1.2.向量的內(nèi)積ppt課件

1、定義定義1 1維向量維向量設(shè)有設(shè)有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx內(nèi)積內(nèi)積說明說明1 維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義 4 nn ., :, 2 yxyxyxT 為為內(nèi)積可用矩陣記號表示內(nèi)積可用矩陣記號表示向量向量都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種運算內(nèi)積是向量的一種運算內(nèi)積的運算性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì) :,為為實實數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx .

2、 0,0, 0,)4( xxxxx時時有有且且當(dāng)當(dāng)定義定義2 2 非非負(fù)負(fù)性性. 1齊齊次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng);xx .yxyx 維維向向量量間間的的夾夾角角單單位位向向量量及及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的的夾夾角角與與求求向向量量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 為為稱稱時時當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 時時

3、當(dāng)當(dāng). 的的與與維維向向量量稱稱為為yxn夾角夾角 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交正交., 0,與與任任何何向向量量都都正正交交則則若若由由定定義義知知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組, 0021111 T由由.01 從從而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21線線性性無無關(guān)關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線線性性無無關(guān)關(guān)

4、. ., , , ,則則非非零零向向量量, ,是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若定定理理rrn 2121 1例例1 1 已知三維向量空間中兩個向量已知三維向量空間中兩個向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個正交構(gòu)成三維空間的一個正交基基.3 321 , 向量空間的正交基向量空間的正交基., 212121的正交基的正交基向量空間向量空間是是則稱則稱組組是兩兩正交的非零向量是兩兩正交的非零向量且且的一個基的一個基是向量空間是向量空間若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則有則

5、有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的一個正交基構(gòu)成三維空間的一個正交基.321 ,則有則有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設(shè)設(shè) Txxx 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 3212121 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基是是則稱則稱向量向量兩兩正交且都是單位兩兩正交且都是單位如果如果的一個基的一個基是向量空間是向量空間維向量維向量設(shè)設(shè)定義定義VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,002121

6、4321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基也為也為R（1正交化，取正交化，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法稱稱為為這這樣樣一一個個問問題題價價等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的

7、一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化這個基規(guī)這個基規(guī)把把r 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價價與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb（2單位化，取單位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0

8、 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先正交化，先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化，再單

9、位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量規(guī)范正交化量規(guī)范正交化特正交化過程把這組向特正交化過程把這組向試用施密試用施密設(shè)設(shè) aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它們單位化，取再把它們單位化，取bbe111 ,121

10、61 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eeea1a3a2幾何解釋幾何解釋b1;11ab ,12121111221221bbbabbbbacbac 即即上上的的投投影影向向量量在在為為;222cab c2b2,2133平面上的投影向量平面上的投影向量的的在平行于在平行于為為bbacc3,2223121332313323121332121bbbabbbacccccbbacbb 即即之和之和及及向量向量上的投影上的投影分別在分別在等于等于故故由于由于c31c32.333cab b3例例.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非

11、零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a證明證明EAAT E 定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱稱則則即即滿滿足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 為正交矩陣

12、的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的長度不變證明證明,為正交變換為正交變換設(shè)設(shè)Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 則則有有例例 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣 ,1213121121312111 .9794949491989498912 定義定義5 5 假設(shè)假設(shè) 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 稱為

13、正稱為正交變換交變換Pxy P解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，考察矩陣的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 9794949491989498912例例.2121000021212121212121212121是正交矩陣是正交矩陣驗證矩陣驗證矩陣 P解解., 是是正正交交矩矩陣陣所所以以且且兩兩兩兩正正交交向向量量的的每每個個列列向向量量都都是是單單位位PP1 1將一組基規(guī)范正交化的方法：將一組基規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單單位位向向量量的的列列向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A .4單單位位向向量量的的行行向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為