第二章 可變端點橫截條件

1、第二章第二章 可變端點橫截條件可變端點橫截條件主要內(nèi)容： 一、一般性橫截條件 二、特殊橫截條件預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)baxdtxtFdxdI),(badtxtFxI),()(對于函數(shù)對于函數(shù)（1 1）萊布尼茲法則萊布尼茲法則對定積分的求導(dǎo)對定積分的求導(dǎo)（2.6)2.6)（2）對積分上限函數(shù)求導(dǎo)對積分上限函數(shù)求導(dǎo))()(xbxbF)()()(xbadttFdxdx)(xb)()()(xbadttFx（2.8)2.8)(3)(3)如果定積分具有如下形式：如果定積分具有如下形式：)(),(),(xbxxbFdtxtFdxdKbax)(),()(xbadtxtFxK根據(jù)（根據(jù)

2、（2.62.6）式和（）式和（2.82.8）式，得：式，得：（2.11)2.11)可變終結(jié)點問題：可變終結(jié)點問題：),()()()0(. .)(),(,)(0自由給定TTTyTyTyAAytsdttytytFyVl假設(shè)假設(shè) 是已知的最優(yōu)終結(jié)時間，是已知的最優(yōu)終結(jié)時間，在在 鄰近的任何值鄰近的任何值 可以表示為可以表示為*T*TTTTT*l由于由于 已知并且已知并且 是一個預(yù)選的量，所以，是一個預(yù)選的量，所以，T可可被視為被視為 的一個函數(shù)的一個函數(shù) ，其導(dǎo)數(shù)為，其導(dǎo)數(shù)為*TT)(TTddT第一節(jié)第一節(jié) 一般性橫截條件一般性橫截條件lT是是 的一個函數(shù)，所以函數(shù)的一個函數(shù)，所以函數(shù)V中積分上限隨

3、著中積分上限隨著 的變化而變化。的變化而變化。)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFV)(ty)(ty*Ty*T*)(tyl最大化或最小化最大化或最小化推導(dǎo)一般的橫截條件：推導(dǎo)一般的橫截條件：l步驟步驟1)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFVddTTyTyTFdtFddVT)(),(,)(0（3.6）（3.6）式第二項）式第二項:TFddTTyTyTFTt)(),(,dtFdtdtptpFdtFtpdtFTyTyTyT0000)()()(根據(jù)上一章根據(jù)上一章 的推導(dǎo)過程的推導(dǎo)過程,得（得（3.6）式第一項）式第一項:dtFT0)()(0TpFdtF

4、dtdFtpTtyTyy第第40頁頁0)()(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyyl把這些代入把這些代入(3.6)，并令，并令 ，得：，得：0ddV（3.7）l步驟2 通過把 轉(zhuǎn)化為含 和 )(TpTTyTTyTpyT)()(TTyyTpT)()(（3.8）*T*Ty*)(tyl步驟步驟3 3 把（把（3.83.8）式代入（）式代入（3.73.7），得：），得：0)()(0TFTTyFyFdtFdtdFtpTtTtyTTtyTyy0)(0TTtyTtyTyyyFTFyFdtFdtdFtp0)(0dtFdtdFtpTyy0TTtyTtyyFTFyF歐拉方程歐拉方程一般橫截條件一般橫截條

5、件0)()(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyy（3.7）TTyyTpT)()(（3.8）第第2 2步驟推導(dǎo)得到：步驟推導(dǎo)得到：第第1 1步驟推導(dǎo)得到：步驟推導(dǎo)得到：特殊橫截條件特殊橫截條件l垂直終結(jié)線（固定時間水平問題）垂直終結(jié)線（固定時間水平問題）0TTtyTtyyFTFyF以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：l垂直終結(jié)線涉及一個固定的T，從而0Tl又因為 是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：Ty0TTtyyF0TtyF垂直終結(jié)線的橫截條件垂直終結(jié)線的橫截條件0T第二節(jié)第二節(jié) 特殊橫截條件特殊橫截條件特殊橫截條特殊橫截條件件l水平終結(jié)線（固定端點問題）水平終結(jié)線（固定端點

6、問題）0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件l又因為 是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：T水平終結(jié)線的橫截條件水平終結(jié)線的橫截條件l水平終結(jié)線涉及一個固定的 ，從而0TyTy0TFyFTty0TtyFyF0Ty特殊橫截條件特殊橫截條件l終結(jié)曲線終結(jié)曲線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件l把該式代入一般橫截條件，得：終結(jié)曲線的橫截條件終結(jié)曲線的橫截條件l終結(jié)曲線 ， 和 都未被賦予零值。TTy)(TyTdTdyTTyT 0TFFyFTtyyl又因為 是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：T0TtyyFFyF)(TyT)(TyT特殊橫截條件特殊橫截條件l截斷垂直終結(jié)線截斷垂直終結(jié)線

7、0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件min*0yyFTTty對于min0yyTT和minyl對點Z1，即 ，那么終結(jié)限制 自動被滿足，可直接使用垂直終結(jié)線橫截條件：min*yyTmin*yyTl對點Z2和Z3，即 。min*yyTmin*0yyFTTty對于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最大化V的問題)特殊橫截條件特殊橫截條件l截斷垂直終結(jié)線截斷垂直終結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件min*0yyFTTty對于min0yyTT和minyl對點Z1，即 ，那么終

8、結(jié)限制 自動被滿足，可直接使用垂直終結(jié)線橫截條件：min*yyTmin*yyTl對點Z2和Z3，即 。min*yyTmin*0yyFTTty對于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最小化V的問題), 0)(TP假設(shè)minyyT已知)(*TpyyTTmin*)(yyyyTpTTT0即在約束即在約束 的情況下求的情況下求 的的最大化最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(00ddVyFTFyFddVTTtyTty根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：時當(dāng)即min*, 0,yyFTTtymin*,

9、0yyFTTty對于證明(對于最大化V的問題)0)(030)(020)(01*xf，xxf，xxf，x且情形且情形且情形0)(3020)(1*xfxxxf條件條件條件庫恩塔克條件：庫恩塔克條件：特殊橫截條特殊橫截條件件l截斷水平終結(jié)線截斷水平終結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件maxTT Tmax1M2M3Ml對點M1，即 ，那么終結(jié)限制 自動被滿足，可直接使用水平終結(jié)線橫截條件：l對點M2和M3，即 ，那么終結(jié)限制 才被滿足。0)(0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyFmaxTT maxTT maxTT maxTT max*0TTFyFTty對于max*0T

10、TFyFTty對于最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件(對于V的最大化)特殊橫截條特殊橫截條件件l截斷水平終結(jié)線截斷水平終結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件maxTT Tmax1M2M3Ml對點M1，即 ，那么終結(jié)限制 自動被滿足，可直接使用水平終結(jié)線橫截條件：l對點M2和M3，即 ，那么終結(jié)限制 才被滿足。0)(0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyFmaxTT maxTT maxTT maxTT max0TTTFyFddVTty對于max0TTFyFTty對于最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件

11、(對于V的最小化)TTTTTmax*max*TTTTT0在約束 的情況下求 的最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(000ddVyFTFyFddVddVTTtyTty根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：0 ,max*TtyFyFTT時當(dāng)因此Tmax1M2M3M, 0T假設(shè)max*已知TT:, 那么假設(shè)0, 00TtyTtyTFyFTFyFy即又,max*TT 對于即點M2和M3：max*0TTFyFTty對于證明dtyy tyVT)()(20具有邊界條件：具有邊界條件：是自由的并且TyyT,10, 1)0(例例2 求下列泛函的極值曲線。求下列泛函的極值曲線。2yy tF0yFy

12、tFy2yyFdtdF根據(jù)歐拉方程根據(jù)歐拉方程 ，可得：，可得： 0yFdtd常數(shù) yF常數(shù)yt2121cty212*41ctcty根據(jù)直接積分，得根據(jù)直接積分，得, 1)0(y由于, 12c所以10yt01122*41)(ctctty根據(jù)水平終結(jié)線的橫根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：截條件：0TtyFyF2yy tF ytFy20)2(2ytyyy t代入水平終結(jié)線橫截條件。代入水平終結(jié)線橫截條件。和和（在（在t=T處）處）02 y0 y14112*tcty通解為通解為1*21cty021)(1*cTTyTc211,10Ty水平終結(jié)線1014112TcTyT?361cT第三節(jié)第三節(jié) 橫截條件的推廣

13、橫截條件的推廣（一）一個可變初始點（一）一個可變初始點如果初始點是可變的，那么邊界條件如果初始點是可變的，那么邊界條件 不再成立。不再成立。Ay)0(需要一個初始橫截條件來填補這個空白。需要一個初始橫截條件來填補這個空白。（二）多個狀態(tài)變量情形（二）多個狀態(tài)變量情形當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個狀態(tài)變量時當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)表示為：，被積函數(shù)表示為：),(11nnyyyytF 0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件為：一般橫截條件為：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個狀態(tài)變量時當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)為：，被積函數(shù)為：),(yytF0)(1111nTTtnyTTtyTtnynyyFyFT

14、FyFyF一般橫截條件為：一般橫截條件為：（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況0) TTtyTTtyyTtyyyyFyFdtdFTFdtdyFyFyF泛函泛函 具有被積函數(shù)具有被積函數(shù) ，經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)濟學(xué)中很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。),()(nyyytFyV以被積函數(shù)以被積函數(shù) 為例，一般橫截條件為：為例，一般橫截條件為：),(yyytF 2222:,11000,10160 8100 ,( ,)41614.4260100032003560CQQPPP PPQ CPPPPPP 例 壟斷企業(yè)的埃文斯模型 考慮生產(chǎn)一種商品的一家壟斷企業(yè)成本函數(shù)為需求函數(shù)為則企業(yè)利潤為0:max(,)44(1) . . (0)11,()15,2994(2) . . (0)11,()109TP P dts tPP TTs tPP T此 壟 斷 目 標(biāo) 為*0.120.1212*0.120.12:(1):4( )14944(0)11,( )15,2994( )6.9339.933149ttttEulerP tAeA ePP TTP tee解根據(jù)方程得出又根據(jù)邊界條件11*1*10.240.2412(2):( )10( ),( ,( ),( )|0,( )( ,( ),( )|0;|0|260 ( )2000( )32000( )0.1