連續(xù)型隨機變量及其分布

1、一、連續(xù)型隨機變量二、幾種常見的連續(xù)型隨機變量 2.3 2.3 連續(xù)型隨機變量的概念密度連續(xù)型隨機變量的概念密度上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、連續(xù)型隨機變量 定義定義1 1 對于隨機變量X如果存在非負可積函數(shù)f(x)，使對于任意實數(shù)x有 F(x)= (1)xdttf)(則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱函數(shù)f(x)為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度。 注注:1) :1) 由(1)式,在f(x)的連續(xù)點x上有 F(x)=f(x) (2) 2) Px1Xx2 =F(x2)-F(x1)3()( ,)(2121xxdxxfxx 3) 3) 當f(x)在x=x0連續(xù)時,利用定積分的性質(zhì)知:000

2、022()(4)limxxxP xXxf xx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁概率密度具有以下兩個性質(zhì)：1) f(x)02)7(1)(dxxf(6)式的幾何意義:P(axb)0abxf(x)dxxfba)(4) 4) 對任意實數(shù)a,PX=a=0 (5)bXaPbXaPbXaPbXaP)6(,)(dxxfba上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁x0f(x)1)(dxxf (7)式的幾何意義:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系為x0f(x)xdttfxPxF)()()(xx)()()(xFxfxf的一切連續(xù)點有因此對于上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例1 1 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)求C的

3、值,PX1以及X的分布函數(shù).其他, 020),24()(2xxxcxf 解解:由密度函數(shù)的性質(zhì)2得dxxf)(1202)24(dxxxcc3883c102)2(431dxxxXP2131431032xx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 當x0時)(xPxFx時20 xxdttf)(時2x00)(tdtxPxFx)(xPxFx220200)2(430dtdtttdt)31(43)2(43032020 xxdtttdtxxdttf)(=1其他, 020),24(83)(2xxxxf上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 當x1,P0Xln2 解解(1)時0 xxdttfxF)()(xxtedte2121時0 xxdttfx

4、F)()(xxttedtedte2112121000,2110,21)(xexexFxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (2)0,2110,21)(xexexFxx121) 1 (11eFXP41)0()2(ln2ln0FFXP上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例3 3 設(shè)某種輪胎在損壞以前所能行駛的路程X(以萬公里計)是一個隨機變量，已知其概率密度為0, 00,101)(10 xxexfx今從中隨機地抽取5只輪胎,試求至少有2只輪胎所能行駛的路程數(shù)不足30萬公里的概率. 解解: :設(shè)一只輪胎運行不足30萬公里地概率為p,則 分析分析: :設(shè)一只輪胎運行不足30萬公里地概率為p,Y為行駛的路程數(shù)不足30萬公里

5、的輪胎數(shù).則YB(5, p).而目前未知,故由題意先求出p30)(30dxxfXPp9502. 01101330010edxex上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例3 3 設(shè)某種輪胎在損壞以前所能行駛的路程X(以萬公里計)是一個隨機變量，已知其概率密度為0, 00,101)(10 xxexfx今從中隨機地抽取5只輪胎,試求至少有2只輪胎所能行駛的路程數(shù)不足30萬公里的概率. 解解: :則 YB(5, 0.9502)4155005)0498. 0)(9502. 0()0498. 0()9502. 0(1CCP=0.99997上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、幾種常見的連續(xù)型隨機變量1 1 、均勻分布、均勻分布定

6、義定義2 2 如果隨機變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布。 例例4 4 設(shè)電阻值R是一個隨機變量,均勻分布在900歐1100歐,求R的概率密度及R落在950歐1050歐的概率。)8(, 0,1)(babxaabxf其他解解: :R的密度: 其他, 01100900,2001)(xxfP9500)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯分布，記為XN(，2)。21上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)和特點： 1) f(x)的圖形關(guān)于直線x=對稱，即f(-x)=f(+x)，從而有 P-xX=P10dxex10110101368. 01edxex2010101101233. 021ee(2)10X 20 例例1010 設(shè)某電話交換臺等待第一個呼叫來到的時間X(以分計)是隨機變量,服從參數(shù)為的指數(shù)分布， X的概率密度為,0, 00,1)(xxexfx設(shè)已知第一個呼叫在5分鐘到10分鐘之間來到的概率是0.25,試求第一個呼叫在20分鐘以后來到的概率.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解解: : 由題意得41105 XP411105dxex即41105ee即41)1 (55ee即215e得200120 xP Xedx則第一個呼叫在2 分鐘以后才來到的概率為1