高一數(shù)學(xué)等系數(shù)和線奔馳定理圓錐曲線

1、三角形“五心”的向量表示（二）旁心Z滿足-sin ALA+sin 8/了+sin CI .C = 0/Irl/Imi在月5。中，角月、仄。所對的邊分別為a、b、。，且2a二6七 0, 1分別為其外心和內(nèi)心, 求證：OILAI.證明AbOiAI(AI-AO=1 而+就就.而 (n + /，+ cn + 8 + c 八4+ + c0 + + c ) abcn +8+ c)=)-以 2 ABAB 21)cABAC+c2 AC-AC)- -) bABAO+cACAO)(。+ + 叩f 4 +。+ /71,2 J_2吐2+兒僅+片一標(biāo))_”C +”C(n + + c)2a + b + c_ bc(hc-

2、2a)2(a + + c)=0.因而原命題得證.習(xí)題1如圖，在嫉中，角A、B、0所對的邊分別為a、枚c,且D、上分別在邊？15、 月。上，且BD=CE=a, 0, Z分別為其外心和內(nèi)心，求證：01 IDE.習(xí)題21 i y- 如圖，0、G、1分別為三角形嫉的外心、重心、內(nèi)心，且月GJ_ 求證：1 + 1 = -.b c aBC圓錐曲線初步一、平行四邊形中的一些結(jié)論 在平行四邊形 3中，對角線的平方和為邊的平方和的兩倍，即 |AC|2 + |BD|2 = 2(|AB|2 + |AD|2)在此基礎(chǔ)上，得出中線長公式：在曲:中，BOa, AOb,冷c, W為5。的中點(diǎn)，則 有=同2 +匕乃一|a|2

3、三，b共起點(diǎn)。終點(diǎn)分別為月，&則向量三角形為/用由S = ；absinB得出向量三角形，平行四邊形面積公式： 憫bl康S 二 2二、硬解定理29設(shè)直線月6的方程為y=kx + m,與橢圓i ： 1 +京:1交于46兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓，可得(a2k2 + b2)x2 + 2kma2x + a2m2 - a2b2 = 0A = 4a2b2(a2k2 + b2 - m2) 0, El=o的距離為d=77,必使 弦長AB為則月仍的面積為SOB = 3AB卜 d 乙W、b點(diǎn)。到直線AB:kx - y+m當(dāng)且僅當(dāng)不行=1 京手，即+ b2 = 0)2時(shí)，取等號.三、仿射變換在求。位面積最大

4、值的問題中，若橢圓特殊為圓，那么S = psin e這$2,當(dāng)0A1_ 仍時(shí)等號成立.2-2那么對于橢圓工：十1=1，我們設(shè)X、= X,=,在新的坐標(biāo)系下得到x2 + y2 = a2 所以面積取到最大值時(shí)， 、， Ya YBkw. koB = - =- 1Xa Xb即3rAYB _ b2xaxb a2 也就是b2 koA 味=-f a-四、垂徑定理已知不過原點(diǎn)。的直線與橢圓捺+ = 1交于A, 6兩點(diǎn)，必為弦相的中點(diǎn)，則直線AB 與直線QV的斜率之積b2 % .卜情二- a-注一：當(dāng)&二6;r時(shí)，橢圓的垂徑定理描述的內(nèi)容即為圓的垂徑定理：注二：這里并不要求a8,也就是說此結(jié)論對焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)

5、在j，軸上的橢圓均適用；注三：雙曲線5 - 5 = 1的垂徑定理中的斜率之積b2 k&B * W or五、切線公式在任意二次曲線Ax2 + By? + Cx + Dy + F=0上一點(diǎn)P （如加處的切線方程為： xo + x yo + yAxqx + Byoy + C- + D + F = 0六、面積公式由有向線段oA%, Yi） OB（X2, 丫2）圍成的。奶的有向面積例題ai a2 、設(shè) A, a為3s, a； R ,且二1， 記 f (A,a二，小,a：)a： + aj + a/+ / + 233 +a2a4,求 f(&, 土，土, aJ 的最小值。i解 設(shè)m = (ai.aj，n =

6、(a3,a4)=f = ImT + |n|2 + in n 記cos 8 =而南,則Sa =摘苗in 6 =料同- cos =疆；：/4間=焉nf221MlM + m ncos 0sin 9sin 98阿波羅尼斯圓動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)J, y）到定點(diǎn)E（-c, 0）,三（, 0）的距離之比為，（c,4為正數(shù)），則尸點(diǎn)的軌 跡方程（1 - X2）x2 + （1 - X，2）y2 + 2c（l + X 2）x + （1 - A2）c2 = 0 討論：1 .當(dāng)入=1時(shí)，即x = 0,2點(diǎn)軌跡為直線3匹的中垂線）2 .當(dāng)入W 1時(shí)，判定軌跡為圓，即阿波羅尼斯圓進(jìn)一步，對于圓錐曲線有：動(dòng)點(diǎn)尸到動(dòng)點(diǎn)尸與定直線的距離之比

7、為定值 人 則動(dòng)點(diǎn)產(chǎn) 的軌跡是二次曲線.其中八即圓錐曲線的離心率快速判斷直徑，圓心的方法：過尸作內(nèi)外角平分線分別交直線E匹于T，D,則根據(jù)角平 分線性質(zhì)容易得到D為直徑.即：在后色上找到一對調(diào)和分比點(diǎn)7, （根據(jù)比例可以快速判斷），7P中點(diǎn)即圓心.另：角平分線性質(zhì)：IPF1I _ iTFilIPFN _ |PF2|WT = WTW = ITFJ例題一求滿足條件上2,需二也的放的面積的最大值。解品4眄I r=眄| （一 +X2X1 - 2 =IBCI2其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)通式|BC|己知兩定點(diǎn)月（-2,0）, 5（1,0）,如果動(dòng)點(diǎn)尸滿足PA =2 PB，求點(diǎn)尸的軌跡所包圍的面機(jī)習(xí)題2已知共面向量a,

8、b, c滿足a=3, 5+占2a,且占；=6c -若對于每個(gè)確定的向 量6，記b-ta （R）的最小值為&皿則當(dāng)b變化時(shí)，的最大值為托勒密定理平面上四邊形的四邊與對角線滿足關(guān)系：對角線的乘積不超過兩組對邊分別相乘乘積 之和，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)兩者相等.例題1已知月6。滿足A = y,（AB + AC” BC二葭點(diǎn)必在嫉外，且 32VC=2,則坳的取 值范圍是靜態(tài)觀察（解法一）易知月弘為等邊三角形，如圖，設(shè).序與，月慶aN；!,那么由左右兩圖分別應(yīng)用托勒密 定理可得tx W 3t,2t W tx + t由于兩側(cè)等號均能取得（如圖），又根據(jù)圖形連續(xù)變化，因此物的取值范圍是動(dòng)態(tài)探索（解法

9、二）如圖，先固定5 M使得必上2,然后讓。在半徑為1的圓必上運(yùn)動(dòng)，觀察月點(diǎn)的軌跡（暫 時(shí)忽略必在月6。外的條件）.由平而幾何知識容易得到4的軌跡是圓也繞點(diǎn)S旋轉(zhuǎn)60后得到的圓加 據(jù)此容易求得必的取值范圍是1,3（注意取得最值時(shí)也均在血外部）.例題2己知橢圓4 y2 = 1，尸在橢圓上，求尸點(diǎn)到G點(diǎn)（。，J的距離的最大值.解根據(jù)托勒密定理有PG2c2a GA當(dāng)且僅當(dāng)兄凡，G四點(diǎn)共圓時(shí)等號取得.易知等號可以取得.此時(shí)為垂直過戶的切 線1,且尸G平分NE軍，這里用到了一個(gè)二級結(jié)論：圓錐曲線上一點(diǎn)的切線為該點(diǎn)與焦點(diǎn)組成的焦點(diǎn)三角形的外角平分線.同時(shí)證明了取得最大值時(shí)，屆總在年，質(zhì)之間，也即構(gòu)成凸四邊形

10、，從而可以利 用托勒密定理.進(jìn)一步思考，當(dāng)離心率熄時(shí)，這種做法只適用于G點(diǎn)在短軸上時(shí)，（此 時(shí)防廷的外接圓與橢圓有交點(diǎn)）；若G在短軸所在直線上（不在短軸上），最大值為尸點(diǎn) 在遠(yuǎn)離G點(diǎn)的短軸端點(diǎn)時(shí)取到.更一般的表述：這種做法只適用于G點(diǎn)在短軸所在直線上時(shí)，（且此時(shí)成其的外接圓 與橢圓的另半部分有交點(diǎn)）：若G在短軸所在直線上（且此時(shí)笫乏的外接圓與橢圓另半部 分沒有交點(diǎn)），最大值為產(chǎn)點(diǎn)在遠(yuǎn)離G點(diǎn)的短軸端點(diǎn)時(shí)取到.其中“橢圓另半部分”是指, 當(dāng)G在x軸一側(cè)時(shí)，x軸另一側(cè)的橢圓曲線被稱為“橢圓另半部分”.其他情況，利用二 次函數(shù)最值求解.向量叉乘在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們接觸到向量的概念，并了解其性質(zhì)、

11、線性運(yùn)算、坐標(biāo)表 示、數(shù)量積以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步深化，引入向量的叉乘運(yùn)算, 能夠提升對向量的理解，方便問題的解決。1 .叉乘的定義要確定一個(gè)向量，需要知道它的模和方向。如圖1，對于給定的向量a和6,規(guī)定向量。=aXb,滿：足：/Hrj(1)模：c = a b sin(a b)/(2)方向：向量。的方向垂直于向量a和4且符合右 /手定則：用右手的食指表示向量&的方向，然后手指朝著手 l_心的方向擺動(dòng)角度。0,可到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。這里的。也就是a,b)。這樣的運(yùn)算就叫向量的叉乘，又叫外積、向量積。應(yīng)特別注意的是，不同于向量的數(shù) 量積，向量的叉

12、乘的結(jié)果仍是一個(gè)向量。給定叉乘的定義后，就可以利用高中數(shù)學(xué)知識推 導(dǎo)出一系列結(jié)論。2 .叉乘的性質(zhì)(1)顯然有aX&R(2)反交換律：和其他運(yùn)算不同，向量的叉乘滿足反交換律，即aX加-bXa，這 是因?yàn)橛沂侄▌t中手指一定是從乘號前的向量擺動(dòng)到乘號后的向量，如果將二者順序交 換，則一定要將手倒過來才能滿足OW 肛也就使得積向量反向。(3)易得對數(shù)乘的結(jié)合律，即(八d) X爐aX( 4公=43X6)(4)可以證明分配律：X c=aX EbX c或aX (c)=aX加aX c3 .叉乘的幾何意義如圖，在平面上取點(diǎn)0,作卜&，品=5=asin(a, b),由三角形面積公式S = Jab sin，可知a

13、Xb 表示以，如為相鄰兩邊的三角形的面積的兩倍，也就6M,仍為兩邊的平行四邊形的面積。即 aX b -2S/.oaSoabc4 .叉乘的坐標(biāo)表示將叉乘運(yùn)算引入坐標(biāo)系是探討叉乘運(yùn)算必不可少的一步，因?yàn)?如果能在空間直角坐標(biāo)系中引入叉乘的坐標(biāo)運(yùn)算，許多問題將會(huì)得 到極大簡化。要想得到叉乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，必須回到空間直角坐標(biāo)系的一 根基一一單位正交基底出發(fā)。給定一組單位正交基底 j. A,為滿足運(yùn)算要求，應(yīng)使上上A符合右手定則，即建立一個(gè)右手系，如圖。d “ 加- . X AC| 一 更一遛 d y宙-謁班2(3)求平面的法向量由于向量叉乘運(yùn)算尸aXb中。，且仁工小由立體幾何 知識可知，如果選取一個(gè)

14、平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，計(jì)算它 們的叉乘，那么其積向量就可以作為平面的法向量。正是由 于法向量在立體幾何中的廣泛應(yīng)用，這種方法也就可以大展 身手。【例3】月成。為邊長為4的正方形，“J_平而月比。，心2, E、尸分別是月。、月6的中 點(diǎn)，求點(diǎn)6到平面與防的距離?！痉治觥窟@是高中數(shù)學(xué)的常見問題。按照常規(guī)做法，應(yīng)利用數(shù)量積求出平而呼的法 向量，再利用點(diǎn)到平面距離公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平而G所 的法向量。下面列出兩種解法，以供比較?！窘夥?1】月(4, 4, 0), 5(0, 4, 0), (4, 0, 0), 5(4, 2, 0),尸(2, 4, 0), (7(0, 0, 2

15、)o設(shè)平而反防的一個(gè)法向量為方(x, y, z),則n tf-n , GF- (x, y, z) (- 2, 2, 0) = (x, y, z) (2, 4, - 2)=0令后1,則jG, z=33(1,1,3)：.d(3 用防)-【解法2】空間直角坐標(biāo)系的建立同解法L,%世(-2,2,0),卜志(2, 4, - 2)，平而說的法向量為品四匕聲（一 4, - 4, - 12）：.d 出 EFIn BF| 8 2班TT 二而二 TF6 .叉乘的物理意義正如向量的數(shù)量積對應(yīng)于物理學(xué)中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也與一些物理 模型有著密切的聯(lián)系，下而僅以通電直導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場中的受力（安培力）為例

16、作簡要說 明.如圖，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為6,方向水平向左的勻強(qiáng)磁場中，有一段長為的導(dǎo)線通有電 流強(qiáng)度為2的電流，導(dǎo)線與磁場成角0o由物理學(xué)規(guī)律可知F=BILsin 0o從數(shù)學(xué)的角度理解，雖然中學(xué)物理中電流強(qiáng)度？被定義為標(biāo)量，但由于電流有方向， 不妨把1理解為矢量工則F =B I Zsin（）0又耳垂直于5和所成的平面， 且符合物理學(xué)中的“左手定則”（類似于前面所提到的“右手定則”），故尸2（2X6）這樣，就將向量的叉乘與這個(gè)物理模型結(jié)合到了一起，再一次體現(xiàn)出數(shù)學(xué)和物理緊密 結(jié)合的特點(diǎn)，表現(xiàn)出科學(xué)世界的和諧與統(tǒng)一之美?？傊?，在高中數(shù)學(xué)所學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，引入向量的叉乘運(yùn)算，又一次拓展了同學(xué)們 的視野，

17、令人感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。巴普斯定理1、在一平而上取任一閉合區(qū)域，其面積為S,使它沿垂直于該區(qū)域的平而運(yùn)動(dòng)形成一個(gè) 體積為P的立體，那么這個(gè)立體圖形的體枳就等于質(zhì)心所經(jīng)路程r乘以區(qū)域面積。表達(dá)式 為S，2、若有某一長為的曲線段，使它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個(gè)而積S,那么 這個(gè)面積的大小就等于線段移動(dòng)的距離r乘以線段的長度。表達(dá)式為S-L -r.注：是質(zhì)心，而不是重心，求半圓而質(zhì)心，因?yàn)槌侵亓鍪蔷鶆虻?，否則同一物質(zhì)（系 統(tǒng)）的質(zhì)心與重心通常不在同一假想點(diǎn)上。用法1求半圓面質(zhì)心令半圓面繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)球體，假設(shè)半圓面的半徑為兄那么它的而積即為所得球體體積為4 3TR3y : 亍又設(shè)質(zhì)心離半圓面的圓心距離為乂則質(zhì)心旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)過的路程為二2 “X,由巴普斯定理 得V = SL所以4R，二技用法2求圓環(huán)體表面積圓心。距中心軸必的長度為斤，圓0半徑