SAS試驗指導(dǎo)-Arch建模

1、ARCH建模及SAS實現(xiàn)一.Arch模型Arch模型即自回歸條件異方差模型，是金融市場中廣泛應(yīng)用的 一種特殊非線性模型。1982年，R.Engle在研究英國通貨膨脹率序列 規(guī)律時提出ARCH模型，其核心思想是殘差項的條件方差依賴于它 的前期值的大小。1986年，Bollerslev在ARCH模型基礎(chǔ)上對方差的 表現(xiàn)形式進(jìn)行了線性擴(kuò)展，并形成了更為廣泛的GARCH模型。1. 金融時間序列的異方差性特征金融時間序列，無恒定均值（非平穩(wěn)性），呈現(xiàn)出階段性的相對平 穩(wěn)的同時，往往伴隨著出現(xiàn)劇烈的波動性；具有明顯的異方差（方差隨時間變化而變化）特征：尖峰厚尾：金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾和在均值處呈現(xiàn)過度波峰；

2、波動叢聚性：金融市場波動往往呈現(xiàn)簇狀傾向，即波動的當(dāng)期水平往往與它最近的前些時期水平存在正相關(guān)關(guān)系。杠桿效應(yīng)：指價格大幅度下降后往往會出現(xiàn)同樣幅度價格上升的 傾向。1 oR 9 99 7 0 3因此，傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)模型(以及時間序列模型)并不能很好地解 釋金融時間序列數(shù)據(jù)。2. ARCH(p) 模型考慮 k 變量的回歸模型yt01x1tLk xktt若殘差項t的均值為0,對y取基于t-1時刻信息的期望:Et 1(yt )01x1t Lk xkt該模型中，yt的無條件方差是固定的。但考慮 yt的條件方差:22var(yt |Yt1)Et1(yt01x1tLkxkt)2Et1t2其中，var(yt

3、|Yt 1)表示基于t-1時刻信息集合Yt-i的yt的條件方差,若殘差項t存在自回歸結(jié)構(gòu)，則yt的條件方差不固定。假設(shè)在前p期所有信息的條件下，殘差項平方t2服從AR(p)模型:(*)其中t為0均值、2 方差的白噪聲序列。則殘差項t 服從條件正態(tài)分布:tN0,2t12tp殘差項t的條件方差:var( t)2t12 ptp由兩部分組成:1 )常數(shù)項 ；2)ARCH 項變動信息,前 p 期的殘差平方和p2i t ii1注:未知參數(shù) 0, 1,L , p 和 0, 1,L , k 利用極大似然估計法估計。方差非負(fù)性要求0, 1,L , p 都非負(fù)。為了使t2協(xié)方差平穩(wěn),需進(jìn)一步要求方程1 1z Lp

4、zp 0的根都位于單位圓外。若 i 都非負(fù),上式等價于1 L p 1.注:若擾動項的條件方差不存在自相關(guān),則有1 Lp0,此時 var( t)0,即殘差的條件方差同方差性情形。3. GARCH( p,q)模型ARCH(p)模型在實際應(yīng)用中，為了得到較好的擬合效果，往往需 要很大的階數(shù)p,從而增加了待估參數(shù)個數(shù)、引發(fā)多重共線性、非限 制估計違背 i 非負(fù)性要求。1986年，Bollerslev將ARCH(p)模型推廣為廣義自回歸條件異方pq22i t ii t ii 1 i 1差模型GARCH(p, q):殘差t的條件方差表示為var( t)t2由三項組成,(1)常數(shù)項 ；2) ARCH 項；p

5、3) GARCH 項前 q 期預(yù)測方差i1注:未知參數(shù)用極大似然法估計, 通常殘差的假設(shè)分布有正態(tài)分 布、 t 分布、廣義誤差分布；該模型也要求 i, i 非負(fù)；若要求是平穩(wěn)過程，需要限制i i 1.實際上，GARCH(p, q)模型是將殘差i 1i 1平方用 ARMA(q,p) 模型描述。4. ARCH 檢驗檢驗?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠窬哂?ARCH 效應(yīng)有兩種方法：(1) . ARCH LM 檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗檢驗原假設(shè)Ho：殘差序列直到p階都不存在ARCH效應(yīng)；需進(jìn) 行如下回歸：p?22t o i t i ti1檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量一一檢驗回歸系數(shù)是否顯著為 0.運(yùn)T X R2統(tǒng)計量一

6、一LM統(tǒng)計量，其中T為觀察值個數(shù)，R2為回 歸擬合優(yōu)度，該統(tǒng)計量漸近服從 2(p)分布。(2) . 殘差平方相關(guān)圖殘差平方相關(guān)圖顯示殘差平方 ？序列，直到任意指定的滯后階 數(shù)的自相關(guān)函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC),并計算相應(yīng)滯后階 數(shù)的 QLB 統(tǒng)計量。若不存在 ARCH 效應(yīng)，則任意滯后階數(shù)的自相關(guān) 函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC)都近似為0.5. GARCH-M 模型一般風(fēng)險越大， 預(yù)期收益越大。 在回歸模型中加入一項 “利用條 件方差表示的預(yù)期風(fēng)險”：ytxtpq2 2 2 t i t i i t i i 1 i 1稱為 GARCH-M 模型。另外，還有非對稱沖擊模型： TAR

7、CH、EGARCH、PARCH 等（略）。二.SAS 實現(xiàn)-PROC AutoReg 過程SAS 中的 AutoReg 過程，是用于估計和預(yù)測誤差項自相關(guān) 或異方差的時間序列數(shù)據(jù)的線性回歸模型。自回歸誤差模型被用來校正自相關(guān)系數(shù)和廣義自回歸條件 異方差模型 GARCH ，并且其變體如廣義的 ARCH （GARCH）、 方差無窮的 GARCH（IGARCH ）、指數(shù)的 GARCH（EGARCH） 和依均值的 GARCH（ GARCH-M ）被用于異方差的建模和校正。 自回歸過程 AutoReg 可以擬合任意階的自回歸誤差模型， 并且可 以擬合子集自回歸模型。為了診斷自相關(guān)性， 過程產(chǎn)生廣義 Du

8、rbin-Watson（DW ）統(tǒng) 計量和其邊緣概率。 普通回歸分析假定誤差方差對于所有觀察是 相同的，但當(dāng)誤差方差不相同時，數(shù)據(jù)被稱為異方差，此時普通 最小二乘法估計不是有效的， 同時也影響預(yù)測值置信區(qū)間的精確 性。 Autoreg 過程能檢驗異方差，并且提供 GARCH 模型族來估 計和校正數(shù)據(jù)易變性。 對于帶有自相關(guān)擾動和隨時間變化的條件 異方差模型，過程輸出條件均值和條件方差的預(yù)測值?；菊Z法:Proc AutoReg data據(jù)集 可選項 ;model因變量=獨(dú)立回歸變量列表 /選項列表;output out=數(shù)據(jù)集 選項列表;by變量;說明：1. proc autoreg語句可選項

9、outest=據(jù)集把估計參數(shù)輸出到指定數(shù)據(jù)集；covout把估計參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到outest=指定數(shù)據(jù)集；該選項只有在指定了outest=選項后才有效.2. model 語句center通過減去均值，中心化因變量并且取消模型的均值參數(shù)；noi nt取消模型的均值參數(shù)；nlag =數(shù)值| (數(shù)值列表)指定自回歸誤差的階或者自回歸誤差的時間間隔的子集。例如，nlag=3與nlag=(1 2 3)作用相同，但與nlag=(1 3)等不同；garch=(q=數(shù)值,p=數(shù)值,type=選擇值,mean, noint, tr)指 定廣義條件異方差GARCH模型的類型。例如，定義GARCH(2,1)回歸

10、模型：model y=x1 x2 / garch=(q=2, p=1);注意：SAS系統(tǒng)的自回歸參數(shù)符號 q和p與前文所述公式中的符號p和q正好相反。定義 GARCH-M(1,1)回歸模型：model y=x1 x2 / garch=(q=2,p=1,mea n);type=選擇值 指定 GARCH模型的類型：默認(rèn)為 noineq 表示無約束 GARCH模型；nonneg表示非負(fù)約束 GARCH 模型；stn表示約束GARCH模型系數(shù)的和小于1 ； integ表 示IGARCH模型；exp表示EGARCH模型；noi nt 取消條件異方差模型中的均值參數(shù)；tr GARCH模型的估計使用信賴區(qū)域

11、方法，缺省值為對 偶擬牛頓法；archtest要求用portmantea Q檢驗統(tǒng)計量和Engle的拉格朗日乘子LM檢驗是否存在條件異方差情況，即是否有ARCH效應(yīng)；coef輸出前幾條觀察的變換系數(shù)；corrb輸出參數(shù)估計的估計相關(guān)系數(shù)；covb輸出參數(shù)估計的估計協(xié)方差；dw=n輸出直到n階的DW 統(tǒng)計量，默認(rèn) n=1;dwprob輸出DW統(tǒng)計量的p值，當(dāng)誤差自由度大于300時dwprob選項被忽略；ginv輸出Yule-Walker解的自協(xié)方差的 Toeplitz矩陣的逆；itpri nt輸出每步迭代的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)估計;lagdetp輸出DW t統(tǒng)計量，它用于檢驗存在時滯因變量時殘差的自相

12、關(guān)性；lagdep=0歸變量輸出 DW h統(tǒng)計量，它用于檢驗一階自相關(guān)性；partial輸出偏自相關(guān)；backste去掉非顯著自回歸參數(shù)，參數(shù)按最小顯著性的次序被去掉；slstay=數(shù)值指定被backstep選項使用的顯著水平，默認(rèn)為0.05；converge=數(shù)值指定在迭代自回歸參數(shù)估計時參數(shù)的變化量的最大絕對值小于此數(shù)值，那么認(rèn)為收斂，默認(rèn) 為 0.001;maxiter=數(shù)值指定允許迭代的最大次數(shù)，默認(rèn)為 50;method=ml | ols | yw | ityw指定估計的方法，分別為：最大似然估計、無條件最小二乘法、Yule-Walker估計、迭代Yule-Walker估計；nomi

13、ss使用沒有缺失值的第一個連貫時間序列數(shù)據(jù)集，進(jìn)行模型擬合估計。否則，跳過數(shù)據(jù)集開始的任何 缺失值，使用獨(dú)立回歸變量和因變量都不帶缺失值的所 有數(shù)據(jù)。請?zhí)貏e注意，為了保持時間序列中正確的時間 間隔，必須要增加時間刻度值，這樣就會產(chǎn)生因變量缺 失值的觀察。當(dāng)因變量缺失時，過程可以產(chǎn)生預(yù)測值。如果缺失值很多，則應(yīng)使用ML估計。3. output 語句out=數(shù)據(jù)集一一指定包含預(yù)測值和變換值的輸出數(shù)據(jù) 集；alphacli=數(shù)值設(shè)置時間序列預(yù)測值置信區(qū)間的顯著水平，默認(rèn)為0.05;alphaclm=數(shù)值設(shè)置模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值置信區(qū)間的顯著水平，缺省值為0.05;cev=變量把條件誤差方差寫入到輸出數(shù)

14、據(jù)集的指定變量中，僅GARCH模型被估計時才使用； cpev=變量把條件預(yù)測誤差方差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中，僅 GARCH模型被估計時才使用； consta門七=變量把被變換的均值寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lcl =變量一一把預(yù)測值的置信下限寫入到輸出數(shù)據(jù)集 的指定變量中；ucl =變量把預(yù)測值的置信上限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；lclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值的置信下限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；uclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測值的置信上限寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；p=變量把預(yù)測值寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中；rm =變量把來自模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測的殘差寫入到輸出數(shù)據(jù)集

15、的指定變量中；tran sform =變量把被變換的變量寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。三.例子對模擬方法生成的時間趨勢加二階自回歸誤差模型的時間序列數(shù)據(jù)，用PROC AUTOREG過程進(jìn)行分析和建模，以便于比 較和判斷各種求解模型和運(yùn)算結(jié)果的好壞。模型：兀二10 + 0*5一耳£ t 0.5名r +(一) 按照模擬模型生成數(shù)據(jù)集代碼：data randar;e1=0;e11=0;do t=-10 to 36;e= 1.3 *e1- 0.5 *e11+ 2*rannor( 12346 );x= 10+0.5 *t+e;e11= e1;e1=e;if t> 0 thenoutput

16、 ;end;Obs12345678910111213141516171819202122232425262728運(yùn)行結(jié)果:e1 e11-2.73816 -4.99186 0.03674 -2.73816 0.663560.03674-0.862330.66356-4.30165 -0.86233 -3.88957 -4.30165 -3.56635 -3.88957 -3.68908 -3.56635 -2.50263 -3.68908tex1 -2.738167.76182 0.03674 11.03673 0.66356 12.16364 -0.86233 11.13775 -4.3016

17、58.19846 -3.889579.11047 -3.566359.93378 -3.68908 10.31099 -2.50263 11.9974-1.80957 -2.50263 10 -1.80957 13.1904-0.14763 -1.80957 11 -0.14763 15.35241.78537 -0.14763 121.78537 17.78544.09011 20.59013.54577 20.54584.090111.78537 133.545774.09011 14-0.929953.54577 15 -0.92995 16.5701 -3.39550 -0.92995

18、 16 -3.39550 14.6045-4.57207 -3.39550 17 -4.57207 13.9279-4.02602 -4.57207 18 -4.02602 14.9740-3.75333 -4.02602 19 -3.75333 15.7467-1.73776 -3.75333 20 -1.73776 18.2622-1.42859 -1.73776 21 -1.42859 19.0714-0.98120 -1.42859 22 -0.98120 20.0188-1.48741 -0.98120 23 -1.48741 20.0126-4.41515 -1.48741 24

19、-4.41515 17.5848-4.14229 -4.41515 25 -4.14229 18.3577-5.57633 -4.14229 26 -5.57633 17.4237-5.55633 -5.57633 27 -5.55633 17.9437-4.17604 -5.55633 28 -4.17604 19.8240Obsel e11 tex29 -2.45303 -4.17604 29 -2.45303 22.047030 -0.32189 -2.45303 30 -0.32189 24.678131 -0.24246 -0.32189 31 -0.24246 25.257532

20、1.61987 -0.24246 321.61987 27.619933 2.262591.61987 332.26259 28.762634 0.485402.26259 340.48540 27.485435 -1.115700.48540 35 -1.11570 26.384336 -2.95901 -1.11570 36 -2.95901 25.0410變量e對應(yīng)e1對應(yīng)&-1, e2對應(yīng)&-2.表達(dá)式2*rannor(12346),將生成獨(dú)立同分布均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為 2的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，對應(yīng)于公式中均值為 0,方差為22的白噪聲誤 差序列。DO循環(huán)從t= 10開始而不

21、是直接從t=1開始的原因，是讓模擬 生成的二階自回歸誤差序列 有一段時間(t= 10到0)進(jìn)行初始化， 以便到達(dá)穩(wěn)定的隨機(jī)序列值。(二) 普通最小二乘法回歸模型代碼：proc autoreg data =randar PLOTS(ONLY) = FITPLOT;model x=t;run ;運(yùn)行結(jié)果及說明:AUTORE過程因變量x普通最小二乘法估計SSE214.953429 DFE34普通最小二乘法估計MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.5

22、97444Durbi n-Wats on0.4752回歸R方0.8200總R方0.8200參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept18.23080.85599.62<.0001t10.50210.0403 12.45<.0001AUTORE過程-I 0|O 5 ID IE 3D 95* IC4工P0 ID 帥 30010 旳 眸<JVJ0 E 10 15 SO 2ETbJgiV-3 JWSFfi即打F嘆型自由jg?現(xiàn)瀏乂 USES齊M亡橫型自由;SEaiosojo普通最小二乘回歸基于統(tǒng)計假設(shè)： 誤差相互對立。 然而，時間序 列數(shù)據(jù)

23、，普通回歸后的殘差常常是相關(guān)的。這將導(dǎo)致：第一，對于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計檢驗將不正 確；第二，回歸系數(shù)的估計不象考慮到自相關(guān)性時的估計一樣有效； 第三，由于回歸殘差不獨(dú)立，它們包含可用來改進(jìn)預(yù)測值的信息。由于這些原因，所以對時間序列數(shù)據(jù)不使用普通回歸proc reg過程而使用帶自回歸誤差的回歸 pro autoreg過程。Model語句中指定回 歸模型，沒有可選項，是要求利用普通最小二乘法做x對t的回歸。為便于對比，繪制了散點(diǎn)圖和線性回歸趨勢線?；貧wR2是對回歸模型的R2,總R2是包括自回歸誤差在內(nèi)的整體 模型的R2.現(xiàn)在還無自回歸誤差模型，故兩個R2相等。估計模型為：OLS： xt 8

24、.2308 0.5021t tVar（ t ） 6.32216 該模型較合理地接近真實值，但是誤差方差估計 6.32216遠(yuǎn)大于真實 值4。誤差方差估計值遠(yuǎn)大于真實值（通過對模型的殘差作自相關(guān)性 檢驗來判斷和識別），說明模型還有信息沒有提取。（三）檢驗?zāi)Ｐ偷淖韵嚓P(guān)系數(shù)在實際問題中， 需要檢驗自相關(guān)性是否存在， 以及存在幾階自相 關(guān)。 Durbin-Watson 檢驗是廣泛使用的自相關(guān)性的檢驗方法。選項 dw=4 和 dwprob 是要求過程進(jìn)行 1 到 4 階的 OLS 殘差中自相關(guān)性Durbin-Watson檢驗，并要求輸出Durbin-Watson統(tǒng)計量的邊緣顯著水 平p值。注意：對于季節(jié)

25、性時間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)性檢驗應(yīng)該至少檢驗與 季節(jié)性階一樣大的階。例如，對于月度數(shù)據(jù)至少應(yīng)取dw=12。代碼：proc autoreg data =ran dar;model x=t / dw=4 dwprob ;run ;運(yùn)行結(jié)果及說明：Durb in-Wats on 統(tǒng)計量順序 DW Pr < DW Pr > DW10.4752<.00011.000021.29350.01370.986332.06940.65450.345542.55440.98180.0182Note: Pr<DW is the p-value for testing positive autoc

26、orrelation, and Pr>DW is the p-value for testi ng n egative autocorrelati on.參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept1 8.23080.85599.62<.0001t1 0.50210.0403 12.45<.0001一階Durbin-Watson統(tǒng)計量為0.4752,其p值為<0.0001,極其顯 著，強(qiáng)烈拒絕一階自相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)。因此，自相關(guān)性的校正 是必須的。要注意的是，利用Durbin-Watson檢驗可決定是否需要做自相關(guān) 性校正。

27、但廣義的Durbin-Watson檢驗不應(yīng)該用于確定自回歸的階數(shù)。因為高階的檢驗是在無低階自相關(guān)性的原假設(shè)下進(jìn)行的。例如，若普通的Durbin-Watson檢驗表明無一階自相關(guān)性，那么可以用二階檢驗 去檢驗二階自相關(guān)性。一旦檢驗出某階有自相關(guān)性存在，那么更高階 的檢驗將不適用。這里由于1階自相關(guān)性檢驗是顯著的，所以 2、3、 4階的檢驗是被忽略的。(四) 自回歸誤差模型代碼:proc autoreg data =ran dar;model x=t / nlag =2 method =ml;outputout =poutp=xhatpm=tre ndhat;run ;procgplotdata

28、=pout;plot x*t= 1 xhat*t=2 tren dhat*t=3 / overlay ;symbol1v =star i=nonec=redh=2.5 ;symbol2v=plus i=joi nc=blueh=2.5 ;symbol3v = none i=joi nc=gree nw=2;title1'Auto-Regressio n'Jtitle2'nl ag=2 method=ml'Jrun ;運(yùn)行結(jié)果及說明:nlag=2選項，指定誤差為1階、2階自回歸模型，其另一種格式, 如nlag=(1 4 5),表示自回歸誤差模型為t 1 t 14

29、t 4t 5 t選項method二ml，指定回歸參數(shù)的估計采用精確最大似然估計，默認(rèn)為Yule-Walker估計。用output語句輸出預(yù)測值到pout數(shù)據(jù)集中，預(yù)測值有兩種類型: 第一類是部分模型預(yù)測值：僅通過模型的結(jié)構(gòu)部分得到，即由? ? ?t部分得到，這是響應(yīng)變量xt在時刻t的無條件均值估計, 用選項pm=trendhat將該預(yù)測值數(shù)據(jù)集pout的變量trendhat中；第二類，是整體模型預(yù)測值，既包含模型的結(jié)構(gòu)部分也包含自回歸誤差過程的預(yù)測值，即由？? ?t？t2整體模型得到,用選項p=xhat將該預(yù)測值輸出到數(shù)據(jù)集pout的變量xhat中。普通最小二乘法估計SSE214.953429

30、DFE34MSE6.32216均方根誤差2.51439SBC173.659101AIC170.492063MAE2.01903356AICC170.855699MAPE12.5270666HQC171.597444Durbi n-Watson0.4752回歸R方0.8200總R方0.8200參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept18.23080.85599.62<.0001t10.50210.0403 12.45<.0001自相關(guān)估計值滯后協(xié)方差相關(guān)05.97091.00000014.51690.75648522.02410.3389

31、95-198765432101234567891初步 MSE 1.7943自回歸參數(shù)的估計值滯后系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值自回歸參數(shù)的估計值滯后系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值1 -1.169057 0.148172 -7.892 0.545379 0.1481723.68算法收斂。最大似然估計SSE54.7493022DFE32MSE1.71092均方根誤差1.30802SBC133.476508AIC127.142432MAE0.98307236AICC128.432755MAPE6.45517689HQC129.353194對數(shù)似然-59.571216回歸R方0.7280Durbi n-Watson2.276

32、1總R方0.9542觀測36參數(shù)估計值變量自由度估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值近似Pr > |t|In tercept17.88331.16936.74<.0001t10.50960.05519.25<.0001AR11-1.24640.1385-9.00<.0001AR210.62830.13664.60<.0001指定所用的自回歸參數(shù)變量自由度估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差t值近似Pr > |t|In tercept17.88331.16786.75<.0001t10.50960.05519.26<.0001第一部分輸出普通最小二乘法回歸模型的回歸結(jié)果（與前文致），包

33、括診斷統(tǒng)計量和參數(shù)估計表，模型公式見前文。第二部分輸出自回歸誤差模型的輸出結(jié)果，首先是 Preliminary MSE = 1.7943 為最大似然估計迭代計算的初始 Yule-Walker 估計值。 然后給出了在原假設(shè)時間間隔為 1和 2的自相關(guān)系數(shù)為 0情況下， 1 階和2階自相關(guān)系數(shù)檢驗統(tǒng)計量、標(biāo)準(zhǔn)差和t值，t=-7.890和3.681(絕對值都很大)，拒絕 1階和 2 階自相關(guān)系數(shù)為 0的原假設(shè)。自回歸誤差模型的回歸結(jié)果也包括回歸統(tǒng)計量和參數(shù)估計表。 參 數(shù)估計表顯示了回歸系數(shù)的 ML 估計，比 OLS 輸出的參數(shù)估計表多 二個附加行，被標(biāo)記為AR(1)和AR(2),分別為自回歸誤差的

34、一階系 數(shù)和二階系數(shù)的估計值。估計模型為：xt 7.8833 0.5096t tt 1.2464 t 1 0.6283 t 2(*)Var( t ) 1.71092基于自回歸參數(shù)的估計值，重新計算了參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差和t值，如重新計算截距 7.8833的標(biāo)準(zhǔn)差為 1.1678而不是 1.1693.比較自回歸誤差模型和普通最小二乘法回歸模型，整體的 R2=0.9542>0.8200. 這反映了由于考慮了殘差作用而改進(jìn)了擬合模 型，將會使預(yù)測值更準(zhǔn)確。顯然，自回歸誤差模型部分的R2總是小于普通最小二乘法回歸模 型部分R2(0.7280<0.8200),這是因為在部分模型時，普通最小二 乘法

35、回歸已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)，它的部分模型R2與整體模型R2是相等的。自回歸誤差模型的信息準(zhǔn)則 SBC和AIC值都分別比OLS模型的要 小，如 133.476508<173.659101， 127.142432<170.492063，同樣說明 估計模型 (40.83)式比估計模型 (40.82)式要好。對于自回歸誤差模型的 MSE為1.71092,此值遠(yuǎn)小于真實值4,而對于OLS模型的MSE為6.32216,此值遠(yuǎn)大于真實值4,從MSE 值的大小對比中，也可以得出自回歸誤差模型較好。注意：在小樣本情況下，自回歸誤差模型傾向于低估免 而OLS模型傾向于高估*。最后，注意到自回歸誤差模型的 DW統(tǒng)

36、計量為2.2761，接近2, 殘差序列不相關(guān)，而 OLS模型的DW統(tǒng)計量為0.4752,接近0偏離 2,殘差序列正相關(guān)，同樣可以得出自回歸誤差模型已經(jīng)完全提取了 內(nèi)在規(guī)律的信息，只剩下純隨機(jī)波動。i on權(quán)二20TOX孔旳紅*為原始序列散點(diǎn)圖；藍(lán)色線+號為整體模型預(yù)測值；綠色線為部分模型預(yù)測值。注意，該綠色趨勢線模型為：AR(2) : xt 7.8833 0.5096t不同于前文的OLS模型趨勢線(五) 預(yù)測自回歸誤差模型代碼：data new;x=.；do t= 37 to 46; output ;end;run ;data randar37;merge randar new;by t;ru

37、n ;proc autoreg data =ran dar37;model x=t / nlag =2 method =ml;output out =poutp p=xhat pm=tre ndhatlcl =lcl ucl =ucl;run ;proc gplot data =poutp;plot x*t=1 xhat*t=2 tren dhat*t=3 lcl*t=3ucl*t=3/ overlayhref =36.5Jsymbol1v =star i=nonec=redh=2.5 ;symbol2v=plus i=joi nc=blueh=2.5 l =1;symbol3 v = none i =joinc=green w=2 ;title1'Auto-Regressio n:AR(2)'title2'predict estimati on'run ;運(yùn)行結(jié)果及說明：先產(chǎn)生10個等間隔的將來時間點(diǎn)，對應(yīng)的因變量 x值先設(shè)為缺 失值。再與原序列合并，作為數(shù)據(jù)集ran dar37。proc