圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（課堂PPT）

1、Ar xyO4.1.1 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入問題問題1：平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個：平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個圓？圓？圓心：確定圓的位置圓心：確定圓的位置半徑：確定圓的大小半徑：確定圓的大小問題問題2：圓心是圓心是A(A(a a, ,b b),),半徑是半徑是r r的圓的方程是什么？的圓的方程是什么？xyOCM( (x, ,y) )rbyax22)()(x-a)2+(y-b)2=r2三個獨立條件三個獨立條件a a、b b、r r確定一個圓的方程確定一個圓的方程. .設(shè)點設(shè)點M ( (x, ,y) )為圓為圓C上任一點上任一點，則則|MC|= r。探究新知

2、探究新知 問題問題：是否在圓上的點都適合這個方程？是否適是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這個方程的坐標(biāo)的點都在圓上？合這個方程的坐標(biāo)的點都在圓上？222)()(rbyax 點點M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點在圓上，由前面討論可知，點M的坐的坐標(biāo)適合方程；反之，若點標(biāo)適合方程；反之，若點M(x, y)的坐標(biāo)適合方程，的坐標(biāo)適合方程，這就說明點這就說明點 M與圓心的距離是與圓心的距離是 r ，即點，即點M在圓心為在圓心為A (a, b)，半徑為，半徑為r的圓上的圓上想一想想一想?xyOCM( (x, ,y) )圓心圓心C( (a, ,b),),半徑半徑r特別地特別地,若圓心為若圓心

3、為O（0，0），則圓的方程為：），則圓的方程為：222)()(rbyax標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程222ryx知識點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1.說出下列圓的方程：說出下列圓的方程： (1)圓心在點圓心在點C(3, -4), 半徑為半徑為7.(2) 經(jīng)過點經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點，圓心在點C(8,-3).2. 說出下列方程所表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑：說出下列方程所表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x a)2 + y 2 = m2 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例特殊位置的圓的方程特殊位

4、置的圓的方程: 圓心在原點圓心在原點: x2 + y2 = r2 (r0)圓心在圓心在x軸上軸上: (x a)2 + y2 = r2 (r0) 圓心在圓心在y軸上軸上: x2+ (y b)2 = r2 (r0) 圓過原點圓過原點: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0)圓心在圓心在x軸上且過原點軸上且過原點: (x a)2 + y2 = a2 (a0)圓心在圓心在y軸上且過原點軸上且過原點: x 2 + (y-b)2 = b2 (b0)圓與圓與x軸相切軸相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b20)圓與圓與y軸相切軸相切: (x a)2 + (y-b)2

5、= a2 (a0)圓與圓與x,y軸都相切軸都相切: (x a)2 + (ya)2 = a2 (a0) 例例1 1 寫出圓心為寫出圓心為 ，半徑長等于，半徑長等于5的圓的方的圓的方程，并判斷點程，并判斷點 ， 是否在這個圓上。是否在這個圓上。)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圓心是圓心是 ，半徑長等于，半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：是：)3, 2(A 把把 的坐標(biāo)代入方程的坐標(biāo)代入方程 左右兩邊相等，點左右兩邊相等，點 的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點 在這個圓上；在這個圓上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1,

6、5(2M2M2M 把點把點 的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點不相等，點 的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點 不不在這個圓上在這個圓上25)3()2(22yx9跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練已知兩點已知兩點M(3,8)和和N(5,2)(1)求以求以MN為直徑的圓為直徑的圓C的方程；的方程；(2)試判斷試判斷P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圓上，在是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？圓內(nèi)，還是在圓外？知識探究二：點與圓的位置關(guān)系知識探究二：點與圓的位置關(guān)系 探究：在平面幾何中，如何確定點與圓的位置關(guān)探究：在平面幾何中，如何確定點與圓的位置關(guān) 系？系

7、？M MO O|OM|OM|r r點在圓內(nèi)點在圓上點在圓外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2時時, ,點點M M在圓在圓C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2時時, ,點點M M在圓在圓C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2時時, ,點點M M在圓在圓C C內(nèi)內(nèi). .

8、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系: :知識點二：點與圓的位置關(guān)系知識點二：點與圓的位置關(guān)系待定系數(shù)待定系數(shù)法法解：設(shè)所求圓的方程為：解：設(shè)所求圓的方程為：因為因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上所求圓的方程為所求圓的方程為例例2 ABC2 ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(5,1),A(5,1), B(7,-3),C(2,-8), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程。求它的外接圓的方程。222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba,. 53, 2rba25) 3()2(22yx222)()(rbyax

9、例例3 3 己知圓心為己知圓心為C C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圓心在且圓心在直線直線l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圓心為求圓心為C C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .圓經(jīng)過圓經(jīng)過A(1,1),B(2,-2)解解2:設(shè)圓設(shè)圓C的方程為的方程為222()(),xaybr圓心在直線圓心在直線l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圓心為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)待定系數(shù)法待定系數(shù)法解解: :A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圓心為己知圓

10、心為C C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圓心在且圓心在直線直線l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圓心為求圓心為C C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .312 1( ,),3.222 1ABABDk 線段的中點113().232ABx線段的垂直平分線CD的方程為：y+即：即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 聯(lián)立直線 CD的方程：解得：圓心圓心C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 22(2)25.Cy圓心為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)練習(xí)練習(xí)2.2.根據(jù)下列條件，求圓的方程：根據(jù)下列條件，求圓的方程：（1

11、 1）求過兩點）求過兩點A A(0,4)(0,4)和和B B(4,6),(4,6),且圓心在直線且圓心在直線x x- -y y+1=0+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2 2）圓心在直線）圓心在直線5x-3y=85x-3y=8上，又與兩坐標(biāo)軸相上，又與兩坐標(biāo)軸相切，求圓的方程。切，求圓的方程。（3 3）求以）求以C C(1,3)(1,3)為圓心，且和直線為圓心，且和直線3x-4y-7=03x-4y-7=0相切的直線的方程。相切的直線的方程。1.點點(2a, 1 a)在圓在圓x2 + y2 = 4的內(nèi)部的內(nèi)部,求實數(shù)求實數(shù) a 的的取值范圍取值范圍.思考思考例例 已知圓的方程是已知圓

12、的方程是x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一求經(jīng)過圓上一 點點 的切線的方程。的切線的方程。),(00yxMXY0),(00yxM解解: :)(,00 xxkyy設(shè)切線方程為如圖,00 xykOMOM的斜率為半徑00,yxkOM所以垂直于圓的切線因)(0000 xxyxyy切線方程為202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圓的切線方程為17 如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在l位位置時，拱頂離水面置時，拱頂離水面2米，水面寬米，水面寬12米，當(dāng)水面下米，當(dāng)水面下降降1米后，水面寬多少米？米后，水面寬多少米？【分析】【分析】建立坐標(biāo)系求解

13、建立坐標(biāo)系求解18【解】【解】以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)囊詧A拱橋拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示示19設(shè)圓心為設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為，水面所在弦的端點為A、B，則由已知得則由已知得A(6，2)設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r，則，則C(0，r)，即圓的方程為即圓的方程為x2(yr)2r2.將點將點A的坐標(biāo)的坐標(biāo)(6，2)代入方程得代入方程得36(r2)2r2，r10.20【點評】【點評】本題是用解析法解決實際問題本題是用解析法解決實際問題21跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3 如圖如圖(1)所示是某圓拱橋的一孔圓拱的所示是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖該圓拱跨度示意圖該圓拱跨度AB20 m，拱高，拱高OP4 m，在建造時每隔在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐，求支柱需用一個支柱支撐，求支柱CD的高度的高度(精確到精確到0.01 m)22解：解：建立圖建立圖(2)所示的直角坐標(biāo)系，則圓心在所示的直角坐標(biāo)系，則圓心在y軸軸上設(shè)圓心的坐標(biāo)是上設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0，b)，圓的半徑是，圓的半徑是r，那，那么圓的方程是么圓的方程是x2(yb)2r2.下面用待定系數(shù)下面用