微積分基本定理

1、微積分基本定理bxxxxxann1210, 1iiixx任取niixf1)(做和式：常數(shù)）且有，(/ )(lim10Anabfniin復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1、定積分是怎樣定義？定積分是怎樣定義？設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f（x x）在）在aa，bb上連續(xù)，在上連續(xù)，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)：把區(qū)間a,b等分成n n個(gè)小區(qū)間，個(gè)小區(qū)間，, 1iixx在每個(gè)小區(qū)間./ )(1nabfniibadxxf)(則，這個(gè)常數(shù)則，這個(gè)常數(shù)A稱(chēng)為稱(chēng)為f(x)在在a，b上的上的定積分定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分簡(jiǎn)稱(chēng)積分)記作記作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(被積函數(shù)

2、被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即積分和積分和 1、如果函數(shù)如果函數(shù)f（x）在）在a，b上連續(xù)且上連續(xù)且f（x）0時(shí)，那么：時(shí)，那么：定積分定積分 就表示以就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積）為曲邊的曲邊梯形面積。badxxf)( 2、定積分定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來(lái)表示。形面積的代數(shù)和來(lái)表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：2、定積分的幾何意義是什么？、定積分的幾何意義是什么

3、？, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值4321)(AAAAdxxfba 說(shuō)明：說(shuō)明：1A2A3A4A定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk為常數(shù)1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx題型題型1：定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdx

4、xfdxxf、化簡(jiǎn)481, 9,29, 323033023030dxxdxxxdxdx、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡(jiǎn)定積分計(jì)算，也可以運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡(jiǎn)定積分計(jì)算，也可以把一個(gè)函數(shù)的定積分化成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)定積分的和或差把一個(gè)函數(shù)的定積分化成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)定積分的和或差問(wèn)題問(wèn)題2 2：一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律律S SS(t)S(t)。由導(dǎo)數(shù)的概念可以知道，它在任意。由導(dǎo)數(shù)的概念可以知道，它在任意時(shí)刻時(shí)刻t t的速度的速度v(t)v(t)SS（t)t)。

5、設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段段a a，b b內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為S S，你能分別用，你能分別用S(t)S(t)，v(t)v(t)來(lái)表示來(lái)表示S S嗎？嗎？從中你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在從中你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系嗎？聯(lián)系嗎？另一方面，從另一方面，從導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)角度來(lái)看：角度來(lái)看：如果已知該變速直如果已知該變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時(shí)間區(qū)間，則在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)物內(nèi)物體的位移為體的位移為s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函數(shù)，這就是說(shuō)，的原函數(shù)，這就是說(shuō)，定積分定積分 等于

6、被積函數(shù)等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 從從定積分定積分角度來(lái)看：角度來(lái)看：如果物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為如果物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時(shí)間區(qū)間，那么在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移內(nèi)物體的位移s可以用定可以用定積分表示為積分表示為.d)(battvs微積分基本定理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且上連續(xù)，并且F(x)f（x)，則，則，baaFbFxxf)()(d)(這個(gè)結(jié)論叫這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理微積分基本定理（fundamental theorem of calculu

7、s)，又叫，又叫牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或記作說(shuō)明：說(shuō)明：牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的基本方法，即求定積分的值，的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積只要求出被積函數(shù)函數(shù) f f( (x x) )的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F F( (x x) )，然后，然后計(jì)算原函數(shù)計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b) )FF( (a a) )即可即可. .該公式該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題。把計(jì)算定積分歸

8、結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題。基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則例例1 1 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找

9、出找出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)鍵函數(shù)是關(guān)鍵 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx練習(xí)練習(xí)1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx 達(dá)標(biāo)練習(xí)：達(dá)標(biāo)練習(xí)： _14_1233_12_231212122

10、1102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee練習(xí)：P 55 1微積分基本定理微積分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小結(jié)banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式作業(yè)：P55 A組 1|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定積分公式定積分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|l

11、nxbaaa牛頓 牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。 牛頓1661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。返回返回萊布尼茲萊布尼茲，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國(guó)的漢諾威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書(shū)引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾