九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式《確定二次函數(shù)的表達(dá)式》典型例題1素材(新版

1、2確定二次函數(shù)的表達(dá)式例 1 已知二次函數(shù)，當(dāng) x= 4 時(shí)有最小值-3 ,且它的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,求此二 次函數(shù)解析式例 2 求函數(shù)解析式的題目(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-6), (1，-2)和(2，3)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式已知拋物線的頂點(diǎn)為(-1,-3)，與y軸交點(diǎn)為(0,-5)，求此拋物線的解析式已知拋物線與x軸交于A(-1,0)，B(1,0)，并經(jīng)過點(diǎn)M (0,1)，求拋物線的解析式例 3 已知二次函數(shù)y二ax2 bx c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(6,0)，頂(1)求此二次函數(shù)的解析式;點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3.2若一次函數(shù)y =kx m的圖象與x的軸相交于D(x

2、1,0)，且經(jīng)過此3二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)B,當(dāng)m6時(shí),(i)求X1的取值范圍;(ii )求BOD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值與最大值3參考答案例 1 分析：因?yàn)槎魏瘮?shù)當(dāng)x=4 時(shí)有最小值-3，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4 , -3)，對(duì)稱軸為x=4,拋物線開口向上.圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，即拋物線過(1 , 0)點(diǎn).又根據(jù)對(duì)稱解：此題可用以下四種方法求出解析式方法一：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x = 4,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1 , 0)，由對(duì)稱性2可知另一點(diǎn)為(7 , 0)，同例 1，拋物線 y=ax + bx + c 通過(4 , -3)、(1 , 0)、(7 , 0)三點(diǎn), 由此列出一個(gè)

3、含 a、b、c 的三元一次方程組，可解出a、b、c 來.方法二：由于二次函數(shù)當(dāng)x=4 時(shí)有最小值-3，又拋物線通過(1 , 0)點(diǎn)，所以4ac - ba-:4a0=a* I2-3+ b 1 +E由上面的方程組解出a、b、c.方法三：由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，可以設(shè)二次函數(shù)式為y=a(x+h)2+k，其中 h=-4 ,k=-3 即有 y=a(x-4)2-3，式中只有一個(gè)待定系數(shù)a，再利用拋物線通過(1 , 0)或通過(7 , 0)21求出 a 來.即0 =a(1 -4)2-3得出a.所求二次函數(shù)解析式為3121287(7, 0)有下面的草圖:4y (x -4) -3 x x.3333方法四：由于

4、拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X1=1, X2=7 .可以采用雙根式y(tǒng)=a(x-x J(x-x2),其中 X1=1,冷=7 即有 y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系數(shù) a,再把頂點(diǎn)(4,-3)1代入上式得：3=a(4一1)(4 - 7), a所求二次函數(shù)解析式為31i87y (x -1)(x -7)X?：x -.3333例 2 (1)解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y二ax? bx c.將(-1,-6)、(1 , -2)和(2 , 3)分別代入，得a -b +c =- ,a = 1,a +b +c = 2,解得b =2,4a+2b+c = 3,c = -5.所以二次函數(shù)的解析式為y=x2

5、2x-5.(2) 解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為(-1,-3),設(shè)其解析式為y=a(x1)2-3將(0,-5)代入得-5=a-3,a=2,所求拋物線的解析式為y = -2(x 1)2-3.即y = -2x2-4x -5.(3) 解：因?yàn)辄c(diǎn)A( -1,0),B(1,0)是拋物線與x軸的交點(diǎn)，所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x 1)(x -1).將M(0,1)代入，得a = -1,所求拋物線解析式為y二(x - 1)(x -1).即y = -x2T說明：此三題考查用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇正確解析式的三種形式，將給我們做題帶來很大的方便 .(1)中給出拋物線上任意三點(diǎn)， 所以選擇一

6、般 式；(2)中給出頂點(diǎn)，所以選擇頂點(diǎn)式；(3)中給出與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，所以選擇兩根式 .例 3 分析：(1)由已知條件可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3 , - 3)，所以可設(shè)出拋物線5的頂點(diǎn)式，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，即可求得.(2)因?yàn)楫?dāng)m取最小值時(shí)，x1也取最小值；當(dāng)m取最大值時(shí)，X1也取最大值.所以把m的最大值和最小值代入直線的解析式， 即可求出X1的取值范圍解：二次函數(shù)y =ax2bx c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)0(0 , 0)與點(diǎn)A(6 , 0) ,它的對(duì) 稱軸是x =3.它的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3 , - 3).31設(shè)此二次函數(shù)為y二a(x-3)3一3,把(6 , 0)代入解析式得9a-3 = 0, a,故所3求二次函數(shù)的解析式為y=(x_3)2- 3=】x2_2x.33333(2)(i)令m得直線 h 的解析式為 y =，把(3 , - 3)代入得& ，故直222八33線li的解析式為y x .2 2令y =0,得D(1,0).令m =6得直線12的解析式為y = k?x 6，把(3 , -3)代入得k -3,故直線 J 的解析式為y二3x 6，令y =0,則得D(2,0).故Xi的取值范圍是1空Xi空