三角函數(shù)模型的簡單應用 (人教A版必修4)（課堂PPT）

1、11.6 三角函數(shù)模型的簡單應用21.1.知識目標：通過對三角函數(shù)模型的簡單應用的學習，初知識目標：通過對三角函數(shù)模型的簡單應用的學習，初步學會由圖象求解析式的方法；體驗實際問題抽象為三角步學會由圖象求解析式的方法；體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象函數(shù)模型問題的過程；體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型的重要函數(shù)模型2.2.能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學問題的數(shù)學“建模建模”思想思想, ,從而培養(yǎng)學生建模、分析問題、從而培養(yǎng)學生建模、分析問題、數(shù)形結合、抽象概括等能力數(shù)形

2、結合、抽象概括等能力33.3.情感目標：讓學生切身感受數(shù)學建模的過程，體驗數(shù)學情感目標：讓學生切身感受數(shù)學建模的過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神思考的精神. .45在我們現(xiàn)實生活中有很多現(xiàn)象在進行周而復始地變在我們現(xiàn)實生活中有很多現(xiàn)象在進行周而復始地變化，用數(shù)學語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所化，用數(shù)學語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學的三角函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如學的三角函數(shù)

3、就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們下列現(xiàn)象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探討三角函數(shù)模型的簡單應用就來探討三角函數(shù)模型的簡單應用. .6) 0, 0()sin(AxAy正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)1 1、物理情景、物理情景簡諧運動簡諧運動星體的環(huán)繞運動星體的環(huán)繞運動2 2、地理情景、地理情景 氣溫變化規(guī)律氣溫變化規(guī)律月圓與月缺月圓與月缺3 3、心理、生理現(xiàn)象、心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動情緒的波動智力變化狀況智力變化狀況體力變化狀況體力變化狀況4 4、日常生活現(xiàn)象、日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮漲潮與退潮股票變化股票變化7根據圖象建立三角函數(shù)關系

4、：根據圖象建立三角函數(shù)關系：例例1 1 如圖，某地一天從如圖，某地一天從6 61414時時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù): :sin()yAxbT/102030ot/h6 10 148思考思考1 1：這一天這一天6 61414時的最大溫差是多少？時的最大溫差是多少？思考思考2 2：函數(shù)式中函數(shù)式中A A、b b的值分別是多少？的值分別是多少？3030-10-10=20=20A=10,b=20.A=10,b=20.思考思考3 3：如何確定函數(shù)式中如何確定函數(shù)式中 和和 的值的值? ?12146 ,2.86,10.xy3將代入上式，解得 49思考思考4 4：這段曲線對應的函數(shù)

5、是什么？這段曲線對應的函數(shù)是什么？思考思考5 5：這一天這一天1212時的溫度大概是多少（時的溫度大概是多少（）？）？ 27.07. 27.07. 310sin()20,6,1484yxx綜上，所求解析式為 一般的，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時刻一般的，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時刻的溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的變化范圍的溫度變化情況，因此應當特別注意自變量的變化范圍. .10方法小結：方法小結： maxmin1,2Af xf x maxmin12bf xf x2T利用求得，,利用最低點或最高點在圖象上 該點的坐標滿足函數(shù)解析式可求得,注意通常11練習1： 函數(shù)的

6、最小值是2，其圖象相鄰的最高點與最低點橫坐標差是3，且圖象過點(0,1)，求函數(shù)解析式.sin(),(0,0,| |)2yAxA12sin()36yx12A1314151617根據解析式模型建立圖象模型根據解析式模型建立圖象模型例例2 2 畫出函數(shù)畫出函數(shù)y y|sin|sinx x| |的圖象并觀察其周期的圖象并觀察其周期. .y y|sinx|sinx|x xy y-2-218解：解：函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示從圖中可以看出，函數(shù)從圖中可以看出，函數(shù) 是以是以為周期的波浪形為周期的波浪形曲線曲線. .xysin由于由于,sinsin)sin(xxx所以，函數(shù)所以，函數(shù) 是以是以為周期

7、的函數(shù)為周期的函數(shù). .xysin我們也可以這樣進行驗證：我們也可以這樣進行驗證： 利用函數(shù)圖象的直觀性利用函數(shù)圖象的直觀性, ,通過觀察圖象而獲得對函數(shù)通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質的認識性質的認識, ,這是研究數(shù)學問題的常用方法這是研究數(shù)學問題的常用方法. . 19作業(yè)課本P65 A組1.（1）（2）（3）2.（1）（2）（4）20例例3 3 如圖，設地球表面某地正午太陽高度角為如圖，設地球表面某地正午太陽高度角為 ， 為此時為此時太陽直射緯度，太陽直射緯度， 為該地的緯度值，那么這三個量之間的為該地的緯度值，那么這三個量之間的關系是關系是 9090| | |.|.當?shù)叵陌肽戤數(shù)叵陌肽?取正

8、值，冬半年取正值，冬半年 取負值取負值. . 太陽太陽光光課堂探究3將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的函數(shù)模型將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的函數(shù)模型21如圖，設地球表面某地如圖，設地球表面某地緯度值為緯度值為 ，正午太陽，正午太陽高度角為高度角為，此時太陽，此時太陽直射緯度為直射緯度為 ，那么，那么這三個量之間的關系這三個量之間的關系是是 。當?shù)亍．數(shù)叵陌肽晗陌肽耆≌?，冬半取正值，冬半年年取負值。取負值?0| o太陽光太陽光90| 地心地心北半球北半球南半球南半球太陽高度角的定義太陽高度角的定義22太陽光太陽光90 o90| o90| o地心地心太陽光直射南半球太陽光直射南半球23分析：分

9、析：根據地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為根據地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南，北回歸線之間的地帶南，北回歸線之間的地帶.畫出圖形如下，由畫圖易知畫出圖形如下，由畫圖易知A B CH 如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40）的一幢高為）的一幢高為H的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離前面的樓房遮擋，兩樓的距離應應不小于多少？不小于多少？24解：解：如圖，如圖，A A、B B、C C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時，樓頂在地面上的投影點

10、，要使新樓一層正午的太歸線時，樓頂在地面上的投影點，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為況考慮，此時的太陽直射緯度為-23-232626，依題意兩樓的間，依題意兩樓的間距應不小于距應不小于MC.MC.根據太陽高度角的定義，有根據太陽高度角的定義，有C=90C=90-|40-|40-(-23-(-2326)|=2626)|=263434所以，所以，2.000tantan26 34HHMCHC 即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當于即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當于樓

11、高兩倍的間距樓高兩倍的間距. .25將實際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚將實際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚: :理解題意理解題意建立三角建立三角函數(shù)模型函數(shù)模型求解求解還原解答還原解答26例例4 4 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. .在通常情況下，船在在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋，漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關系表：下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關系表：

12、時刻時刻水深（米）水深（米）時刻時刻水深（米）水深（米）時刻時刻水深（米）水深（米）0:000:005.05.09:009:002.52.518:0018:005.05.03:003:007.57.512:0012:005.05.021:0021:002.52.56:006:005.05.015:0015:007.57.524:0024:005.05.027（1 1）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，并給出整點時的水深的近似數(shù)值數(shù)關系，并給出整點時的水深的近似數(shù)值. .（精確到（精確到0.0010.001）（2 2）一條貨船的

13、吃水深度（船底與水面的距離）為）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 4米，安米，安全條例規(guī)定至少要有全條例規(guī)定至少要有1.51.5米的安全間隙（船底與洋底的距米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？（3 3）若某船的吃水深度為）若某船的吃水深度為4 4米，安全間隙為米，安全間隙為1.51.5米，該船在米，該船在2:002:00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.30.3米的速度減少，那么米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水

14、域？28根據圖象，可以考慮用函數(shù)根據圖象，可以考慮用函數(shù)來刻畫水深與時間之間的對應關系來刻畫水深與時間之間的對應關系. .從數(shù)據和圖象可以得出：從數(shù)據和圖象可以得出：sin()yAxh解：解：（1 1）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖系中畫出散點圖. .29A=2.5,h=5,T=12, =0;A=2.5,h=5,T=12, =0;212T由由 ，得，得.6所以，這個港口的水深與時間的關系可以近似描述為：所以，這個港口的水深與時間的關系可以近似描述為：2.5sin56yx由上述關系式易得港口在整點時水深的近似值：由上述關系式易得港

15、口在整點時水深的近似值：時時刻刻0.00.00 01:01:00 02:02:00 03:03:00 04:04:00 05:05:00 06:06:00 07:07:00 08:08:00 09:09:00 010:10:000011:011:00 0水水深深5.05.000006.26.250507.17.165657.57.500007.17.165656.26.250505.05.000003.73.754542.82.835352.52.500002.82.835353.753.754 4時時刻刻12.12.000013:13:000014:14:000015:15:000016:1

16、6:000017:17:000018:18:000019:19:000020:20:000021:21:000022:22:000023:023:00 0水水深深5.05.000006.26.250507.17.165657.57.500007.17.165656.26.250505.05.000003.73.754542.82.835352.52.500002.82.835353.753.754 430（2 2）貨船需要的安全水深為）貨船需要的安全水深為 4+1.5=5.5 4+1.5=5.5 （米），所以（米），所以當當y5.5y5.5時就可以進港時就可以進港. .令令化簡得化簡得2.5s

17、in55.56xsin0.26x由計算器計算可得由計算器計算可得0.2014,0.201466xx或x x x x3 36 69 912121515181821212424O Oy y2 24 46 6A AB BC CD D31解得解得0.3848,5.6152ABxx因為因為 ，所以由函數(shù)周期性易得，所以由函數(shù)周期性易得0,24x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx 因此，貨船可以在凌晨零時因此，貨船可以在凌晨零時3030分左右進港，早晨分左右進港，早晨5 5時時3030分左右出港；或在中午分左右出港；或在中午1212時時3030分左右進港，下午分左右進

18、港，下午1717時時3030分左右出港，每次可以在港口停留分左右出港，每次可以在港口停留5 5小時左右小時左右. .32（3 3）設在時刻）設在時刻x x船舶的安全水深為船舶的安全水深為y y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2) y=5.5-0.3(x-2) (x2),(x2),在同一坐標系內作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看在同一坐標系內作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在到在6 67 7時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點. .33 通過計算可得，在通過計算可得，在6 6時的水深約為時的水深約為5 5米，此時船舶的安米，此時船舶的安全水深約為全水深約為4.34.3米；米；6.56.5時的水深約為時的水深約為4.24.2米，此時船舶的米，此時船舶的安全水深約為安全水深約為4.14.1米；米；7 7時的水深約為時的水深約為3.83.8米，而船舶的安米，而船舶的安全水深約為全水深約為4 4米，因此為了安全，船舶最好在米，因此為了安全，船舶最好在6.56.5時之前停時之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域止卸貨，將船舶駛向較深的水域. .341.1.根據三角函數(shù)圖象建立函數(shù)解析式，就是要抓住圖象的根據三角函數(shù)