球的體積和表面積(附答案)

1、球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān) 的組合體的計(jì)算問題.尹知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式41,球的體積公式|/=可""(其中k為球的半徑).2.球的表面積公式S=4天長思考球有底面嗎球面能展開成平面圖形嗎答球沒有底面，球的表面不能展開成平面.知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)L球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都 是圓.2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題的主要途徑.聲題型探究重點(diǎn)突破題型一球的表面積和體積例1 (

2、1)已知球的表面積為64又，求它的體積；(2)已知球的體積為呼兀，求它的表面積.解(1)設(shè)球的半徑為此 則4n * = 64n,解得 44,449Rfi所以球的體積=三開'=芋兀. JJJ4R00設(shè)球的半徑為凡則；"=寸兀，解得夕=5, JJ所以球的表面積S=4 n外=4 n X5"=100 n .跟蹤訓(xùn)練1 一個(gè)球的表面積是16兀，則它的體積是（） n n答案D4 解析 設(shè)球的半徑為此則由題意可知4兀*=16“，故42.所以球的半徑為2,體積V=-題型二球的截面問題 例2平面。截球。的球面所得圓的半徑為L球心。到平面。的蹌寓為事,則此球的體 積為（） n n n

3、jt答案B解析 如圖，設(shè)截面圓的圓心為0',.V為截面圓上任一點(diǎn)，則矽=小，O' M=.：./7 小-+1 =4.即球的半徑為兀（嫄）=43 n.J 跟蹤訓(xùn)練2已知長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為,，小，亞，則它的外接球表面積為 一.答案9兀 解析 如圖，是過長方體的一條體對(duì)角線/伊的截面，設(shè)長方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為x, y, z,則由已知，（燈=/， 必=相11 o所以球的半徑e=3傷=代7萬不所以S戲=4 n。= 9 n.題型三球的組合體與三視圖 例3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積.正視圖仰視圖蒯覘圖解 由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為2的

4、正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體 的表面積為S=1x4 n X12+6X22- n Xl2=24+ n.該幾何體的體積為3.1432 HK=2 +-X-n Xl3=8+ / JJ跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三 個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.解設(shè)正方體的棱長為a正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖(1)所示,則有2八=a,即所以S=4北尤=霏，.球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面, 如圖(2)所不，則2n即r2=a, 所以 $=4 n

5、 /=2 n a.正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面,6 如圖（3）所不，則有2r即人=9 a,所以 S = 4 n / = 3 n a.綜上可得S : £ : S=1 ： 2 ： 3.解題技巧軸截面的應(yīng)用例4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r的鐵 球，并注入水，使水面沒過鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.分析分別表示出取出鐵球前后水的體積一由水的體積不變建立等式一求出所求量.解如圖，。是球的最大截面，它內(nèi)切于/1比；球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在 J的處，MV與69交于點(diǎn)E則"7=r, .仞

6、AB=AC=BC=2鄧r.09= 3?:由圖形知的婚s：/因做 J疹.司：（；又 A0 C*=CE ： CO.又地（力=（小 r） 3r=3 n r o4Vst «= V值地 V珠戶=3 n i'一5 n / = J24r ： 3"r=第：（3r）3, ACE=球從容器中取出后，水的深度為料r聲當(dāng)堂檢測自查自糾1 .直徑為6的球的表面積和體積分別是（）n t 144 nn , 36 nn f 36 nn , 144 n2 .若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于（）3 .兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是4 .若球的半徑由力增加為2兄則這個(gè)

7、球的體積變?yōu)樵瓉淼囊槐?，表面積變?yōu)樵瓉淼囊槐?5 .某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為 .H2*| H2H正視圖 側(cè)視圖俯視圖課時(shí)精練一、選擇題1 .設(shè)正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是（）Ajin n2 .一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為（）3 .兩個(gè)球的半徑之比為1 ： 3,那么兩個(gè)球的表面積之比為（）：9： 27： 3： 14 .設(shè)正方體的表面積為24 cm2, 一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是（）n cm* n cm' n cm'n cm'5 .若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為小兄則球的表面積為（） n (r

8、+Q2 n Rr6 .已知底面邊長為1,側(cè)棱長為鏡的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為 （）7 .如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm,將一個(gè) 球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm, 如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為（）3 cm3 cmcm!3 cm二、填空題& 一個(gè)幾何體的三視圖（單位：m）如圖所示，則該幾何體的體積為俯視圖9 n9 .已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若球的體積為虧，則正方體的棱長為一.10 .正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積是11 .圓柱形容器內(nèi)盛有高度為

9、8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱 的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是三、解答題12 .如圖所示，半徑為k的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑.仍所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.（其中乙朋430° ）a一13 .一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972兀的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求:(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)堂檢測答案1 .答案B4解析 球的半徑為3,表面積S=4兀- 32= 36 n ,體積K=-n -3:,=36n.J2 .答案D4 解析設(shè)球的半徑為億則4nr=3jr"，所以余=3.3

10、.答案版4 4解析設(shè)大球的半徑為凡則有不兀"=2乂耳兀Xl: oJ*=2,:.R=04.答案8 44 解析 球的半徑為2時(shí)，球的體積為匕=不冗川，表面積為S=4n下，半徑增加為2分后，球<5432的體積為K=-n (2外=亍天上 表面積為S=4n (2獷=16川. JC5即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.5 .答案3 H解析 由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面積的和，即;X4兀+開=3兀. 乙課時(shí)精練一、選擇題1 .答案C解析由題意可知，63=24,，a=2.設(shè)正方體外接球的半徑為凡則小a=2R, 哼0，1=4幾1=4、/

11、67;兀.2 .答案A解析球的半徑為1,且正方體內(nèi)接于球，J球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長為2.不妨設(shè)正方體的棱長為a,則有43a =4,即=亍 O4，正方體的表面積為6a2=6X-=8.3 .答案A解析 由表面積公式知，兩球的表面積之比為點(diǎn) ：&=1 ： 9.4 .答案D解析 由正方體的表面積為24 cmM得正方體的棱長為2 cm,故這個(gè)球的直徑為2cm,故這4個(gè)球的體積為3兀cm5 .答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為為，則在RtZa應(yīng)中，DE=2r,Q一馬)CE= R r,a=/?+r.由勾股定理得 4"=0?+r)2-("r)2,解得為 (&

12、#39;、/=平2故球的表面積為S域=4 "=4兀生卜 7°方法二 如圖，設(shè)球心為。球的半徑為n,連接物，如，則在Rt4/1如一 FC 中，在是斜邊加上的高.由相似三角形的性質(zhì)得O/=BF AF=Rr,即六=秒,故=不入 故球的表面積為S天=4兀必：6 .答案D解析.正四棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為鏡，.正四棱柱的體對(duì)角線的長為 41 + 1+ 事2=2.又.正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上,.正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的 一條直徑，.球的半徑41.4 4故球的體積為K=-nJ o7 .答案A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個(gè)截面，則,K=86=2(cm)

13、, 8仁;/18=；X8=4(cm),設(shè)球的半徑為# cm,則 =*+J后=(-2)2+4、43 500 n , 3、V 地=3冗 X53=r-(cmJ).二、填空題 8 .答案 9n+18 解析 將三視圖還原為實(shí)物圖后求解.由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為5；上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1,427所以 K=-n XX2+lX3X6=9n+18. o o9.答案事解析 先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長.設(shè)正方體棱長為a 球半徑為R,493則qJT 1=b，:R=； ：.y3a=39 :a=©JzzO110 .答案yn 解析 由已知條件可知，

14、球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為憶球心為0,正四棱錐底面中心為£,則施=14一川，所以（4一例,+（、尸=人 解得 所以球的表面1L答案4解析 設(shè)球的半徑為八則圓柱形容器的高為6八容積為n?X6/-=6n/,高度4為8 cm的水的體積為8兀產(chǎn)3個(gè)球的體積和為3X-n?=4n/由題意得6兀不 8 n r=4 n/，解得尸=4(cm).三、解答題12 .解如圖所示,過c作col/于a.在半圓中可得/8。=90° , ZBAC=30° , AB=2R.:"C=4, BC=R, 。4=與億，S#=4n",S*q*! = n X專RX詬R,ca/3a/3品鍵畋例="X+"X依=勺jt *, = 5ig + S0811soi倒故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為呼但I(xiàn)T 川.乙13.解（1）如圖作軸截面，則等腰三角形。8內(nèi)接于。0,。內(nèi)切于宏4設(shè)。的半徑為凡由題意，得可兀4=972”， 所以"=729,尸=9,所以 "=18.已知