北京華羅庚學(xué)校各年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案填圖與拆數(shù)

1、填圖與拆數(shù)填圖是一種運(yùn)算游戲，它要求把一些數(shù)字按照一定的規(guī)則填進(jìn)各類圖形.這不僅可以提高運(yùn)算能力，而且更能促使你積極地去思考問題、分析問題，使你的智力得到更好地發(fā)展.例1 請(qǐng)你把1、2、3這三個(gè)數(shù)填在圖9.1中的方格中，使每行、每列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等.解：這樣想，如果每行的三個(gè)數(shù)分別是1、2、3，每列的三個(gè)數(shù)也分別是1、2、3，那么自然滿足每行、每列的三個(gè)數(shù)之和相等這個(gè)條件的要求.試著填填看.有圖92、圖93和圖94三種不同的填法，檢查一下，只有圖94的填法，滿足對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和與每行、每列三數(shù)之和相等這個(gè)條件的要求.例2 請(qǐng)把19九個(gè)數(shù)字填入圖95中，要求每行、每列和每條

2、對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都要等于15.解：從19這九個(gè)數(shù)字中，5是處于中間的一個(gè)數(shù)，而4與6，3與7，2與8，1與9之和都正好是10.所以5應(yīng)當(dāng)填在中心的空格中，而其他八個(gè)數(shù)字應(yīng)當(dāng)填到周邊的方格中.上面圖96就是一個(gè)符合要求的解答，把5填在中心空格后，嘗試幾次是不難得出這種答案的.例3 如下面圖99所示有八張卡片.卡片上分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8八個(gè)數(shù).現(xiàn)在請(qǐng)你重新按圖 910進(jìn)行排列，使每邊三張卡片上的數(shù)的和等于：13，15.解：要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于13時(shí)，就要將13分拆成三個(gè)數(shù)之和.以上的分拆是分兩步進(jìn)行的.可以看出，因?yàn)?+5=13，所以8和5不能填在同一邊（若把8和

3、5填在同一邊，再加上第三個(gè)數(shù)時(shí)必然會(huì)大于13，這不符合題目要求），也就是說，要把8和5分別填在相對(duì)的兩個(gè)角上的方格里.如圖911所示.要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于15時(shí)，就要將15分拆成三個(gè)數(shù)之和：以上的分拆也是分兩步進(jìn)行的.可以看出，因?yàn)?+7=15，所以8和7不能填在同一邊，也就是說，要把8和7分別填在相對(duì)的兩個(gè)角的方格里，如圖912所示.例4 圖913是由八個(gè)小圓圈組成的，每個(gè)小圓圈都有直線與相鄰的小圓圈相接連.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6、7、8八個(gè)數(shù)字分別填在八個(gè)小圓圈內(nèi)，但相鄰的兩個(gè)數(shù)不能填入有直線相連的兩個(gè)小圓圈（例如，你在最上頭的一個(gè)小圓圈中填了5，那么4和6就不能填在第

4、二層三個(gè)小圓圈中了）.解：答案如圖914所示.中間的兩個(gè)圈只能填1和8，是這樣分析出來的：在1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)字中，只有“1”和“8”這兩個(gè)數(shù)，各有一個(gè)相鄰的數(shù)，也就是有六個(gè)不相鄰的數(shù).中間的兩個(gè)小圓圈，每個(gè)都有六條線連著六個(gè)小圓圈，每個(gè)小圓圈中恰好能填一個(gè)與它不相鄰的數(shù).其余的數(shù)每個(gè)都有兩個(gè)相鄰的數(shù)，如4有兩個(gè)相鄰的數(shù)2和3，所以在1至8這八個(gè)數(shù)中4只有五個(gè)不相鄰的數(shù)，這樣4就不能填到中間的小圓圈中了.填圖與拆數(shù) 習(xí)題1.在圖915，916中，只能用圖中已有的三個(gè)數(shù)填滿其余的空格，并要求每個(gè)數(shù)字必須使用3次，而且每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都必須相等.2.把10、

5、12、14這三個(gè)數(shù)填在圖917的方格中，使每行、每列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等.3.在圖918中，三個(gè)圓圈兩兩相交形成七塊小區(qū)域，分別填上17七個(gè)自然數(shù)，在一些小區(qū)域中，自然數(shù)3、5、7三個(gè)數(shù)已填好，請(qǐng)你把其余的數(shù)填到空著的小區(qū)域中，要求每個(gè)圓圈中四個(gè)數(shù)的和都是15.4.與第3題的圖相似，只是已經(jīng)把1、4、6三個(gè)數(shù)填好，請(qǐng)你繼續(xù)把圖919填滿. 5.圖920中有三個(gè)大圓，在大圓的交點(diǎn)上有六個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)分別填在六個(gè)小圓圈里，要求每個(gè)大圓上的四個(gè)小圓圈中的數(shù)之和都是14.6.圖921是由四個(gè)三角形組成的，每個(gè)三角形上都有三個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6

6、、7、8、9這九個(gè)數(shù)填在九個(gè)小圓圈中，讓每個(gè)三角形上的三個(gè)數(shù)之和都是15.7.圖922是由四個(gè)扁而長(zhǎng)的圓圈組成的，在交點(diǎn)處有8個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)分別填在8個(gè)小圓圈中.要求每個(gè)扁長(zhǎng)圓圈上的四個(gè)數(shù)字的和都等于18.習(xí)題答案1.解：因?yàn)榭崭裰兄荒苡?、6、8填，不難看出左上角的空格只能填6，見圖923.同樣道理，右下角也只能填6，見圖924.下一步就能容易地填滿其他空格了（見圖9 25）.在圖916中，顯然右下角應(yīng)填7，見圖926.而右上角應(yīng)填5，見圖927.這樣其他空格隨之就可以填滿了，見圖928.2.解：模仿例1的填法.首先將10、12、14三個(gè)數(shù)的中間數(shù)12

7、填在中心方格中，并使一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)都是12，見圖929，第二步再按要求填滿其他空格就容易了，見圖930.3.解：這樣想，圖918中還空著四個(gè)小區(qū)域需要填入四個(gè)數(shù)：1、2、4、6.還可看出中心的一個(gè)小區(qū)域?qū)儆谌齻€(gè)圓圈，這里應(yīng)填哪個(gè)數(shù)呢？下面用拆數(shù)方法來分析確定.先見圖918中的圓圈，圓中已有兩個(gè)數(shù)5和7，所以空著的兩個(gè)小區(qū)域應(yīng)填的兩個(gè)數(shù)之和為15-5-7=3.再將3分拆成3=1+2，但是在1和2中應(yīng)把哪一個(gè)填到中心的小區(qū)域里，現(xiàn)在還不能肯定下來.再看圓圈，圓中已有兩個(gè)數(shù)5和3，15-5-3=7，而7=1+6，即可把7分拆成7=1+6.最后看圓圈，15-3-7=5，而5=1+4.至此可以看出

8、，應(yīng)該把“1”填在中心的小區(qū)域了（見圖931）.4.解：模仿第3題解法拆數(shù)：要填2、3、5、7.15-4-6=5，5=2+315-1-6=8，8=3+515-1-4=10，10=3+7所以，應(yīng)把3填在中心的小區(qū)域，見圖932.5.解：如圖933所示，因?yàn)橐蟠髨A上的四個(gè)小圓圈中的四個(gè)數(shù)之和等于14，所以就要把14分拆成四個(gè)數(shù)相加之和，而且按題目要求這四個(gè)數(shù)要在1、2、3、4、5、6中選取；14=6+5+2+1，14=6+4+3+1，14=5+4+3+2.6.解：先將15分拆成三個(gè)數(shù)之和，并且要求各數(shù)在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)中選取.用二步分拆法：15=9+6=9+5+115=8+7=8+4+315=7+8=7+6+2以上三式把九個(gè)數(shù)都用上了.這樣（9，5，1）、（8，4，3）和（7，6，2）就可以分別填入角上的3個(gè)三角形中.再注意到中間的三角形的三個(gè)小圓圈分屬于角上的3個(gè)三角形，所以從三組中各取一個(gè)數(shù)重新組成一組填入中間三角形，如?。?，4，2），填出下面的結(jié)果，見圖934.注意此題填法不惟一，你還能想出別種填法嗎？7.解：因?yàn)轭}目要求扁長(zhǎng)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和等于18，所以就要將18分拆成四個(gè)不相等的整數(shù)之和，而且各