋物線、雙曲線、 弧線等上運動的一類非常具有開放性的題目.而從其中延伸出的折疊問題，更能體現(xiàn)其解題核心一一動中求靜，靈活運用相關(guān)數(shù)學知識進行解答，有時需要借助或構(gòu)造一些數(shù)學模型來解答實行新課標以來，各?。ㄊ校┑闹锌紨?shù)學試卷都會有此類題目，這些題目往往出現(xiàn)在選擇、填空題的壓軸部分，題型繁多，題意新穎，具有創(chuàng)新力.其主要考查的是學生的分析問題及解決問題的能力要求學生具備：運動觀點；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想等等存在性問題主要有等腰三角形存在性、直角三角

2、形存在性、特殊落點存在性等問題，常用的數(shù)學解題模型有“一線三直角”等模型，作圖方法是借助圓規(guī)化動為靜找落點解題思路：分析題目一依據(jù)落點定折痕一建立模型一設出未知數(shù)列方程求解一得到結(jié)論解題核心知識點：折疊性質(zhì)；折疊前后圖形大小、形狀不變；折痕是折疊前后對應點連線的垂直平分線；勾股定理；相似圖形的性質(zhì)、三角函數(shù)等.等腰三角形存在性問題解題思路：依據(jù)圓規(guī)等先確定落點，再確定折痕；直角三角形存在性問題解題思路：依據(jù)不同直角頂點位置分類討論，作出圖形求解 二、精品例題解析題型一：折疊問題中等腰三角形存在性問題例1. （2019 金水區(qū)校級模擬）如圖，/AOB=90 ° ,點P為/AOB內(nèi)部一點

3、，作射線 OP,點M在射 線OB上，且OM = J3 ,點M與點M '關(guān)于射線 OP對稱，且直線 MM '與射線OA交于點N ,當4 ONM '為等腰三角形時，ON的長為例2. （2017 蜀山區(qū)期末）如圖所示，4ABC中，/ACB=90 ° ,AC<BC,將AABC沿EF折疊，使點A落在直角邊BC上的D點，設EF與AB、AC分別交于點E、點F,如果折疊后 CDF與ABDE均為等腰三 角形，則/ B=.題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例3. （2017 營口）在矩形紙片ABCD中，AD = 8, AB = 6, E是邊BC上的點，將紙片沿 AE折疊

4、,使點B落在點F處，連接FC,當4EFC為直角三角形時，BE的長為.例4. （2019 -唐河縣三模）矩形ABCD中，AB=4 , AD=6，點E為AD的中點，點 P為線段AB上一個動點，連接EP,將AAPE沿PE折疊得到FPE,連接CE, CF,當CEF為直角三角形時，AP的長為_3例5. （2019 許昌二模）如圖，已知平行四邊形 ABCD中，AB=16, AD=10 , sinA= 5,點M為AB邊上一動點，過點M作MN XAB交AD邊于點N ,將/A沿直線MN翻折，點A落在線段AB上的點E處.當 3DE為直角三角形時，AM的長為.例6. （2019 金水區(qū)校級一模） 如圖，在 RtMB

5、C中，AB=3, BC= 4,點P為AC上一點，過點 P作PDLBC于點D,將PCD沿PD折疊，得到PED,連接AE.若那PE為直角三角形，則 PC=.例7. （2019 臥龍區(qū)一模）如圖，在RtMBC中，AC=8, BC= 6,點D為斜邊AB上一點，DEAB 交AC于點E,將MED沿DE翻折，點A的對應點為點F.如果4EFC是直角三角形，那么AD的長為.例8. （2019 河南模擬）在矩形ABCD中，AB = 3, BC=4,點E, F分別為BC, AC上的兩個動點， 將CEF沿EF折疊，點C的對應點為G,若點G落在射線AB上，且AGF恰為直角三角形，則線段 CF 的長為二、精品例題解析題型

6、一：折疊問題中等腰三角形存在性問題例1. （2019 金水區(qū)校級模擬）如圖，/ AOB=90 ° ,點P為/AOB內(nèi)部一點，作射線 OP,點M在射線OB上，且OM = J3 ,點M與點M '關(guān)于射線OP對稱，且直線MM '與射線OA交于點N ,當AONM '【分析】分三種情況討論:15當M'落在線段 ON的垂直平分線上時，即 M' N = M' O,設/ONM =x° ,通過三角形外角定理及三角形內(nèi)角和定理求得 x=30 ° ,進而利用三角函數(shù)求得 ON的長;當M' N = ON時，作出圖形，得到/ ONM

7、'度數(shù)，利用三角函數(shù)求解;當M' O=ON=OM= J3,此時M、M'、N點不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在【答案】1或3.【解析】解：由 ONM '為等腰三角形，分以下三種情況討論：當M'落在線段 ON的垂直平分線上時，即 M' N = M' O,如圖所示,設/ONM ' =x° ,則zOM' M=/OMM ' =2x°,力AOB=90. x+2 x=90 ,解得：x=30 ,在 RtNOM 中，ON =OMtan30當M' N = ON時，如下圖所示,過 M'作 M

8、 ' H，OA 于 H,1八,3HM，= -OM'=22在RtmNM 中，NM 'cos30=1 ，即 ON=1 ;當 M' O=ON=OM=此時M、M'、N點不在一條直線上，與題意不符，此種情況不存在故答案為：1或3.例2. （2017 蜀山區(qū)期末）如圖所示，4ABC中，/ACB=90。，ACwBC,將AABC沿EF折疊，使點A 落在直角邊BC上的D點，設EF與AB、AC分別交于點E、點F,如果折疊后 CDF與ABDE均為等腰三角形，則/ B= _折疊CC【分析】由題意知， CDF是等腰三角形，則 CD=CF,zBDE是等腰三角形時，分三種情況討論:當

9、DE=BD時，設/B=x° ,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得 x=45 ;當BD=BE時，作出圖形，設/ B=x° ,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得x=30 ;當BE=DE時，得/FDB=90 ° , zFDB+/CDF=135。升80 ° ,此時C、D、B點不在一條直線上，與 題意不符，此種情況不存在.【答案】45。薰0。.【解析】解：由題意知，4CDF是等腰三角形，貝U CD=CF, /CDF=/CFD=45. ZFDB=135 ° ,zBDE是等腰三角形時，分以下三種情況討論：當DE=BD時，見下圖，設/B=x° ,貝U

10、/DEB=x, /EDB=180 ° -2x,由折疊知：/ A= /FDE=90 °詼，180 - 2x+90 -x =135 ,解得：x=45 ,即/B=45 ° ;當BD=BE時，如下圖所示，設/B=x貝 U/EDB=180 x由折疊知:/ A= /FDE=90 ° 詼,7+90-x =13屋解得：x=30,即/B=30當 BE=DE 時，得/ B= /EDB,4DB=/FDE+/EDB=/A+/B=90 ° , EDB+/CDF=135 ° 180 ° ,此時C、D、B 點不在一條直線 上，與題意不符，此種情況不存在

11、.故答案為：45 °或30°.題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例3. （2017 營口）在矩形紙片ABCD中，AD = 8, AB = 6, E是邊BC上的點，將紙片沿 AE折疊, 使點B落在點F處，連接FC,當4EFC為直角三角形時，BE的長為.【分析】根據(jù)題意作出圖形，通過分析可知：點E F均可為直角頂點，因此分兩種情況討論，作出圖形后，根據(jù)勾股定理等知識求得結(jié)果 .【答案】3或6.【解析】解：: AD = 8, AB = 6,四邊形ABCD為矩形，BC = AD = 8, /B = 90 ° ,根據(jù)勾股定理得：AC=10.由分析知，4EFC為直角三角形

12、分下面兩種情況：當/EFC= 90°時，如下圖所示，由折疊性質(zhì)知：/ AFE= /B=90 ° , £FC= 90 ° ,AF = AB=6,. A、F、C三點共線，又AE平分/BAC,. CF=AC AF=4 ,設 BE=x,則 EF=x, EC=8 -x,在RtAEFC中，由勾股定理得：22 一 2x 48 x ,解得：x=3 ,即 BE=3 ;當/FEC= 90°時，如下圖所示.由題意知：/ FEC= 90° ,乃EB= 90 ° ,. &EF= /BEA= 45 ° ,:四邊形ABEF為正方形，BE

13、=AB=6.綜上所述：BE的長為3或6.故答案為：3或6.例4. （2019 -唐河縣三模）矩形ABCD中，AB=4 , AD=6，點E為AD的中點，點P為線段AB上【分析】當CEF為直角三角形時，通過分析知:一個動點，連接 EP,將AAPE沿PE折疊得到FPE,連接CE, CF,當CEF為直角三角形時，AP的長為/FCE<90°，不可能為直角頂點，故分兩種情況討論:ZEFC=90 °或乃EC=90。，作出圖形求解;一 9 一【答案】一或1.4【解析】解：分以下兩種情況討論：(1) /EFC=90 ° ,如下圖所示,由折疊性質(zhì)知：/ A=ZPFE=90

14、76; ,AP=PF所以點P、F、C在一條直線上,. EF= ED=3 ,RtACEER"ED,由勾股定理得：CE=5 ,CD= CF=4 ,設 AP=x,貝U PF=x, PC=x+4, BP=4 x,在RtABCP中，由勾股定理得:解得:(2)過F作FHXAD于H,過P作PGXFH于G,ZFEC=90 ° ,如下圖所示,易知/EFH=/ECD,FHDEEFFHCE3即FH=12,EH= ,AH = PG= ，由/FPG= /HFE,cos ZFPG= cos/HFE,PG即一PF35PFFHEF9解得:PF=1 ;-9 _ 故答案為：一或1.4【分析】分兩種情況討論：當

15、/ CDE=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解；當/當/CDE= 90° ,如下圖所示，例5. （2019 -許昌二模）如圖，已知平行四邊形 ABCD中，AB=16, AD=10 , sinA= ?,點M為AB5邊上一動點，過點 M作MN LAB交AD邊于點N,將/A沿直線MN翻折，點A落在線段AB上的點EDEC=90 ° ,過D 作DHXAB于H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：得到 DH=6, AH =8,設EH=x,根據(jù)勾股定理得到 x= 82 x = 8+2 71 （舍去），得 AE = AH+HE= 16 2 J7 ,于是得到 AM =8 J7 .【解析】解：當 CDE為

16、直角三角形時,在平行四邊形 ABCD中，AB/CD,DE± AB,由折疊知：MN ±AB, AM = EM,MN /DE,. AN = DN = - AD = 5, 2 MN 3由 sinA =,AN 5MN = 3, AM = 4;當/DEC= 90° ,如下圖所示，過D作DHAB于H,圖2由題意知：/ HDC=90° ,. zHDC+/CDE=/CDE+/DCE=90 ° ,. zHDE = ZDCE, .ZDHEs/CED,DE CD;，EH DE .3- sinA= , AD = 10 , DH = 6 , AH = 8 ,5設 EH

17、= x,DE= 4 Vx ,由勾股定理得：DH2+HE2 = DE2, 62+x2=16x,解得：x= 8-2", x = 8+2 77 （不合題意舍去）,AE=AH+HE=16 24,.AM = 8 日,故答案為：4或8 - J7 .例6. （2019 金水區(qū)校級一模）如圖，在 RtMBC中，AB = 3, BC= 4,點P為AC上一點，過點 P 作PDLBC于點D, WAPCD沿PD折疊，得到APED,連接AE.若MPE為直角三角形，則 PC=.16【解析】解：當/ AEP=90°時,設 PC= x,在 RtzPDC 中，sInC= - , cosC所以 PD= 3x,

18、 CD= 4x. 55由折疊知：DE=CD=4x.512 BE一 BC CE x.5在MBE 和AEDP 中，/B=/PDE,/BAE+ ZAEB = 90PED+ /AEB= 90. ZBAE= /PED. zABEs/EPD.BE DPAB DE 15故答案為:.1612x533,解得x=41516例7. （2019 臥龍區(qū)一模）如圖，在RtMBC中，AC = 8, BC=6,點D為斜邊AB上一點，DELAB交AC于點E,將MED沿DE翻折，點A的對應點為點F.如果4EFC是直角三角形，那么AD的長為【分析】根據(jù)勾股定理得到AB=10,分三種情況討論：/ CFE= 90° , zECF= 90 ° , £EF= 90°時,得到結(jié)論.7【答案】一或5.5【解析】解：在 RtMBC中，AC=8, BC=6,由勾股定理得：AB=10,(1)若/CFE= 90在 RtAABC 中