1.2chapter向量與向量空間小結ppt課件

1、一、內(nèi)容小結一、內(nèi)容小結3. n維向量組維向量組 及相關概念及相關概念向量向量 代數(shù)代數(shù) 混合積混合積向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積向量的表示法向量的表示法向量的線性運算向量的線性運算向量的概念向量的概念2. 空間解空間解 析幾何析幾何 投影及公垂線投影及公垂線平面直線的關系平面直線的關系距離距離直線方程的轉化直線方程的轉化平面及方程平面及方程直線及方程直線及方程 Schimidt 正交化方法正交化方法向量空間向量空間向量組秩與極大無關組向量組秩與極大無關組向量組的線性相關性向量組的線性相關性一、內(nèi)容小結一、內(nèi)容小結向量的向量的線性運算線性運算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混

2、合積向量的積向量的積向量概念向量概念1. 向量代數(shù)向量代數(shù)(1)(1)向量的概念向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負向量、負向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、1) 加法：加法：cba (2)(2)向量的線性運算向量的線性運算dba ab2) 減法：減法：cba dba 3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：設設 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為 , 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0

3、 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標軸上的分向量：在三個坐標軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標表示式：向量的坐標表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,(3)(3)向量的表示法向量的表示法向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式,zzyyxxbabababa kbajbaibazzyyxx)()()( ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazz

4、yyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa )1coscoscos(222 )cos,cos,cos(0 a(4)(4)數(shù)量積點積、內(nèi)積）數(shù)量積點積、內(nèi)積） cos|baba 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角 zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾

5、角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式.PrPr jj (5)(5)向量積叉積、外積）向量積叉積、外積） sin|bac 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合右手系，指向符合右手系. 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ., 面積面積為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的為以為以 )(cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa (6)(6)混合積混合積., , )( 積積為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體向向量量它它的的絕絕對對值值表表示示

6、以以是是一一個個數(shù)數(shù)混混合合積積 . 0)(, 共共面面2. 空間解析幾何空間解析幾何平面平面點法式方程點法式方程一般方程一般方程三點方程三點方程截距式方程截距式方程平面束方程平面束方程直線直線一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程兩點方程兩點方程對稱式方程對稱式方程(1) 直線及其方程直線及其方程pzznyymxx000: 對對稱稱式式方方程程)( :000為為參參數(shù)數(shù)參參數(shù)數(shù)方方程程tptzzntyymtxx 121121121:zzzzyyyyxxxx 兩點方程兩點方程 00:22221111DzCyBxADzCyBxA一一般般方方程程(2) 平面及其方程平面及其方程0)()()(:000 z

7、zCyyBxxA點點法法式式方方程程0: DCzByAx一一般般方方程程1: czbyax截截距距式式方方程程0 :131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三點方程三點方程0)(:00:2222111122221111 DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxAL 的平面束方程的平面束方程過直線過直線(3) 化空間直線的一般方程為標準方程化空間直線的一般方程為標準方程 00:22221111 DzCyBxADzCyBxAL),(0000zyxML上上取取一一定定點點在在21 s方方向向向向量量),(222111pnmCBACBAkji 由對稱式方程可得

8、所求由對稱式方程可得所求.(4) 間隔間隔:0:),(0000的的距距離離到到點點 DCzByAxzyxP .222000CBADCzByAxd :0021間的距離間的距離與與兩平行平面兩平行平面 DCzByAxDCzByAx.22212CBADDd :),(1110000的的距距離離到到點點pzznyymxxzyxM 01MMd),(pnm ),(1111zyxM, : 1111111pzznyymxxL 兩異面直線兩異面直線: :2222222間的距離間的距離pzznyymxxL 2121PrMMjd 212121)( MM.222111121212222111pnmpnmkjizyyxx

9、pnmpnm (5) 平面及直線間的位置關系平面及直線間的位置關系平面與平面平面與平面: , 0:11111 DzCyBxA , 0:22222 DzCyBxA 2222222121212121212121|cosCBACBACCBBAA 21 ;0212121 CCBBAA.212121CCBBAA 21/ 直線與直線直線與直線: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 21LL , 0212121 ppnnmm,212121ppnnmm 21/ LL共面共面與與21L

10、L0222111121212 pnmpnmzzyyxx平面與直線平面與直線: ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx 222222|sinpnmCBACpBnAm L.pCnBmA . 0 CpBnAm /L0, 0000 DCzByAxCpBnAmL且且 知知與與L, 求交點求交點:,000 ptzzntyymtxx令令,0tDCzByAx得得代入代入 從而可得交點從而可得交點.(6) 投影及公垂線問題投影及公垂線問題點在直線或平面上的投影點在直線或平面上的投影. 點關于直線或平面的對稱點點關于直線或平面的對稱點. 直線在平面上的投影直線在平面上的投影. 兩異面直線的公垂線

11、兩異面直線的公垂線: ,:1111111pzznyymxxL ,:2222222pzznyymxxL ),(21pnm 0111111 pnmpnmzzyyxx0222222 pnmpnmzzyyxx3. n維向量組及相關概念維向量組及相關概念(1) 線性相關與線性無關線性相關與線性無關0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組則稱向量組則稱向量組 是線性相關的，否則稱它線性無關是線性相關的，否則稱它線性無關A結論結論1.1,)1(,2121個個向向量量線線性性表表示示余余至至少少有有一一個個向向量量可可由由其其中中線線

12、性性相相關關 mmmm 結論結論2., ,212121唯唯一一線線性性表表示示能能由由則則線線性性相相關關而而線線性性無無關關設設mmm 結論結論3 .,12121也也線線性性相相關關則則線線性性相相關關若若mrrr 結論結論4. 一個向量線性相關一個向量線性相關. 結論結論5. 兩個向量線性相關兩個向量線性相關對應分量成比例對應分量成比例. 結論結論6. 含有零向量的向量組線性相關含有零向量的向量組線性相關. 結論結論7. , ,:,:2121srABABAsr 則則組組線線性性無無關關且且組組線線性性表表示示組組能能由由如如果果和和設設有有向向量量組組 結論結論8. ., ,:,:2121

13、線線性性相相關關則則向向量量組組且且組組線線性性表表示示組組能能由由如如果果和和設設有有向向量量組組AsrBABAsr 結論結論9. 等價的線性無關向量組含有相同個數(shù)的向量等價的線性無關向量組含有相同個數(shù)的向量.結論結論10. nk個個n維向量必線性相關維向量必線性相關.(2) 向量組的秩與極大無關組向量組的秩與極大無關組 定義定義., ,)2( ,)1( ,21212121的的一一個個最最大大無無關關組組是是則則稱稱線線性性相相關關總總有有線線性性無無關關如如果果滿滿足足個個向向量量中中是是維維向向量量組組成成的的向向量量組組是是設設TTrTnTrrrr 結論結論1. 最大線性無關組不唯一最

14、大線性無關組不唯一. 結論結論2. 向量組與任一個最大線性無關組等價向量組與任一個最大線性無關組等價. 結論結論3. 向量組的任兩個最大線性無關組等價向量組的任兩個最大線性無關組等價. 結論結論4. 一個向量組中一個向量組中, 任意兩個最大無關組所含向量任意兩個最大無關組所含向量個數(shù)相同個數(shù)相同. 定義定義 向量組向量組T 中最大線性無關組所含向量的個數(shù)叫做中最大線性無關組所含向量的個數(shù)叫做向量組向量組T 的秩的秩. 記為記為rank(T).(3) 向量空間向量空間 定義定義 設設 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就

15、稱對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合集合 為向量空間為向量空間nVVVV(4) Schimidt正交化方法正交化方法11 1112122),(),( 222321113133),(),(),(),( 11111111),(),(),(),( rrrrrrrr 二、題型及方法二、題型及方法1. 向量的運算及應用向量的運算及應用2. 求空間直線方程求空間直線方程3. 求平面方程求平面方程4. 求距離求距離5. 求投影求投影6. 討論向量組的線性相關與線性無關討論向量組的線性相關與線性無關7. 求向量組的秩與極大無關組求向量組的秩與極大無關組8. 將線性無關向量組正交化單位化將線性無關向量組正

16、交化單位化1. 向量的運算及應用向量的運算及應用.,423| ),2, 2 , 1(),6 , 3, 2( . 1 PCAPBPCPCPBPAex求向量求向量平分平分且且已知向量已知向量Solution.,|的的平平分分線線上上一一定定在在APBPBPBPAPA |PBPBPAPAkPC從而可設從而可設)0( )4 , 5 , 1(21 kk,63423| kPC可可求求得得再再由由).12,15, 3( PC., , 2 . 2求求該該向向量量的的兩兩倍倍軸軸正正向向的的夾夾角角則則是是它它們們與與角角軸軸的的正正方方向向成成等等軸軸和和且且與與已已知知一一向向量量的的模模為為zyxexSo

17、lution.可設其單位向量為可設其單位向量為),2cos,cos,(cos , 12coscoscos222 則則, 02cos2cos2 即即.24: 或或解得解得得其單位向量為得其單位向量為:),0 ,22,22().1, 0 , 0( 或或故所求向量為故所求向量為:),0 , 2, 2().2, 0 , 0( 或或., 0 , . 3cacbbacbacbaex 計計算算適適合合等等式式已已知知單單位位向向量量Solution., 0)( 2 cba, 0)(2222 cacbbacba0)(23 cacbba.23 cacbba. | | . 4babaex 利用向量積證明利用向量積

18、證明Solution.ba 2)(ba baba 222 cos222baba baba 2222)(ba .ba ., 2| , 1|,2 . 5bababaBbaAex 且且其其中中設設 . 6,)2(.,)1(積積為為為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形面面與與使使得得的的值值試試確確定定使使得得的的值值試試確確定定BABA Solution., 0 , )1( BABA則則要要使使)()2(babaBA )(2(222baba 42 . 2 )()2()2(babaBA )()(2abba )(2(ba ba )2( )2(2 6 . 51 或或.)(5( ,)4(,Pr)3(),2(

19、)2)(2(),cos()1(:),2 , 1 , 1(),2, 2 , 1(),5 , 1, 3( . 6的的方方向向余余弦弦求求已已知知 jexSolution. ),cos()1(,6356 ),12, 4, 5(2)2( ),8 , 0 , 7(2 8071245)2()2( kji ),28,44,32( , 3Pr)3( j),5 , 1, 3(351)4( )7 ,11, 8(221513)5( kji 164912164 ,168cos ,1611cos .167cos Solution.設設向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos22

20、2 .21cos ,21cos ,22cos .),3 , 0 , 1(,43, 2,. 7212121的的坐坐標標求求的的坐坐標標為為如如果果和和分分別別為為軸軸的的夾夾角角軸軸和和它它與與已已知知設設有有向向量量PPyxPPPPex .32,3 設設2P的坐標為的坐標為),(zyx, 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標標為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 .,10)7, 2 , 1( ),3 , 2, 1(),1 , 3, 2( . 8 求求且且滿滿足足

21、垂垂直直于于已已知知 exMethod1. ),(則有則有設設zyx 032 zyx032 zyx1072 zyx解得解得(x,y,z)即為所求即為所求.Method2.:平行的向量為平行的向量為與與 )1, 5, 7(321132 kji )1 , 5 , 7( 從從而而可可設設得得由由10)7, 2 , 1( ,10107107)7, 2, 1( , 1 ).1 , 5 , 7( 2. 求空間直線方程與平面方程求空間直線方程與平面方程 .)1, 1 , 1(010: . 9的平面方程的平面方程和點和點求過求過 MzyxzyxLexSolution. 可設平面方程為可設平面方程為 0)1(

22、zyxzyx 0)1()1()1( zyx即即,23)1, 1 , 1( 代入得代入得將將. 015為為所所求求 zyx. , 0 ),1, 1 , 0()1 , 1 , 1(.1021求求其其方方程程且且垂垂直直于于和和過過點點設設平平面面 zyxMMex Solution.),1 , 1 , 1(),2, 0 , 1(121 MM)1 , 1 , 2(201111 211 kjiMM 由點法式得，由點法式得，0)1()1()1(2 zyx. 02 zyx即即也可用一般式方程來解也可用一般式方程來解. .,001)1 , 1, 1(, 0 .11求求此此平平面面方方程程的的垂垂線線到到直直線

23、線并并且且通通過過從從點點設設一一平平面面垂垂直直于于平平面面 xzyzexSolution.),1, 1, 0(001110 kji已已知知直直線線的的方方向向向向量量為為, 0)1()1()1(0)1 , 1, 1( zyx方方程程為為與與已已知知直直線線垂垂直直的的平平面面過過. 0 zy即即).21,21, 0( 從而得垂足為從而得垂足為Method1., 0 DCzByAx設設平平面面方方程程為為, 0 z由于該平面垂直于平面由于該平面垂直于平面. 0 C, 0 DByAx故故平平面面方方程程為為.,)21,21, 0()1 , 1, 1(可可得得所所求求在在平平面面上上與與由由 M

24、ethod2.所求平面的法向量為所求平面的法向量為),0 , 1 ,21(21211100 kjin, 0)1()1(21 yx故所求平面方程為故所求平面方程為. 012 yx即即 .010430142202)4 , 0 , 1( .12平平行行的的直直線線方方程程平平面面垂垂直直且且與與與與求求過過點點 zyxzyxzyxexSolution.),0 , 3, 6(221121 kji已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為),5 , 2 , 1(3143036 kjis所所求求直直線線的的方方向向向向量量為為故所求直線方程為故所求直線方程為:.54211 zyxex13 求求過過點點)3

25、, 1 , 2(M且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程. Method1.先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyxMethod2.,312 pznymx 設直線方程為設直

26、線方程為由于與已知直線垂直相交得由于與已知直線垂直相交得, 023pnm0123303 pnm npnm42.431122 zyx直直線線方方程程為為 . 054320432: .14垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程求求過過原原點點與與已已知知直直線線 zyxzyxLexSolution.),1, 1, 1( 0 M在在已已知知直直線線上上取取定定點點為為),1, 2 , 1(432321 kji已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為,:pznymx 設設所所求求直直線線方方程程為為 011112102pnmpnm則則.,即可即可解得解得pnm3. 求距離與投影求距離與投影 . 1671

27、6: ;142111: .1521的的方方程程它它們們的的公公垂垂線線之之間間的的距距離離和和求求兩兩直直線線LzyxLzyxLex Solution.),1 , 2 , 1(1 ),4 ,11, 0(1 M),1 , 6, 1(2 ),0 , 7, 6(2 M)8, 0 , 8(16112121 kji 212121)( MMd. 2512880)8, 0 , 8(1611214186 公垂線方程為公垂線方程為: 0121808411zyx016180876 zyx.0113307 zyxzyx. 042362:)5 , 7 , 3( .16的的坐坐標標的的對對稱稱點點關關于于平平面面求求P

28、zyxPex Solution.:)5 , 7 , 3(垂垂直直的的直直線線方方程程為為與與平平面面過過 P356723 zyxt tztytx356723得得,74 t的的方方程程得得代代入入平平面面 ,QP在平面上的投影點坐標在平面上的投影點坐標從而點從而點).717,785,79(P 由由中中點點公公式式可可得得4. 討論向量組的線性相關與線性無關討論向量組的線性相關與線性無關 .2 ,2 ,)2( ;,)1( , .17232131133221321線線性性相相關關線線性性無無關關證證明明線線性性無無關關設設 exProof. 0)()()( )1(133322211 xxx設設 0)()()( 323212131 xxxxxx即即 ,321線線性性無無關關 則則 031