波動(dòng)方程的高階廣義屏疊前深度偏移

1、 第49卷第5期2006年9月地球物理學(xué)報(bào)CHI NESE JOURNA L OF GE OPHY SICSV ol. 49, N o. 5Sep. , 2006陳生昌, 馬在田. 波動(dòng)方程的高階廣義屏疊前深度偏移. 地球物理學(xué)報(bào), 2006, 49(5 :14451451Chen S C ,Ma Z T. High order generalized screen propagator for wave equation prestack depth migration. Chinese J . G eophys . (in Chinese , 2006, 49(5 :14451451波動(dòng)方

2、程的高階廣義屏疊前深度偏移陳生昌, 馬在田1浙江大學(xué)地球科學(xué)系, 杭州3100272同濟(jì)大學(xué)海洋地質(zhì)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海20009212摘要不同于常規(guī)廣義屏傳播算子的推導(dǎo)中使用散射理論, 本文利用單平方根算子的漸近展開, 推導(dǎo)出了單程波方程廣義屏傳播算子的高階表達(dá)式. 高階廣義屏傳播算子不僅可提高常規(guī)廣義屏傳播算子的計(jì)算精度, 而且還能改善廣義屏傳播算子對速度強(qiáng)橫向變化介質(zhì)的適應(yīng)性. 把高階廣義屏傳播算子應(yīng)用于波動(dòng)方程疊前深度偏移, 可得到比常規(guī)廣義屏傳播算子更好的效果. 高階廣義屏傳播算子的階數(shù)越高, 計(jì)算精度越高, 但計(jì)算量也越多. 以SEG 2E AGE 二維鹽丘模型數(shù)據(jù)的波動(dòng)方程疊前

3、深度偏移為例, 二階廣義屏傳播算子相對于常規(guī)( 廣義屏傳播算子增加了30%的計(jì)算量. 高階廣義屏傳播算子是常規(guī)廣義屏傳播算子理論的發(fā)展和完善. 關(guān)鍵詞波動(dòng)方程, 單平方根算子, 漸近展開, 廣義屏傳播算子, 高精度文章編號0001-5733(2006 05-1445-07中圖分類號11-06-02收修定稿H igh order generalized screen prestack depth migration2Chang 1, MA Z ai 2T ian 21o f Sciences , Zhejiang Univer sity , Hangzhou 310027, China 2K e

4、y Laboratory o f Marine G eology , Tongji Univer sity , Shanghai 200092, ChinaAbstract Different from the scattering theory used in the derivation of conventional generalized screen propagator , in this paper , a high order formula of generalized screen propagator for one 2way wave equation is propo

5、sed by using the asym ptotic expansion of single 2square 2root operator. The high order generalized screen propagator not only im proves the calculation precision of conventional generalized screen propagator , and facilitates the suitability of generalized screen propagator to the media with strong

6、 lateral velocity variation. Applying the high order generalized screen propagator to wave equation prestack depth migration can get a better migration result than that of conventional generalized screen propagator. The higher the order number of generalized screen propagator , the higher the calcul

7、ation precision , and the m ore the calculation am ount. Using the wave equation prestack depth migration on SEG 2E AGE 2-D salt dome m odel as an exam ple , the tw o 2order generalized screen propagator increases 30%calculation w ork relative to the conventional (one 2order generalized screen propa

8、gator. The presentation of high order generalized screen propagator is a theoretic development and im provement to the conventional generalized screen propagator.K eyw ords Wave equation , Single square root operator , Asym ptotic expansion , G eneralized screenpropagator , High precision基金項(xiàng)目國家高技術(shù)研究

9、發(fā)展(863 計(jì)劃項(xiàng)目(2003AA61102001 和海洋地質(zhì)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(2005007 資助. 作者簡介陳生昌, 男,1965年生, 博士, 副教授. 主要從事地震波傳播與偏移成像及速度分析的方法理論及應(yīng)用研究.E 2mail :chenshengc 1446地球物理學(xué)報(bào)(Chinese J. G eophys. 49卷1引言波場外推(傳播 算子的研究是波動(dòng)方程偏移成像、反演以及波場模擬的基本內(nèi)容. 在20世紀(jì)90年代以前, 波動(dòng)方程偏移成像中的波場傳播算子主要有三種:一是基于射線理論的K irchhoff 積分算子; 二是時(shí)間-空間域(或頻率-空間域 的有限差分算子; 三是頻

10、率-波數(shù)域的波場傳播算子. 基于這三種波場傳播算子, 建立了三種具有不同特點(diǎn)的波動(dòng)方1程偏移成像方法技術(shù). 20世紀(jì)90年代以來, 被廣泛應(yīng)用于聲學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域的波場傳播相位屏(Phase screen 傳播算子引入到反射地震學(xué), 用于地震反射波場的波動(dòng)方程偏移成像和波場模擬. 相位屏也稱為薄屏, 相位屏理論假定實(shí)際介質(zhì)相對于均勻背景介質(zhì)的非均勻性可以集中在一塊“薄薄的屏幕”內(nèi), 同時(shí)這種薄屏只對通過的波場起相位校正作2用. 1990年Stoffa et al. 提出的裂步(S plit Step F ourier 偏移方法是相位屏傳播算子在波動(dòng)方程深度偏移成像中的最先應(yīng)用(裂步F ouri

11、er 一種相位屏傳播算子 .20世紀(jì)90年代以來, De算子可以通過不同的途徑推導(dǎo)出來, 目前應(yīng)用比較多的途徑主要有兩條:1 波場傳播的散射理論;2 相空間的Hamilton 路徑積分. 相空間的Hamilton 路徑積分法在數(shù)學(xué)上比較完備, 但要用到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的擬微分算子理論和微局部分析理論19. 波場傳播的散射理論法利用了波場傳播中的成熟理論和方法技術(shù), 比如利用波場散射的Born 近似理論和Rytov 近似理論. 利用波場傳播的散射理論可以十分方便地獲得廣義屏波場傳播算子的一階近似傳播算子擴(kuò)展的局部Born 近似廣義屏傳播算子、擬線性擴(kuò)展的局部Born 近似廣義屏傳播算子和擴(kuò)展的局部Ry

12、tov 近似廣義屏傳播算子及其改進(jìn)2025. 這些近似的波場傳播算子目前已被廣泛應(yīng)用于基于廣義屏傳播算子的波動(dòng)方程疊前深度偏移成像和波場模擬方法技術(shù)中.Born 近似和Rytov , 因?yàn)镽ytov 近似都是一. 為了提高強(qiáng)橫向變化介, 本文從單程波方程的單平方根算子出發(fā), 應(yīng)用類似于F ourier 有限差分方法26. , 適用于弱散射和地下介質(zhì)空間弱橫向變化. 由于地震H oop et al.36的算子漸近展開方法, 推導(dǎo)出了廣義屏傳播算子的高階表達(dá)式. 高階廣義屏傳播算子對強(qiáng)橫向變化介質(zhì)中波的描述相對于常規(guī)廣義屏傳播算子具有更好的寬角行為和更高的精度. 本文把高階廣義屏傳播算子中的二階廣

13、義屏傳播算子應(yīng)用于SEG -E AGE 二維鹽丘模型的疊前深度偏移成像, 并與常規(guī)(一階 廣義屏傳播算子的偏移成像結(jié)果進(jìn)行比較.波的主頻相對較低, 所以相位屏傳播算子對于空間強(qiáng)橫向變化地下介質(zhì)中地震波場傳播的描述就會(huì)出現(xiàn)較大的誤差, 但是相位屏傳播算子有極高的計(jì)算效率和對介質(zhì)性質(zhì)空間變化的自適應(yīng)性. 為了準(zhǔn)確地描述強(qiáng)橫向變化介質(zhì)中地震波的傳播, 人們在相位屏傳播算子理論的基礎(chǔ)上, 發(fā)展了廣義屏傳播算7子理論. 當(dāng)前廣義屏傳播算子理論不僅已用于復(fù)8雜介質(zhì)中標(biāo)量波的描述, 而且還用于聲波和彈性9,10波的描述. 在廣義屏傳播算子理論基礎(chǔ)上發(fā)展的波動(dòng)方程疊前深度偏移成像技術(shù)和波場模擬技術(shù)都取得了很好

14、的效果. 在地震勘探中, 波場傳播算子的研究現(xiàn)在仍處于發(fā)展期, 利用不同的逼近方法可以得到建立在不同近似基礎(chǔ)上具有不同計(jì)算效率和準(zhǔn)確度的波場傳播算子, 如擬屏算子(Pseudo screen propagator 、復(fù)屏算子(C om plex screen propagator 、加窗屏算子(Windowed screen propagator 、最優(yōu)積(Optimized product 波場傳播算子以及最優(yōu)近似波場傳播算子等等131811,122方法原理常密度介質(zhì)中的無源聲波波動(dòng)方程(2-D 為p (x , z ; t =0, (1 2+2-229z 9x v (x , z 9t, 得對

15、方程(1 關(guān)于變量t 做F ourier 變換, t 222p (x , z ; =0. 2+2+29z 9x v (x , z 222(2假定垂直向下為深度方向, 且令深度方向?yàn)槲覀兯紤]的地震波的主傳播方向. 地震波以步進(jìn)的方式沿深度方向傳播. 在每一個(gè)深度步進(jìn)間隔內(nèi), 速度不存在垂向變化, 也即在一個(gè)深度步進(jìn)間隔內(nèi), 速度只存在橫向變化. 令在深度間隔(z i , z i +z 的速度為v (x , z i , 則方程(2 可寫為. 廣義屏傳播 5期陳生昌等:波動(dòng)方程的高階廣義屏疊前深度偏移222p (x , z ; =0. 2+2+29z 9x v (x , z i 1447(3設(shè)s

16、=1v (x , z i , s 0=1c , 則有k z =k z 0=將方程(3 進(jìn)行上下行波分解, 得+i9z -i9z =0.2s 2-k 2x , 22s 20-k x .(9 (10 +2p (x , z ; 2v (x , z i 9x +2p (x , z ; v (x , z i 9x22222將式(10 代入式(9 , 得k z =k z 0-22(2k z 02. (11(4頻率-空間域的下行波傳播方程為9z=i22(. +22p x , z ; v (x , z i 9x在根式中第二項(xiàng)小于1的條件下, 對式(11 中的根式做漸近展開, 得2222n s 0s 0-s n

17、2(-1 k z =k z 0+k z 0, 2222s 0-k x s 0n =1n(5(12方程(5 中的平方根算子不是一個(gè)通常意義下的微分算子, 而是一個(gè)廣義微分算子, 即擬微分算子. 為了進(jìn)行計(jì)算需要對該擬微分算子進(jìn)行近似展開, 得到各階近似.令(z i , z i +z 間的背景速度為c , 則背景介質(zhì)中的下行波傳播方程為9z(6 =i 2+, z ; 6 -波數(shù)域形式, 有將方程(5z 9z=v (x , z i -( 2其中m n為二項(xiàng)式系數(shù), 有m =.!(, 有i k zx , i +e z p (x , z i ; . p (x , z i +z ; 22=ei k z i

18、 k zz 0ez 0n =1(-1n2n22s 222s -k0x22s -s 2s 0n×p (x , z i ; . (13在式(13 中, 雖然算子物理空間X 中的坐標(biāo)變量與對偶空間中的坐標(biāo)變量得到了解耦, 但是整個(gè)算子對波場的作用還是表現(xiàn)為耦合的. 只有物理空間中的坐標(biāo)變量與對偶空間中的坐標(biāo)變量以及算子對波場的作用都得到解耦, 才能保證廣義屏傳播算子通過借助快速F ourier 變換達(dá)到計(jì)算的高效性和對介質(zhì)性質(zhì)橫向變化的自適應(yīng)性. 在式(13 中第二個(gè)指數(shù)項(xiàng)的冪為小于1的小數(shù)的條件下, 對式(13 中的第二個(gè)指數(shù)項(xiàng)做T aylor 展開2k x p (k x , z ; ,

19、2222(7x , z ; =9z c 令k z =v (x , z i k z 0=-2k x p (k x , z ; . (8-222v (x , z i 2k x ,2c-k x ,ei k z z 0n =1(-1n2n222s -k0xs 222s -s 2s 0n1+i k z 0zn =1(-1n2n2s 222s 0-k 2xs -s2s 022n. (14將式(14 代入式(13 , 有p (x , z i +z ; =ei k zz 01+i k z 0zn =1(-1n2n2s 222s 0-k 2xs s2s 022p (x , z i ; . (15 1448地球物

20、理學(xué)報(bào)(Chinese J. G eophys. 49卷式(15 就是本文推導(dǎo)出的高階廣義屏傳播算子表達(dá)式. 只要其級數(shù)項(xiàng)取得盡可能的多, 則式(15 對強(qiáng)橫向變化介質(zhì)中單程波傳播的描述從理論上可以達(dá)到任意精度. 如果式中n 取不同的值, 就可得到不同階的廣義屏傳播算子. 把式(15 展開, 并把相應(yīng)的F ourier 變換算符及變量代入, 就可得到下述的高階廣義屏傳播算子展開式:i k z z 0-i k z-2p (x , z i ; p (x , z i +z ; =F k x e z 0F x p (x , z i ; +c 2F x22v (x , z i c 2c k x 21-2

21、-1-+1-1-1i k zz 0c k x2223-2F x c 2v (x , z i c 85-2F x c 2v (x , z i c 327-2F x c 2v (x , z i c 1282p (x , z i ; 2i k zz 03c k x222p (x , z i ; 2i k zz 04c k x222p (x , z i ; +, (162式中的F x 和F k x 分別代表正反F ourier 變換.取n =1, 可得到下述的一階(常規(guī) 廣義屏傳播算子:p (x , z i +z ; =F k x e-i k zz 0F x p x i ; 2-i k zz k 22

22、-2p (x , z i ; c 2v (x , z i c 2. (17式(17 近似推導(dǎo)出的擴(kuò)展的Born 近似廣義屏傳播算子是一致的. 由式(17 還提出的穩(wěn)定的Born 近似廣義屏傳播算子.取n =2, 可得到下述的二階廣義屏傳播算子:p (x , z i +z ; =F k x e-i k zz 0F x p (x , z i ; +1-i k zz 0222F x-2p (x , z i ; c 2v (x , z i c 222-1-i k zz 02223-2F x c 2v (x , z i c 8p (x , z i ; ; (1821-i k zz 0取n =3, 可得到

23、下述的三階廣義屏傳播算子:p (x , z i +z ; =F k x e-i k zz 0F x p (x , z i ; +222F x-2p (x , z i ; c 2v (x , z i c 222-1-i k zz 0c k 2223-2F x c 2v (x , z i c 85-2F x c 2v (x , z i c 32p (x , z i ; 2i k zz 0+1-3c k 222p (x , z i ; . (192階數(shù)越高, 高階廣義屏傳播算子的計(jì)算精度越高, 但計(jì)算量也越大. 根據(jù)文獻(xiàn)23, 在式(16 中應(yīng)用近似e -1, 其中|<1, 可進(jìn)一步改善高階廣

24、義屏傳播算子的計(jì)算精度和穩(wěn)定性. 5期陳生昌等:波動(dòng)方程的高階廣義屏疊前深度偏移1449圖1高階廣義屏傳播算子與低階廣義屏傳播算子點(diǎn)源響應(yīng)比較(a 一階廣義屏傳播算子; (b 二階廣義屏傳播算子. x 代表水平距離, 本文指C MP 位置, d 代表深度.Fig. 1C om paris on of im pulse responses of high order generalized screenpropagator and low order generalized screen propagator(a First order generalized screen propagator

25、 ; (b Second order generalized screen propagator.為了比較高、低階廣義屏傳播算子的波場傳播特性, 圖1為高階廣義屏傳播算子和低階廣義屏傳播算子點(diǎn)源響應(yīng)比較. 在計(jì)算中, 介質(zhì)的速度為4000m s , 背景速度取2000m s. 由圖1可以看出, 高階廣義屏傳播算子相對于低階廣義屏傳播算子有更好的寬角行為, 其點(diǎn)源響應(yīng)更接近半園, 小, 精度高.3為驗(yàn)證第2確性和有效性及其在深度偏移成像上的應(yīng)用效果, 本文用SEG -E AGE 的2-D 鹽丘模型進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn). 該模型的特點(diǎn)是速度橫向變化劇烈, 鹽體的速度值為沉積層的兩倍多, 鹽體邊界的傾角大.

26、 試驗(yàn)所用的鹽丘模型地震數(shù)據(jù)為SEG -E AGE 公開的國際上公用的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù), 觀測系統(tǒng)為右邊放炮, 左邊接收, 共有325炮, 每炮有176道, 炮間距48m , 道間距24m , 最2-D 鹽丘模型的偏移成像結(jié)果.圖2SEG -E AGE 2-D 鹽丘模型的速度場Fig. 2Velocity field of SEG -E AGE 2-D salt dome m odel小偏移距為零, 記錄長度5s , 時(shí)間采樣率8ms. 圖2為鹽丘模型的速度分布.本文用式(18 的二階廣義屏傳播算子進(jìn)行試驗(yàn). 為了比較, 本文還用文獻(xiàn)2提出的S plit 2Step F ourier 傳播算子(一種退

27、化的一階廣義屏傳播算子 和文獻(xiàn)23提出的穩(wěn)定的Born 近似廣義屏傳播算子(一種改進(jìn)的一階廣義屏傳播算子 進(jìn)行SEG 2E AGE 22D 鹽丘模型的深度偏移成像. 圖3a 為應(yīng)用S plit 2Step F ourier 傳播算子得到的2-D 鹽丘模型的偏通過對比圖3(a ,b ,c 可以看出, 本文提出的二階廣義屏傳播算子取得了很好的偏移成像結(jié)果. 圖3c 中的鹽體邊界清晰, 鹽下的成像效果相對于圖3a 和3b 有了明顯的改善, 斷層的接觸關(guān)系清楚, 底部基線平坦無波動(dòng).從整體上來看, 二階廣義屏傳播算子的偏移成像結(jié)果好于一階廣義屏傳播算子的偏移成像結(jié)果, 一階廣義屏傳播算子的偏移成像結(jié)果

28、好于S plit 2Step F ourier 傳播算子的偏移成像結(jié)果. 然而它們的計(jì)算量關(guān)系正好相反,S plit 2Step F ourier 傳播算子的計(jì)算量小于一階廣義屏傳播算子的計(jì)算量, 一階廣義屏傳播算子的計(jì)算量小于二階廣義屏傳播算子的計(jì)算量. 在本文的試驗(yàn)中, 二階廣義屏傳播算子相對于一階廣義屏傳播算子增加了30%的計(jì)算量. 階數(shù)越高增加的計(jì)算量越多. 根據(jù)我們的大量試驗(yàn), 我們認(rèn)為在深度偏移成像中使用高階廣義屏傳播算子中的二移成像結(jié)果; 圖3b 為應(yīng)用穩(wěn)定的Born 近似廣義屏傳播算子得到的2-D 鹽丘模型的偏移成像結(jié)果; 圖3c 為應(yīng)用本文提出的二階廣義屏傳播算子得到的145

29、0 地 球 物 理 學(xué) 報(bào) ( Chinese J . Geophys. 49 卷 階廣義屏傳播算子是比較適中的 ( 精度和效率間的 折衷 . 4 結(jié) 論 本文提出的高階廣義屏傳播算子不僅是當(dāng)前廣 屏傳播算子的波場模擬和偏移成像提供了更多的選 義屏傳播算子理論的發(fā)展和完善 , 而且為基于廣義 擇 ,也改善了廣義屏傳播算子對強(qiáng)橫向變化介質(zhì)的 適應(yīng)性 . 根據(jù)本文在 SEG EAGE 2-D 鹽丘模型的深 2 義屏傳播算子可很好地滿足速度強(qiáng)橫向變化構(gòu)造區(qū) 的疊 前 深 度 偏 移 成 像 的 要 求 , 增 加 的 計(jì) 算 量 為 屏傳播算子 ,應(yīng)是階數(shù)越高越好 ,但還應(yīng)考慮計(jì)算量 與精度間的折衷

30、 . 參考文獻(xiàn) ( References 1 Claerbout J F. Imaging of the Earth Interior. Blackwell Scientific s Publication , 1985 度偏移成像試驗(yàn) , 高階廣義屏傳播算子中的二階廣 30 %. 對于在復(fù)雜介質(zhì)波場模擬中使用的高階廣義 (a 應(yīng)用 Split2Step Fourier 傳播算子 ; (b 應(yīng)用穩(wěn)定的 Born 近似廣義屏傳播算子 ; (c 應(yīng)用二階廣義屏傳播算子 . (a Split2Step Fourier propagator ; (b Stable Born approximation

31、 generalized screen propagator ; (c Second2order generalized screen propagator. Motion , 2000 , 31 : 4370 Fig. 3 Migration result of SEG EAGE 2-D salt dome model 2 173 圖 3 2EAGE 2-D 鹽丘模型的深度偏移成像結(jié)果 SEG 2 Stoffa P L , Fokkema J T , de Luna Freire R M , et al . Split2step Fourier migration. Geophysics ,

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36、roving the wide angle accuracy of the screen Xie 期 5 陳生昌等 : 波動(dòng)方程的高階廣義屏疊前深度偏移 1451 propagator for elastic wave propagation. SEG 69th Annual Meeting , Expanded Abstracts , 1999 , 18631866 11 X B ,Mosher C C , Wu R S. The application of wide angle screen Xie propagator to 2D and 3D depth migrations. SE

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