(完整word版)線性代數(shù)教案

1、線性代數(shù)課程教案學(xué)院、部系、所授課教師課程名稱線性代數(shù)課程學(xué)時 45學(xué)時實(shí)驗(yàn)學(xué)時教材名稱年 月 日線性代數(shù)課程教案授課類型理論課授課時間3節(jié)第5頁，共40頁行列式二階與三階行列式 全排列及其逆序數(shù) n階行列式的定義 對換其中pp2L pn為自然數(shù)（pp2L pn）求和。a21Man11,2,La22Man2a2nMann,n的一個排列,(1) a1p1a2 P2 L anpn (p1»L pn)t為這個排列的逆序數(shù)，求和符號匯是對所有排列n階行列式D中所含n2個數(shù)叫做D的元素,位于第i行第j列的元素aj ,叫做D的（i, j）元。授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章§ 1&#

2、167; 2§ 3§ 4本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1 .會用對角線法則計(jì)算 2階和3階行列式。2 .知道n階行列式的定義。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等） 基本內(nèi)容：行列式的定義1 .計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法設(shè)P1P2L Pn是1,2,L ,n這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。先看有多少個比pi大的數(shù)排在pi前面，記為3；再看有多少個比 p2大的數(shù)排在P2前面，記為t2 ；最后看有多少個比pn大的數(shù)排在pn前面，記為tn；則此排列的逆序數(shù)為t 11t2 Ltn。2 . n階行列式&2ain3 .對角

3、線法則：只對 2階和3階行列式適用a1 a2a21a22&但22a12a21a13 a21a32解:aa23a32a44 和 43234242。加a12ai3Da21a22a23a31a32a33aa22 a33a12 a23 a3i&3 a22 a3ia12 a21a33a11a23a32重點(diǎn)和難點(diǎn)：理解行列式的定義行列式的定義中應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)和式中的任一項(xiàng)是取自D中不同行、不同列的 n個元素的乘積。由排列知識可知，D中這樣的乘積共有n!項(xiàng)。(2)和式中的任一項(xiàng)都帶有符號 (1);t為排列(p1p2L pn)的逆序數(shù)，即當(dāng)p1P2L pn是偶排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取正號；當(dāng) p

4、1P2L pn是奇排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號。綜上所述，n階行列式D恰是D中所有不同行、不同列的 n個元素的乘積的代數(shù)和，其中一半帶正號，一半帶負(fù)號。例：寫出4階行列式中含有a11a23的項(xiàng)。例：試判斷a4a23a31a42a56a65和a32a43a14a51a25a66是否都是6階行列式中的項(xiàng)。斛：a14a23a31a42a56a65下標(biāo)的逆序數(shù)為4312650 1 2 2 0 1 6 ,所以 a14a23a31a42a56a65是6階行列式中的項(xiàng)。a32a43a14a51a25a66 下標(biāo)的逆序數(shù)為(341526)(234156)5 3 8 ,所以 a32a43a14a51a25a66 不是

5、6階行列式中的項(xiàng)。例：計(jì)算行列式D00040 0 10 2 03 0 00 0 0解：D ( 1)° 1 2 31 2 3 4 24本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合首先通過二(三)元線性方程組的解的表達(dá)式引出二(三)階行列式的定義。然后介紹有關(guān)全排列及其逆序數(shù)的知識，引出 n階行列式的定義。通過討論對換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生了解行列式的三種等價(jià)定義。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： 1 1 P.26 1(1)(3) 2 2(5)(6)本授課單元參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等，必要時可列出)線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟(jì)第四版)線性代數(shù)課程教案授課類型理論課授

6、課時間2節(jié)行列式行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克拉默法則授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章§ 5§ 6§ 7本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1 .知道n階行列式的性質(zhì)。2 .知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)。3 .會利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡單的n階行列式。4 .知道克拉默法則。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）基本內(nèi)容：5 .行列式的性質(zhì)（1）行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式 DT相等。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號。（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式；或者行列式的某一

7、行（列）的各元素有公因子k,則k可提到行列式記號之外。（4）行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。（5）若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，則此行列式等于兩個行列式之和。（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列 式的值不變。6 .行列式的按行（列）展開（1）把n階行列式中（i, j）元aj所在的第i行和第j列劃去后所成的n 1階行列式稱為。/）元2的 余子式，記作Mj；記Aj（ 1）i jMj ,則稱Aj為（i, j）元aj的代數(shù)余子式。2 2） n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的

8、和。即可以按第i行展開：D d小1 含2A2 L淅An。 1,2,L ,n）；或可以按第j列展開：D a1jAj a2 j A2 j Lanj Anj （ j 1,2,L ,n）.（3）行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即 ai1Aj1 ai2 Aj 2 L ain Ajn 0, i j ,或a1iAj a2iA2j LaniAnj0, ij .3 .克拉默法則含有n個未知元x1,x2,L xn的n個線性方程的方程組aiiLaikbnLbinMM，D2MM,則akiLakkbniLbnn(2)設(shè) DianiaiiXi812X2ainXna2iXiL

9、L La22X2L L La2nXnL L Lbi b2 LaniXian2X2annXnbn當(dāng)bi,b2,L ,bn全為零時，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。Di_ ,如果萬程組的系數(shù)行列式D 0,那么它有唯一解：x (i 1,2,L,n),其中DDi(i 1,2,L ,n)是把D中第i列元素用方程組的右端的自由項(xiàng)替代后所得到的n階行列(2)式。如果線性方程組無解或有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式D 0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D 0,那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式必定等于零。用克拉默法則解線性方程組的兩個條件:(i)方程個數(shù)等于未知元

10、個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 適用于理論推導(dǎo).它主要4.一些常用的行列式上、aiia12Lainaiia22La2na2ia22OMM M Oannani an2 L卜三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積o即aiiannaii a22 L ann特別地,對角行列式等于對角線元素的乘積，即a22a11a22L ann.類似地,a2,nain1)n(n2ia1na2,n iLani .第9頁，共40頁a11LakMM0ak1LakkC11LC1kbnLblnMMMMcn1Lcnkbn1LbnnDR.(3)范德蒙(Va

11、ndermonde)行列式Vn(Xi,X2,L Xn)11Lx1x2Lx2X2LM M n 1n 11x1x2Lxn2 xnn 1xn(xixj)n i j 1計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列 式的值。重點(diǎn)和難點(diǎn)：行列式的計(jì)算，要注重學(xué)會利用行列式性質(zhì)及按行(列)展開等基本方法來簡化行列 式的計(jì)算。例：課本P.12例7一例9例：課本P.21例13例：課本P.25例16 本授課單元教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合以從行列式的定義為切入口，引導(dǎo)學(xué)生探討行列式的各種性質(zhì)。通過大量的例題引導(dǎo)學(xué)生掌握 如何利用行列式性質(zhì)及按行(列)展開等基本方法

12、來簡化行列式的計(jì)算。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：思考題問：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為 何？答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能否用克拉默法則解方程組，因?yàn)榇藭r方程組的解為無 解或有無窮多解。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：§ 5 .26 4(1)(2)(3), 5(1)(2), 7(1)(2) (5)§ 6 P.26 5 (4), 7 (3) (6)§ 7 P.28 8(1), 9本授課單元參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等，必要時可列出)線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟(jì)第四版)線性代數(shù)課程教案授課類型

13、理論課授課時間2節(jié)授課題目(教學(xué)章節(jié)或主題)： 第二章矩陣及其運(yùn)算§ 1矩陣§ 2矩陣運(yùn)算§ 3逆矩陣§ 4矩陣分塊法本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握矩陣的定義，矩陣的加減法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 矩陣求逆 矩陣的行列式 分塊矩陣等運(yùn)算，了解矩陣 多項(xiàng)式運(yùn)算本授課單元教學(xué)內(nèi)容(包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等)：本章擬分3次課完成，第一講：§ 1矩陣，§ 2矩陣的運(yùn)算；第二講：§ 3逆矩陣；第三講：§ 4矩陣分塊法 第一講：§ 1矩陣，§ 2矩陣的運(yùn)算；基本內(nèi)容：§

14、 1矩陣：一 矩陣的定義，定義1由Mxn個數(shù)aj(i1,2,m;j 1,2,n)組成的m行n列的數(shù)表a11a2a1na21a22a2na m1am2amn稱為m行n列矩陣，簡稱mxn矩陣，為表示它是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表 示它，記作a11a12a1na21a22a2nam1am2amn這M X N個數(shù)稱為菊陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aj位于矩陣A的第i行j列，稱為矩陣A的(I,J)元，以數(shù)aij為(I,J)元的矩陣可簡記為(aij )或(aij )m n ,M X N矩陣A也記著Amn.元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩

15、陣或n階方陣，n階矩陣A也記作An.只有一行的矩陣A (a1a2an)稱為行矩陣，又稱為行向量，行矩陣也記作A(a1,a2 , an)只有一列的矩陣b1 bn稱為列矩陣,又稱為列向量.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,稱它們是同型矩陣,如果A= (aij ),B= (bij ) 是同型矩陣,并且它們的對應(yīng)元素相等,即aijbij (i 1,2, ,m, j 1,2, n),那么就稱矩陣A 與矩陣 B 相等,級作A=B元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O,不同型的零矩B是不同的.§ 2 矩陣的運(yùn)算一 矩陣的加法定義2設(shè)有兩個m n矩陣A= (aj)和B=(bj)，那么矩陣A與B的和記著A+

16、B,規(guī)定為a11b11a21b21a12a22b12b22a1nb1na2nb2nam1 bm1 am2 bm2amn bmn兩個矩陣是同型矩陣時才能進(jìn)行加法運(yùn)算.矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律 (設(shè)A,B,C都是m n矩陣)：(i ) A+B=B+A;(ii )(A+B)+C=A+(B+C)A= (aij ) 的負(fù)矩陣記為-A= ( aij )A+(-A)=O規(guī)定矩陣的減法為A-B=A+(-B)二 矩陣的數(shù)乘定義3數(shù) 與矩陣A的乘積記作 A或A，規(guī)定為a11a12a1nAa21a22a2nam1am2amn第 16 頁，共 40 頁矩陣數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律（設(shè) A,B 為 m n 矩陣 , , 為

17、數(shù) ）:(1)AA) ;(2)AAA(3)(A B)AB重點(diǎn) ,難點(diǎn) :矩陣乘矩陣:讓學(xué)生充分理解矩陣乘矩陣的定義,特別強(qiáng)調(diào)前面矩陣的列等于后面矩陣.說明矩陣乘法常態(tài)下不滿足消去率,通過練習(xí)提高學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確率.矩陣乘矩陣n 矩陣,那么矩陣A 與矩陣 B 的乘積是一定義4設(shè)A=（ a。）是一個m s矩陣,b=（ bj ）是一個s個 m n 矩陣 C=( cij ),其中cijai1b1jai2b2jais bsjsaik bkjk1(i 1,2,m; j 1,2,n)把此乘積記為C=AB且有例 4 求矩陣的乘積(ai1 ,ai2,A=解 C=AB=b1j,ais ) b2j0310ai1b1j

18、ai2b2jais bsjsaikbkj cijk1bsj111111例 5 求矩陣2A=1與 B=2AB 與 BA2解 AB=1163216AB2BA=3對于兩個n 階方陣 A,B, 若 AB=BA, 稱方陣 A 與 B 可交換0 也不能得出X=Y 的結(jié)論從上面等式可以得出結(jié)論:若 A O 而 A(X Y)矩陣的乘法雖不滿足交換律,滿足結(jié)合律和分配律數(shù)量矩陣對角矩陣4 ;三角矩陣(1)(2)(3)(AB)C=A(BC)(AB) ( A)B A( B)A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA對于單位矩陣E,有EmAmn 即:EA=AE=A 特殊矩陣:單位矩陣;Am n, Am n E

19、n為數(shù)Am nE=a110a22a110a12a22anna1na1100a2na21 或a2200annan1an2ann可以得到:( En )AnAnAn(En)表明純量矩陣跟任何矩陣可交換定義矩陣的冪為1211 kl k l k l klA1A, A2A1A1 , AklAk Al , (Ak )lAkl其中 k 為正整數(shù)例 6 證明ncos sin cosn sin nsin cossin n cosncossincosksin ksincossinkcoskk 1 時 ,有cossink1cosksin k cossinsincossin kcosksin coscoskcossin

20、k sinsin k cos cosk sinsinkcoscosk sincosk cos sink sincos(k1)sin(k 1)sin(k1)cos(k 1)證 用數(shù)學(xué)歸納法, n1 時顯然成立,設(shè) n = k 時成立 ,即nkD (dj)nm，有等式得證.a11a12a1na11a21am1a21a22a2nTa12a22am2A=2n .則ATam1am2amna1na2namn四 矩陣的轉(zhuǎn)置定義 5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作ATA 的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算,滿足(1) (AT)TA(2) (A B)TATBT(3) ( A)TAT(4)

21、 (AB) T BT AT證明(4)設(shè) A (aj)ms,B= (bj)sn,記 AB C (Cj)mn,BTATscjiajk bkik1而BT的第i行為(bii,bz,hi),AT的第j列為(a、， ，ajs)T,因此ssd ij bki a jka jkbkik1k1dij cji (i 1,2, ,n; j 1,2, ,m)有例7BTAT (AB)T已知A求（AB）T解因?yàn)? 71,B= 4 222 0所以AB0 14317 13 10第22頁，共40頁017(AB)T14 133 10若A是n階方陣，如果滿足ATA，即ajaji（i, j 1,2, n）那么A稱為對稱矩陣?yán)?設(shè)列矩陣

22、X=（X1，X2， ,Xn）T滿足XTX1,E是n階單位陣，HE 2XXT ,證明H是對An1稱矩陣，且HH T E證H T (E 2XXT)TET 2XXTE 2XXT H所以H是對稱矩陣.HHT=H2 (E 2XXT)2=E 4XXT + 4(XXT)(XXT)=E 4XXT+4X(XTX)XT)=E 4XXT+4XXT=E五方陣的行列式定義6由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素位置不變，稱為方陣A的行列式，記作A或 det AA滿足下列運(yùn)算規(guī)律（A,B為n階方陣，為數(shù)）ATA（2） | AnA ABAB,且 AB BA例9行列式A的各個元素的代數(shù)余子式Aj所構(gòu)成的如下的矩陣A|2A2

23、2A稱為A的伴隨矩陣，試證A2nAA A AAnnAEAi證明設(shè)A ",記AA (bj),則ain Ajn| A ijAEA( j) AEbijai1Aj1 ai2Aj2故AA (A j) A( j)類似有 nA A ( Akiakj)(A j) k 1本授課單元教學(xué)手段與方法：講授為主，練習(xí)為輔，主要讓學(xué)生充分理解矩陣運(yùn)算的定義，原則，從而掌握矩陣運(yùn)算，并通過練習(xí)提高學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確率.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授課單元參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等，必要時可列出)線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟(jì)第四版)注：1每單元頁面大小可自行添

24、減；2.一個授課單元為一個教案；3. “重點(diǎn)”、“難點(diǎn)”、“教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實(shí)驗(yàn)或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課。線性代數(shù)課程教案授課類型 理論課授課時間2節(jié)第二講：§ 3逆矩陣基本內(nèi)容：§ 3逆矩陣定義7對于n階矩陣A,如果有一個n階矩陣B,使AB BA E則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣.記為A 1如果A可逆，則A的逆陣是唯一的.因?yàn)椋涸O(shè)B,C都是A的逆陣，則有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理1若矩陣A可逆，則A 0證A可逆，即有A 1,使AA 1 E > A A 1 E 1所以A 0.定理

25、2若A 0,則矩陣A可逆，且其中A為A的伴隨矩陣.證由例9可知AA A A AE所以有按照逆矩陣的定義知A可逆，且有1_A aa當(dāng)A 0時稱A為奇異矩陣，否則稱A為非奇異矩陣，可逆矩陣就是非奇異矩陣推論若AB E(或BA E),則B A 1證|A |B E 1,故|A 0,因而A 1存在，有 1 _1 _1 _ B EB (A 1A)B A 1(AB) A 1E A逆陣滿足下列運(yùn)算：若A可逆，則A 1也可逆，且(A 1) 1 A.11 . 1(2)若A可逆”數(shù)0,則A可逆，且 A -A(3)若A,B為同階矩陣且可逆，則AB也可逆，且_ i _ i i(AB) B A證(AB)(B1A1) A(

26、BB 1)A 1 AEA 1 AA 1E ,由推論有：(AB) 1 B1A1(4)若A可逆”，則AT也可逆，且(AT) 1 (A 1)T證AT(A1)T (A1A)TET E,由推論有：(AT)1 (A 1)T當(dāng)A 0時，定義T 11 T0k1 k .(A ) (A )A E, A (A ) *為正整數(shù)這樣，當(dāng)A 0,為整數(shù)，有A A A ,(A ) A重點(diǎn)，難點(diǎn):逆矩陣的求法.定理2說明通過求伴隨矩陣的方式 ，讓學(xué)生掌握矩陣求逆，并告知學(xué)生下一章 里還有更簡單的求逆方法.例10求二階矩陣 a b的逆陣.c dd b解 A ad bc, A，當(dāng)A 0時，有c a11 d bAad bc c a

27、例11求方陣1 23A2213 43的逆陣.解 A 2,知A可逆，A的余子式M11 2, M12 3,M13 2M216, M 226, M232M314, M325, M332得M11M12M13264所以AA12設(shè)M21M 22M 23M31M 32M 3313212521第24頁，共40頁1232113221 ,B,C205334331求矩陣X使其滿足AXB- 1 _ 1 , ,A , B存在，有A 1 AXBB 1 A 1CB 11A 1CB13212521例13、幾 1設(shè)P=所以An104104,AP2,P 1P 1, A22P 1,nP22,An2nnP2n12n1 2n定義設(shè)(x

28、)2n2n2n2n2 2n2n 12n2n 1aoa1xa2x2amxm第31頁，共40頁為x的m次多項(xiàng)式,A為n階矩陣記(A) a0E a1A a2A2mam A(A)稱為矢I陣A的m次多項(xiàng)式.，可證矩陣A的兩個多項(xiàng)式是可交換的，即有A的多項(xiàng)式可以象數(shù)x的多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式.例如(E2(EA)(2E A) 2E A A2 A)3 E 3A 3A2 A3容易證明(1)如果1,則AkP kP 1,從而2(A) aoE aA a2Amam APa0EP 1 Pa1 P 1Pa2 2P 1Pammp 1)P 1(2)如果diag ( 1, 2,n)為對角陣，則diag(k .n),從而()ao

29、Ea12a2amaoa1am(1)2)n)本授課單元教學(xué)手段與方法：2的證明讓學(xué)生充分掌握矩陣的求逆運(yùn)算，并告講授為主，練習(xí)為輔，通過逆矩陣的定義及定理 知學(xué)生在下一章里還可用更簡練的方法計(jì)算逆矩陣 本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟(jì)第四版）線性代數(shù)課程教案授課類型理論課 授課時間 2節(jié)第三講：§ 4矩陣分塊法基本內(nèi)容：§ 4矩陣分塊法對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A,運(yùn)算時常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矢I陣的運(yùn)算將矩陣A

30、，每一個小矩陣稱為 A的子塊.以子塊為元素的形式上的矩陣稱用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣 為分塊矩陣.例將3 4矩陣a11a12a13a14Aa21a22a23a24a31a32a33a34可以分塊為a11a12a13a14a11a12a13a14a21a22a23a24(2) a21a22a23a24a31a32a33a34a31a32a33a34a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34分法（1）可記為AllA12其中Aalla12AAll, Al2a21a22a13a14a23a 24a33a 34分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則類似，滿足:（1）設(shè)

31、矩陣A與矩陣B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同白分塊法，有A11AA1r,BB11As1Asr其中，Aj與Bj的行數(shù)相同，列數(shù)相同，那么A1BnA BAs1Bs1Bs1B1rBsrA1rB1rA11(2)設(shè) AAs1Ar,為數(shù)，那么Asr設(shè)A為m l矩陣,B為lA11AAitA11AsiArAsrn矩陣,分塊成BnBirAs1其中 Ai1, Ai 2, Ait,BAst的列數(shù)分別等于Bt1B1j,B2j, C11BtrBtj的行數(shù)，那么C1rABCs1Csrt其中 CjAikBkjk 1(i 1,1,r)重點(diǎn)，難點(diǎn)：分塊矩陣的乘法運(yùn)算,對于四階且子塊含有零矩陣，單位陣,對角陣白高階，一般做四塊分

32、且盡量分出單位陣?yán)?4 設(shè)，零矩陣.求AB解把A,B分塊成則 ABAB1所以AB(4)設(shè) AA1A1A1 B11B21 =A1A11As1A1rAsr，則ATA11AT1A；B11B21(5)設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，即其中Ai(i 1,2, s)都是方陣，稱A為分塊對角矩陣分塊對角矩陣的行列式有下列性質(zhì)：A o(i 1,2,A AA2s)，則A 0，并有A11A1 OOA21例15 設(shè)A，求A 1As102150301A100, A1A211,A1- ,A253 112 1,A215 00對矩陣進(jìn)行按行分快或按列分

33、塊：m n矩陣A有m行，稱為矩陣A的m個行向量，若第i行記作(ai1,ai2,©n)則矩陣A記為T 1T 2Tmm n矩陣A有n歹L稱為矩陣A的n個列向量，若第j列記作aua2jamjA (a1,a2, ,an)對于矢I陣A (aj)ms與矩陣B (bij)sn的乘積矩陣 AB=C= (Cij )m n ,若把行分成m塊，把B分成 n 塊 ,有第 33 頁，共 40 頁T11Tb11 b21TbnABT2(b1,b2 ,bn)2 b12 b22Tbncij m nT mTmb1mTb2Tb mbn其中以對角陣cijiTbjb2 j(ai1 ,ai2 ,ais )aik bkjm 左乘

34、矩陣bsjAm n 時把 A 按行分塊,有b1 jT1T2T 1T2TT m mmmn 右乘矩陣Am n 時把 A 按列分塊,有A n (a1,a2, ,an)= ( 1a1 , 2a2, nan),an),則例 16 設(shè) AT A O ,證明 A O證 設(shè) A (aij)m n ,把 A 的列向量表示為A= (a1 ,a2AT AT a2Ta1 a1T a1 a2(a1,a2,an)=Ta2a1T a2 a2Ta1 anT a2 anTa因?yàn)锳T A O ,所以,aiTaj0,(i,j 1,2, ,n),特別有aTj aj0,(j 1,2, ,n)TT an a1an a2T an ana1

35、 jTa2 j22aj aj(a1j ,a2j , ,amj )a1j a2jam2j0amj得a1ja2j amj 0,(j 1,2, ,n)即AO下面用分塊矩陣證明第一章中的克萊姆法則克萊姆法則對于 n 個變量 , n 個方程的線性方程組anXiai2X2a2iXia 22 X2alnxna2nXnb2bianiXi如果它的系數(shù)行列式an2X2annXnbn1Xj DDj證把方程組寫成向量方程Ax0,則它有唯一解i一(bi Ai jDbn Anj )(j1,2,n)這里A表明X由于A也就是（aij）n n為n階矩陣，因AxA 1b是方程組的解向量i AiA，所以AXiX2Xn1 . Xj

36、D biAijAA ibA ibAiAi。，故A存在.，也是唯一的解向量iA b,即DA2iA22bb2bnbnAnj(jbiAib2 A21bnAnihAi2b2 A22bnAn2hAnb2 A2nbnAnni,2, ,n)第52頁，共40頁本授課單元教學(xué)手段與方法:講授為主，練習(xí)為輔，通過對高階矩陣特別是可分出部分零矩陣或單位陣的四階矩陣的分塊讓學(xué) 生掌握分塊矩陣的加法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算，矩陣乘矩陣的運(yùn)算，以及求逆矩陣的運(yùn)算，并列舉了幾個典型例 子的運(yùn)算.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P55:26;P56:29.本授課單元參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選

37、講（同濟(jì)第四版）線性代數(shù)課程教案授課類型 理論課授課時間1 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組§ 3.1 矩陣的初等變換本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價(jià)的概念。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）1 .基本內(nèi)容定義與記號r初等行變換 代 rj，n kj krj）, A與B行等價(jià)（A B）；c初等列變換（cCj ,Ci k,Ci kCj）, A與B列等價(jià)（A B）;初等變換Z B等價(jià)（A B）.矩陣的行階梯形、行最簡形、標(biāo)準(zhǔn)形Er02 .重點(diǎn)矩陣的初等變

38、換對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換：（1）交換矩陣的兩行（列）；（2）以一個非零的常數(shù) k乘矩陣的某一行（列）；（3）把矩陣的某一行（列）的k倍加到另一行（列）.3 .例題與解題方法參見PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P79(3)線性代數(shù)課程教案授課類型理論課授課時間2節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組§ 3.2 初等矩陣本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）1 .基本內(nèi)容初等矩陣（1）定

39、義單位陣經(jīng)一次初等變換所彳#矩陣稱為初等矩陣.（2）對矩陣A作一次初等行（列）變換相當(dāng)于用對應(yīng)的初等矩陣左（右）乘人.（3）初等變換及其逆變換與初等矩陣及其逆陣的對應(yīng)可列表如下：初等變換初等矩陣逆變換逆矩陣rirjCiCjE(i,j)rirjCiCjE(i, j)ri kC kE(i(k)rikG k1 E(i(-) krikrjCj kCiE(ij(k)ri krjCjkcE(ij( k)r（4）方陣A可逆 AEA P1P2L P （P為初等矩陣）A B存在可逆矩陣 P,Q使B PAQ.rr 若（A,B）（E, X）,則A可逆，且X A1B.特別地，若（A, E）（ E, X）,則A可逆，且

40、X A 2.重點(diǎn)、難點(diǎn)對矩陣A作一系列初等行（列）變換，相當(dāng)于用可逆矩陣左（右）乘A,由此引出用初等變換求逆陣 的方法；會用矩陣的初等行變換求矩陣的逆矩陣; 會用矩陣的初等行變換求矩陣方程的解3.例題與解題方法例1設(shè)00010100001010001000001001000001a11a12al3a14a14a13a12a11a21a22a23a24 ,Ba24a23a22a21a31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44a44a43a42a41其中A可逆，則B 1等于1(A) A P1P2(B) P1A 1P21(C) PP2 A(D) P2A 1R分析：把矩陣

41、A的1,4兩列對換，2,3兩列對換即得到矩陣B,根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，有B ARP2或11B AP2P.那么 B(AP2R)例2設(shè)4階矩陣11-11 一P P2 AP1P2A .所以應(yīng)選(C).01，C且矩陣A滿足關(guān)系式 A(E C 1B)TCT E,試將所給關(guān)系式化簡，并求出矩陣A.解：由所給的矩陣關(guān)系得法求(C B)T1,由于1 T _ _AC(E C B) E,即 A(C_ TT _ 1B) E,故A (C B).用初等變換(C B)T,E)A (C B)T 1其他例題參見PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè):P79.3(2)4(1)線件代數(shù)課程教案授課類型理論課授課時間 1.5節(jié)授課題目

42、(教學(xué)章節(jié)或主題)：第三章矩陣的初等變換與線性方程組§ 3.3 矩陣的秩本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1 .理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法。知道矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與秩的關(guān)系。2 .知道矩陣秩的基本性質(zhì)。本授課單元教學(xué)內(nèi)容(包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等)1 .基本內(nèi)容矩陣的秩(1)定義 矩陣的k階子式，矩陣的秩。Er 02 2) R(A) rA的行階梯形含r個非零彳tA的標(biāo)準(zhǔn)形F.0 0(3)矩陣秩的性質(zhì) 0 R(A) minm,n; R(AT) R(A)；若 A B,則 R(A) R(B);若P,Q可逆，

43、則R(PAQ) R(A); max R(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B);特別地，當(dāng)B為列向量b時，有R(A) R(A,b) R(A) 1; R(A B) R(A) R(B); R(AB) min R(A), R(B);若 AmnBni 0,則 R(A) R(B) n.2 .重點(diǎn)、難點(diǎn)矩陣秩的概念，矩陣秩的性質(zhì)，利用初等變換求秩，應(yīng)用矩陣的秩解決問題。3 .例題與解題方法例1.設(shè)三階矩陣A為x11A1x111x試求秩R(A)分析矩陣A含有參數(shù)x,因此其秩一般隨x的變化而變化，討論其秩主要從兩點(diǎn)著手分析：矩陣秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩。解：方法一直接從矩陣秩的行列式

44、定義出發(fā)討論x11由于1x1(x 2)( x1)211x故當(dāng) x 1且 x 2 時，|A| 0,R(A) 3;當(dāng)x 1時，|A| 0,且A1 1 1 ,R(A) 1;當(dāng)x 2時，|A| 0,且A2112121，這時有二階子式11120.因此 R(A) 2.方法二利用初等變換求秩x 1 11 1 x 11 xA 1x11 x111 xx110 x 11 xx 1 x 1 x200 (x 2)(x 1)因此當(dāng)x 1且x 2時，R(A) 3;當(dāng)x 1時，R(A) 1;當(dāng)x2時，R(A) 2.例2.設(shè)A為5 4矩陣12 3 12 0 2 5且A的秩為3,求k.解：方法一用初等變換123 1123121

45、 k 2A 011 311 0 4202 505 k 6 001130333044312310 1130 0 k 1 150 00120 001512310 1130 0 k 1 150 0010 000可見，R(A) 3,則必有k 1 0,即k 1.方法二 因?yàn)锳的秩為3,故其4階子式12 3 121 k 200113110 4解得k 1.例3.設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明n,R(A) n,* R(A )1,R(A) n 1,0, R(A) n 1.證明：一，一 .C _*已知R(A) n,則A可逆，|A| 0,由AA | A | E知A可逆，所以R(A ) n.若 R(A) n 1,則

46、 A | A| 0,由 AA | A|E 0, R(A) R(A ) n, R(A ) n R(A) 1, _ _ _ - . . . . . - .一 . . . *又R(A) n 1,由矩陣秩的行列式定義有，矩陣A至少有一個n 1階子式不為零，那么矩陣 A中至少有一個兀素非零，所以R(A ) 1,從而有R(A ) 1. 一 ._ . 一" - -_. 一* *若R(A) n 1,則A的任一 n 1階子式為零，故A 0所以R(A ) 0.本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P79.9(2)(3)線性代數(shù)課程教案授課類型理論課授課時間1.5節(jié)授課題目(教學(xué)章節(jié)或主題)：第三章矩陣的初等變換與線性方程組§ 3.4 線性方程組的解本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1 .理解線性方程組無解，有唯一解或有無限多個解的充分必要條件