統(tǒng)計物理的方法研究平衡輻射場的基本問題-太原師范

1、統(tǒng)計物理的方法研究平衡輻射場的基本問題學(xué)生 張佳瑢 指導(dǎo)教師 范建忠摘要 平衡輻射場問題作為近代物理的熱點問題一直受到人們的關(guān)注。本文旨在系統(tǒng)論述平衡輻射場基本問題的統(tǒng)計物理研究這一課題，特別是著眼于有邏輯的理論推導(dǎo)，使用玻色統(tǒng)計法推導(dǎo)出普朗克公式，并討論它與維恩公式、瑞利瓊斯公式的關(guān)系，使讀者更容易建立起本課題的基本框架。關(guān)鍵詞 玻色統(tǒng)計法 平衡輻射場 能量密度 巨配分函數(shù) 普朗克輻射公式0引言19世紀中后期開始，在麥克斯韋、玻耳茲曼、吉布斯等幾代杰出物理學(xué)家的努力下，建立在概率原理基礎(chǔ)上的統(tǒng)計物理方法日趨成熟。特別是進入20世紀以后，伴隨著量子力學(xué)的產(chǎn)生，一種新的統(tǒng)計物理方法量子統(tǒng)計法也迅

2、速建立并發(fā)展起來。這種新的統(tǒng)計法，以間斷性的量子態(tài)代替經(jīng)典物理中連續(xù)態(tài)的概念。并且由于相同粒子的全同性，相同粒子交換并不產(chǎn)生新的量子態(tài)，以及是否遵守泡利不相容原理，而產(chǎn)生了與經(jīng)典統(tǒng)計法完全不同的兩種量子法，即玻色統(tǒng)計法和費米統(tǒng)計法1。其中玻色統(tǒng)計法用來研究由大量玻色子組成的系統(tǒng)，例如：光子系統(tǒng)等；費米統(tǒng)計法則用來研究由大量費米子組成的系統(tǒng)，例如：電子系統(tǒng)等。同時，在19世紀后半葉，人們對熱輻射的規(guī)律性，尤其是對黑體輻射能量波長的分布函數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣。至此之后，空腔輻射場、平衡輻射場相繼成為人們的研究重點。在研究空腔輻射中的平衡輻射場時，現(xiàn)在一般有兩種思考方式，一種是波動的觀點，即把輻射場分

3、解成一系列單色平面波的疊加；另一種是粒子的觀點，即把空腔內(nèi)的輻射場看作是光子的集合。統(tǒng)計物理方法在研究由大量微觀物質(zhì)粒子組成的宏觀系統(tǒng)方面顯示了它強大的生命力，它架起了系統(tǒng)宏觀性質(zhì)與其微觀機理之間的大橋。而平衡輻射場問題作為近代物理的熱點問題一直受到人們的關(guān)注。過去，對這一問題的研究人們往往從熱力學(xué)的角度出發(fā)進行簡單的推導(dǎo)。后來，當人們發(fā)現(xiàn)可以將空腔輻射場看作一團光子氣體處理2時，用統(tǒng)計物理的方法來研究平衡輻射場就自然成為可能。但是縱觀許多的相關(guān)著作，它們或是太過籠統(tǒng)，不夠細致，或是只為論述其它問題而單方面研究其中的一兩個問題，不夠系統(tǒng)。特別是其中許多概念例如：平衡輻射場、空腔輻射、黑體輻射等

4、交錯出現(xiàn)，使初學(xué)者很難弄明白。本文旨在系統(tǒng)論述平衡輻射場基本問題的物理研究這一課題，細致界定這些概念，建立起各個問題例如：輻射壓強、能量密度、普朗克公式等之間的聯(lián)系。特別是著眼于有邏輯的理論推導(dǎo)，使用玻色統(tǒng)計法推導(dǎo)出普朗克公式，并討論它與維恩公式、瑞利瓊斯公式的關(guān)系，使讀者更容易建立起本課題的基本框架。1玻色統(tǒng)計法1.1玻色氣體由全同的玻色子組成的氣體稱為玻色氣體。一般說來，玻色子是遵循量子力學(xué)規(guī)律的。因而在研究玻色氣體時也應(yīng)使用量子統(tǒng)計法。但是，具體討論時，我們通常把滿足經(jīng)典極限條件（也叫非簡并條件） (1)或 (2)的玻色氣體當作經(jīng)典氣體來處理。而只有當玻色氣體不滿足上述條件時，由粒子不可

5、分辨所產(chǎn)生的量子統(tǒng)計效應(yīng)才起到重要的作用，才使用量子統(tǒng)計法。因而像這樣的不滿足經(jīng)典極限條件的玻色氣體又被稱為簡并玻色氣體。對于理想玻色氣體，實際上是一種理想模型，即忽略簡并玻色氣體粒子間的相互作用勢能，完全遵循量子力學(xué)規(guī)律的理想氣體。它根據(jù)粒子數(shù)的情況可分為兩類：第一類是粒子數(shù)不固定，這種玻色氣體的粒子隨時可以產(chǎn)生和湮沒，其化學(xué)勢恒為零，如光子氣體、固體中聲子氣體.第二類是粒子數(shù)固定不變，其化學(xué)勢(表示粒子的最低能級)如4He.其中第一類玻色氣體不發(fā)生凝聚現(xiàn)象，比較簡單.第二類玻色氣體當溫度處于臨界溫度時，會發(fā)生所謂的Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象3。1.2光子氣體如前所述，光子是一種玻色

6、子，而光子氣體是由大量光子組成的，由于光子的特點，可被看作理想玻色氣體，具體模型如下2：1、光子的自旋量子數(shù)s=1,光子與光子之間相互獨立，所以光子氣體可以看成是理想玻色氣體；2、光子的靜止質(zhì)量是m0=0，光子的速度即光速c是常數(shù)。因為達到光速，所以對于光子，牛頓力學(xué)不成立，應(yīng)該用相對論的結(jié)果，在相對論中的能量公式為： (3)由此可知，對于光子有： (4)3、光子與其它物質(zhì)相互作用是靠發(fā)射和吸收光子進行的，所以在光子氣體中，光子的粒子數(shù)不是恒定的。4、光子滿足德布羅意關(guān)系具有一定的波矢和圓頻率的單色平面波與具有一定的動量和能量的光子相對應(yīng)，動量與波矢量，能量與圓頻率之間遵從德布羅意關(guān)系： (5

7、)1.3玻色統(tǒng)計法玻色統(tǒng)計法是指用于研究玻色子系統(tǒng)的統(tǒng)計物理方法。對于滿足經(jīng)典極限條件（1）或（2），由大量全同的近獨立玻色子組成的孤立系統(tǒng)，在平衡狀態(tài)下是服從玻耳茲曼分布的，也就是說可以用經(jīng)典統(tǒng)計物理方法來研究。而不滿足經(jīng)典極限條件的，由大量全同的近獨立玻色子組成的孤立系統(tǒng)，在平衡狀態(tài)下，就需要考慮粒子的全同性，此時，系統(tǒng)即理想玻色系統(tǒng)是服從玻色愛因斯坦分布的。即：滿足 (6)其中、由下面的兩式確定： (7)如果把、和y看作已知的參量，引入一個函數(shù)，名為巨配分函數(shù)4，其定義為 (8)取對數(shù)得: (9)則系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)，可通過表示為： (10)內(nèi)能是系統(tǒng)中粒子無規(guī)則運動總能量的統(tǒng)計平均值：

8、 (11)類似地可將通過表為: (12)外界對系統(tǒng)的廣義作用力Y是的統(tǒng)計平均值： (13)可將Y通過表為： (14)上式的一個重要特例是： (15)由式(10)-(14)得 注意上面引入的是、y的函數(shù)，其全微分為: 故有： 上式指出是的積分因子。在熱力學(xué)中，曾學(xué)到過有積分因子，使: 比較可知: (16)所以: 積分得: (17)由此可知，如果知道粒子的能級和能級的簡并度，并將式（9）的求和計算出來，就可以求得巨配分函數(shù)的對數(shù)作為、y的函數(shù)，再由式(10)(12)(14)(15)和(17)求得理想玻色系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)，從而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。以上方法推導(dǎo)出的結(jié)論與吉布斯系綜統(tǒng)計法得出的結(jié)

9、論是完全一致的。雖然系綜統(tǒng)計法是用于研究粒子間具有相互作用不可忽略的開放系統(tǒng)的，但它的結(jié)論也依然適用于全同的近獨立粒子組成的孤立系統(tǒng)，這里就不再綴述。2平衡輻射場2.1平衡輻射場當空腔與內(nèi)部的輻射場處于平衡，即腔壁單位面積所發(fā)射的能量和它所吸收的能量相等時，此時腔內(nèi)的場稱為平衡輻射場5。2.2空腔輻射假設(shè)有一個封閉的空腔，腔壁保持恒定的溫度T，由于腔壁不斷發(fā)射和吸收輻射能，經(jīng)過一定的時間后，空腔內(nèi)的電磁輻射場將與腔壁達到平衡，形成空腔輻射，即平衡輻射場，具有共同的溫度T?？涨惠椛涫切纬善胶廨椛鋱龅淖罴蜒b置。研究平衡輻射場往往是從研究空腔輻射開始的，從某種意義上講，空腔輻射等同于平衡輻射場6。2

10、.3黑體輻射絕對黑體，就是指在任何溫度下能夠完全吸收外來的輻射而不進行反射和透射的理想物體。自然界中沒有真正的黑體，但可以制造具有絕對黑體的裝置。如果是一人造黑體，空腔開有小孔，通過小孔射入空腔的電磁波，需要經(jīng)過腔壁多次反射才有可能從小孔射出。由于每一次反射腔壁都要吸收一部分電磁波，經(jīng)過多次反射后從小孔射出的電磁波將全部被空腔所吸收。因此可以把帶有小孔的空腔看作一個絕對黑體。這個空腔中的電磁輻射也稱為黑體輻射。絕對黑體的輻射有一個最大的優(yōu)點，就是這種輻射只取決于黑體的溫度，而與黑體的物質(zhì)材料無關(guān)。這樣一來，整個輻射的研究就可以簡化為黑體輻射的研究。絕對黑體其實可以看作是物理中的一個理想化模型，

11、因為它是實際中空腔輻射的最簡單的模式。就像實際氣體之于理想氣體一樣，對黑體輻射的研究成果同樣對實際研究有很強的指導(dǎo)作用。我們知道，0K以上的任何物體都以電磁波形式向外輻射能量。在研究空腔輻射時，其內(nèi)的平衡輻射場可以看成是一系列單色平面波的疊加，而由于微觀粒子的波動與微粒性的統(tǒng)一，根據(jù)愛因斯坦粒子的觀點3，具有一定同頻率、波矢和圓偏振的平面波與具有一定能量、動量和自旋的光子相對應(yīng)，因而空腔輻射也可以看成是一箱子光子氣體。光子與其它物質(zhì)的相互作用，導(dǎo)致光子的湮滅與產(chǎn)生。當光子與腔壁碰撞時，光子可以被腔壁吸收；腔壁也可以輻射出光子，光子的能量，光子又有各種頻率，能量就隨頻率而異。光子的產(chǎn)生數(shù)與湮滅數(shù)

12、不一定相等。但平衡輻射場的總能量是恒定的，如腔壁吸收一個圓頻率是2的光子，輻射場的能量減少了2，但腔壁可以發(fā)射2個圓頻率是的光子，輻射場的能量又增加了2，總能量維持恒定，但光子數(shù)卻不恒定。這就是光子氣體中光子數(shù)不守恒的原因。3用玻色統(tǒng)計法研究平衡輻射場的基本問題把空腔內(nèi)的平衡輻射場看作是一團光子氣體,根據(jù)光子氣體的特征,應(yīng)用玻色統(tǒng)計法,我們可以得到:3.1光子氣體的統(tǒng)計分布由于光子氣體中光子數(shù)不守恒,(7)式中的條件不存在.因而只應(yīng)引進一個拉氏乘子,這樣光子氣體的統(tǒng)計分布為 (18)這意味著: ， 3.2光子的量子態(tài)數(shù)光子的自旋量子數(shù)為s=1,自旋在動量方向的投影可取兩個可能值,相當于左右圓偏

13、振.在六維笛卡兒坐標空間中,考慮到光子自旋的兩個投影,可知在體積為V和空腔內(nèi),在P到P+dP的動量范圍內(nèi)(取球坐標系),光子的量子態(tài)數(shù)為:再對和積分，由0積分到, 由0積分到2: 最終得： 將(4)(5)二式代入上式,可得在體積為V的空腔內(nèi),在到的圓頻率范圍內(nèi),光子的量子態(tài)數(shù)為 (19)即為該范圍內(nèi)的能級簡并度。3.3巨配分函數(shù)根據(jù)(9)式有：，再將(5)、(19)式代入得：引入變量，可將上式化為： 應(yīng)用分部積分法： 上式右方第一項為零，因此： 求出積分（8附錄C），得： (20)3.4內(nèi)能、能量密度據(jù)（12）（20）式可得： (21) (22)3.5輻射壓強據(jù)（15）式可得： (23)比較（

14、22）（23）兩式可得： 3.6熵 3.7焓、自由能、吉布斯函數(shù)平衡輻射場的焓、自由能、吉布斯函數(shù)可以根據(jù)熱力學(xué)函數(shù)的計算公式以及上面的輻射壓強和熵值一一計算得出，這里不再綴述。 4普朗克公式4.1普朗克公式的統(tǒng)計物理法推導(dǎo)輻射場的一個重要性質(zhì)，就是輻射場的能量密度按頻率有確定的分布。即由普朗克黑體輻射公式給出。將黑體輻射看作是一團光子氣體時，總能量維持恒定，而光子數(shù)卻不守恒。下面根據(jù)這一性質(zhì)，應(yīng)用玻色愛因斯坦統(tǒng)計法，重新推導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式。根據(jù)前面3.1和3.2的結(jié)果，將（19）式代入（18）式可得到頻率在到的范圍內(nèi)平均光子數(shù)為 所以輻射場的能量按頻率分布為： (25)上式就是著名的普

15、朗克（Planck）公式。1900年普朗克在維恩公式和瑞利瓊斯公式的基礎(chǔ)上通過內(nèi)插法得到了它。當時推導(dǎo)出的普朗克（Planck）公式，只是在數(shù)學(xué)上比較精確地符合實驗數(shù)據(jù)。然而，在普朗克的努力下，能量量子化的概念被引入并用于給出該公式的物理意義。這一概念的引入成為量子力學(xué)的開始，它給出了平衡輻射時能量按頻率的分布。雖然平衡輻射時，單位體積內(nèi)有多少光子數(shù)不能確定，但分布在某一頻率范圍內(nèi)的單位體積平均光子數(shù)是確定的。單位體積的能量是確定的。如果湮滅了某一圓頻率范圍的光子個，但可以產(chǎn)生另一圓頻率范圍的光子個，它們的光子數(shù)雖不同，卻不改變系統(tǒng)的總能量。也可以表示為能量密度按波長的分布。將(25)式改寫為

16、： (25)*由波長、頻率與光速的關(guān)系: 得到： 由此式可找到T一定時能量密度最大值對應(yīng)的最可幾波長，由極值條件可得到: 令，并代入上式有,整理得： 解得6 。 ,等于常數(shù)。由此看出隨著溫度的升高，最可幾波長向著短波方向轉(zhuǎn)移，即溫度越高，能量越是集中在高頻區(qū)。這個結(jié)論稱之為維恩位移定律。4.2瑞利瓊斯公式、維恩公式和普朗克公式三者之間的關(guān)系4.2.1瑞利瓊斯公式對(25)*式，在低頻高溫的極限下， 。(25)*近似為 (26)該式就是瑞利瓊斯公式。瑞利瓊斯（1905年）曾經(jīng)用電磁波概念與玻爾茲曼統(tǒng)計理論推得（26）式，它只在低頻部分與實驗結(jié)果相符合。4.2.2維恩公式對(25)*式，在高頻低溫

17、的極限下，(25)*可簡化為 (27)該式就是維恩公式。維恩1896年曾用半經(jīng)驗方法(熱力學(xué)的方法)得到(27)式，它只在高頻部分與實驗相符合。由該式看出，在時，U(,T)隨著的增加迅速趨于零，這表明在溫度為T的平衡態(tài)下不存在高頻（）光子，也就是說溫度為T的腔壁發(fā)射高頻光子的幾率為零。4.2.3 三者之間的關(guān)系雖然在歷史上，是先有維恩公式和瑞利瓊斯公式，而后由普朗克在它們基礎(chǔ)上推導(dǎo)出普朗克公式的。但是，隨著理論的不斷完善，我們可以知道維恩公式、瑞利瓊斯公式分別是普朗克公式在高頻低溫和低頻高溫極限下的近似，以上的推導(dǎo)過程就正是這樣的。維恩公式和瑞利瓊斯公式都是用經(jīng)典方法推導(dǎo)得出的，而普朗克公式則

18、給出的量子化的概念，它們有本質(zhì)上的不同。但是，在一定的條件下，量子效應(yīng)并不明顯，此時，就可以用經(jīng)典理論代替較為復(fù)雜的量子理論而得到與實際也同樣比較吻合的結(jié)果，就正如維恩公式、瑞利瓊斯公式在高頻低溫和低頻高溫極限下一樣。同時，高頻范圍時的維恩公式反映了黑體平衡輻射有較強的粒子性；而低頻范圍時的瑞利瓊斯公式反映了黑體平衡輻射有較強的波動性。由此可見，在黑體平衡輻射問題上，波動與微粒的統(tǒng)一是在量子論和量子統(tǒng)計法的基礎(chǔ)上獲得的，在經(jīng)典理論中這兩種看法是矛盾的，是無法統(tǒng)一的。結(jié)束語本文在分析大量文獻、進行許多理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)論述了用統(tǒng)計物理的方法研究平衡輻射場的基本問題這一課題。并且給出了普朗克公

19、式的統(tǒng)計物理法推導(dǎo)，這完全不同于普朗克的內(nèi)插法。最后討論了普朗克公式與維恩公式、瑞利瓊斯公式三者之間的關(guān)系。給人以完整的認知，特別是其中對容易混淆概念間的明確辨析，是初學(xué)者很容易理解。參考文獻1李艷平,申先甲著.物理學(xué)史教程.北京.科學(xué)出版社,2003.7:172-178,233-235.2李福山.關(guān)于黑體平衡輻射的統(tǒng)計物理方法.吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).1984(01):25-30.3謝秉川.凝聚玻色氣體在臨界溫度下的相變是一種三級相變.大學(xué)物理.1998.第17卷(02):8-10.4汪志誠著.熱力學(xué)統(tǒng)計物理. 北京.高等教育出版社,2004.2(3):87-92,295-309,3

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21、1W.顧萊納,L.Statistical Physics Theory in the Basic Problems of Equilibrium Radiation FieldStudent Zhang Jiarong Supervisor Teacher Fan JianzhongAbstract: The basic problems of equilibrium radiation field continuously receives peoples attention as the modern physics hot topic. This article aims to describe the basic problems of equilibrium radiation field in Statistical physics method systematically,specially focusing on logical theory infer ential reasoning.I will use Bose-Einstein statistics theory to infer Plan