關于一類分形函數(shù)的分數(shù)階微積分函數(shù)及其圖形的K_維數(shù)

1、第37卷第1期2011年2月蘭 州 理 工 大 學 學 報Feb.2011文章編號:1673 5196(2011)01 0164 04關于一類分形函數(shù)的分數(shù)階微積分函數(shù)及其圖形的K 維數(shù)張慧琛(忻州師范學院數(shù)學系,山西忻州 034000)摘要:應用Riemann Liouville分數(shù)階微積分的定義研究一類Weierstrass分形函數(shù)的分數(shù)階微分函數(shù)與分數(shù)階積分函數(shù),給出它們的連續(xù)性,并在此基礎上討論滿足一定條件時,這類Weierstrass函數(shù)的分數(shù)階微分與積分的階與原函數(shù)的K 維數(shù)間存在線性關系,并給予證明.關鍵詞:分形;分形函數(shù);Weierstrass函數(shù);分數(shù)階微積分;K 維數(shù)中圖分

2、類號:O174.1 文獻標識碼:AOnfractionalcalculusfunctionswithaclassoffractalfunctionandK dimensionsoftheirgraphsZHANGHui Chen(DepartmentofMathematics,XinzhouTeachers University,Shanxi 034000,China)Abstract:OnthebasisofdefinitionofRiemann Liouvillefractionalcalculus,fractionaldifferentialfunctionandfractionalin

3、tegralfunctionwithWeierstrassfunctionfractalwerestudiedandtheircontinuitywasgiveninthispaper.Undercertainconditions,thelinearrelationshipbetweentheorderoffractionaldiffer ential,andintegralofaWeierstrassfunctionandtheK dimensionsofprimaryfunctionwasproved.Keywords:fractal;fractalfunction;Weierstrass

4、function;fractionalcalculus;K dimension分數(shù)階微積分作為研究分形函數(shù)的一個有力工具,近年來引起人們廣泛的重視.文獻1在這方面作較詳細的綜述,在文獻2中應用Riemann Li ouville分數(shù)階微積分的定義對一類Weierstrass函數(shù):W(t)=j!11 定義與記號分數(shù)階微積分定義有各種不同形式,其中一個分數(shù)階積分的常用定義為2- jjsin( t)定義1 設f在(0,+)上連續(xù),且在J=0,+)的任何有限子區(qū)間上可積,對t>0,Re(!)>0,稱Df(t)=-!(0< <1, >1)的分數(shù)階積分函數(shù)與微分函數(shù)以及它們的

5、K 維數(shù)進行討論.本文針對一類更一般的Weierstrass函數(shù):W (t)=n=1#t-1(t-x)!f(x)dx(1)為函數(shù)f(t)的!階Riemann Liouville分數(shù)階積分(簡稱R L積分).其中,(!)=ancos(bnx+ n)(0<a<1,b>1)展開討論,給出其Riemann Liouville分數(shù)階積分函數(shù),分數(shù)階微分函數(shù)以及它們的K 維數(shù).收稿日期:2009 11 02:( ,女,.#-1e-tt!dt為伽馬函數(shù).定義2 設fC,#>0,m是大于#的最小整數(shù),記!=m-#>0.Df(t)=DDf(t) #>0,t>0 (2)為

6、函數(shù)f的#階Riemann Liouville分數(shù)階微分.#m-!第1期 張慧琛:關于一類分形函數(shù)的分數(shù)階微積分函數(shù)及其圖形的K 維數(shù)+ 165 +分:Dsinat=-!則有#t-1(t-x)!sinaxdx=:St(!,a)K(f)=lim+%0sosc(f,i)%<%is-1(9)(3)Dcosat=-!#t(t-x)!-1cosaxdx=:Ct(!,a)證明見文獻3.在討論K 維數(shù)之前首先看下列命題4:命題2 設0<!<1,a>0,1)設tA,0<!<1,則St(!,a)=Ct(!,a)&(4)下面給出W (t)的分數(shù)階積分函數(shù),對于0<

7、!<1,0<a<1,b>1,稱I (t,!):=D-!(W (t)=n=1nCt(!a(cos ,b)-nnn且!C1(!)=nSt(!sin ,b)(0<ab<1)(5)為W (t)的!階分數(shù)階積分函數(shù).對于0<#<1,稱-!St(!,a)成立.2)記tj=&C1(!)a-!Ct(!,a)&C1(!)a-!,j=2,3,h=,則aa(41!-2-2-43!)(!)4-!g (t,#):=D#(W (t)=n=1nn-#t-(1-#)nntn(ab)cos S(1-#,b)- nn(ab)sin nCt(1-#,b) (6)(b&

8、gt;1,0<a<1,0<ab#<1)為W (t)的#階分數(shù)階微分函數(shù).設f:0,1%R為連續(xù)函數(shù),記(f)=(t,f(t):0&t&1對任意開區(qū)間B 0,1,用osc(f,B)=tsupf(t)-f(t(),t(B表示函數(shù)f(t)在B上的振幅,用qB表示覆蓋f(B)的正方形B)B的最少個數(shù).設s!0,記P:R2%R為自然投影,即P(t,y)=t.記U為P(f)的任意開覆蓋簇.有定義3 設U=supF:FU,稱Ks(f)=%0U<為(f)的K 測度.記dimk(f)=infs>0:K(f)=0=sups>0:K(f)=3稱為(f)的K

9、維數(shù).ssFUC21(!)=使得Stj+h(!,a)-Stj(!,a)!C21(!)a成立.且!-1!-3!-3C(!-1)=-43)(4121使得+1Stj+h(!-1,a)-Stj(!-1,a)!C21(!-1)a-!成立.取C2(!)=minC21(!),C21(!-1),則Stj+h(!,a)-Stj(!,a)!C2(!)a-!+1Stj+h(!-1,a)-Stj(!-1,a)!C2(!)a-!qFFs(7)+& 3)t>0,記C3(!)=,則St(!,a)成立.&C3(!)a1-!Ct(!,a)&C3(!)a1-!(8),則a-!4)t>0,a&g

10、t;1,0<h<C4(!)=使2 關于分數(shù)階微積分函數(shù)圖象K 維數(shù)的討論命題1 設f(t)是定義在0,1上的連續(xù)函數(shù),1<s&2,記%=0=t0<t1<t2<<tn=1為A的任一劃分,i=ti-1,St+h(!,a)-St(!,a)&C4(!)aCt+h(!,a)-Ct(!,a)成立.命題3 設b>1,0<#,!,a<1,則&C4(!)a-!-!在,.+ 166 + 蘭州理工大學學報 第37卷2)0<ab#<1,則g (t,#)在,1上連續(xù).(其中為取定的任意小的正數(shù)).根據(jù)上述結論,下面給出W (

11、t)的分數(shù)階微分函數(shù)g (t,#)的圖像K 維數(shù)估計5.定理1 設g (t,#)為W (t)的#階分數(shù)階微分函數(shù),0<#<1,0<ab<1,有dimk(g ,1)&2+#logb證明 對任意給定的0<h<1,總存在正整數(shù)N>0,使得hb-(N+1)#N21&Ch-#-logalogb由微分中值定理及命題2中的3),得=n=1NabnnNnSt+h(1-#,bn)-St(1-#,bn)=St+)(1-#,b)n1-(1-#)nn=1abhnnnn=1N&Cabh(b)n=1=,b-N,則有ChChChg (t+h,#)-g (t,

12、#)=n=1nN(ab1+#n)=Chn=1N(bb1+#)n=n-#(t+h)-nn(blogb+1+#)n&n=1(ab)cos nSt+h(1-#,b)- (ab)nsin nCt+h(1-#,bn)-n-#nnt+(ab)cos nSt(1-#,b)+n-#-1b&Ch-#-logalogb由命題2中的4),得nn(ab)sin nCt(1-#,b)= 令n=1n=1N=n=N+1anbnSt+h(1-#,bn)-St(1-#,bn)Canbn(bn)-(1-#=&nn(t+h)-#-t-#)(1-#)nnnn=N+1+nCCCn=1abNn=N+1b(ab#)

13、n=(b)#nSt+h(1-#,b)-St(1-#,b)+n=N+1&&anbnSt+h(1-#,bn)-St(1-#,bn)+nnn=N+1N+1-#-n=1abnCt+h(1-#,bn)-Ct(1-#,bn)+nnnCh同理可知:-#-n=N+1abCt+h(1-#,b)-Ct(1-#,b)=:+12+n+4+54&Ch&Ch-#-#-5所以存在常數(shù)C,使得g (t+h,#)-g (t,#)&Ch現(xiàn)在考慮h+11n-#t=At-#=:(t)(1-#)-#-則(t+h)-(t)=-#-1,1上的任意一個劃分()h=A#+(+h(t<(<t+

14、h)若h則(所以(t+h)-(t)<即A#+h-+1%=h=t0<t1<t2<<tn=1maxi<h&i記i=ti-1,ti),當1&i&ni均有時,對一切t,t+h<t<(<t+h<1根據(jù)上式有<h-+#+1-(#+1)g (t+h,#)-g (t,#)Ci從而i-#-&第1期 張慧琛:關于一類分形函數(shù)的分數(shù)階微積分函數(shù)及其圖形的K 維數(shù)+ 167 +據(jù)命題1及上式,得K2+#(g ,1)=%0lim+limmax<i%1&i&nosc(g ,i)i1+#logb&

15、dimk(g ,1)=2+#logb同理可求出W (t)的分數(shù)階級分函數(shù)I (t,!)的圖像的K 維數(shù)6:定理4 設0<ab-!<1, N滿足:< N<2&2當b充分大時,dimk(I ,0,1)=2+-!logb參考文獻:1 姚 奎.分形函數(shù)與分數(shù)階微積分:構造性方法的應用D.杭州:浙江大學,2003.2 姚 奎,蘇維宜,周頌平.關于一類Weierstrass函數(shù)的分數(shù)階微積分函數(shù)J.數(shù)學年刊,2004,25A(6):711 716.3 MILLERKS,ROSSB.Anintroductiontothefractionalcalculusandfractio

16、naldifferentialequationsM.NewYork:JohnWiley,Sons,Inc,1993.4 HEGL,ZHOUSP.WhatistheexactconditionforfractionalintegralsandderivativesofbesicovitchfunctionstohaveexactboxdimensionJ.Chaos,Solitons&Fractal,2005,26:867 879.5 肯尼思+法爾科內(nèi).分形幾何-數(shù)學基礎及其應用M.曾文曲等,譯.沈陽:東北大學出版社,2001.6 何國龍.關于一類Weierstrass函數(shù)的分形維數(shù)J.浙江師范大學學報:自然科學版,2003,26(4):330 3