正定矩陣及其應(yīng)用

1、同的合作 (控制 模式 , 考察了在不同模式下的定 價(jià)策略和收益變動(dòng) , 同時(shí)針對(duì)不同的模式優(yōu)勢(shì)展開 了分析 。 傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈只注重對(duì)銷售渠道的分析 , 而忽略了外在屬性和不同的所有權(quán)模式對(duì)供應(yīng)鏈 的影響 , 維修服務(wù)的引入 , 對(duì)提升供應(yīng)鏈的績(jī)效和 提高產(chǎn)品的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力 , 均具有舉足輕重的作用 。Study on the Pr i c i n g Issue of(s a les and serv i cesD ua l -channel Ba sed on the O wersh i pMa Dongmei Abstract Thr ough the p ricing issue of

2、(sales and services dual -channel study the ownershi p. It s considered all parties can get different syste m p lus under different o wnershi p mode, and then we study on how the supp ly chain me mbers t o discover the potential of channel devel opment thr ough effective contr ol strategy in allusi

3、on t o different market structures, different p r oduct m ix, and different elasticity of de mand . Keywords Cl osed -Loop Supp ly Chain; Repair; Service Operati ons; Ownershi p; Pricing第 10卷 第 5期2008年 10月遼 寧 省 交 通 高 等 專 科 學(xué) 校 學(xué) 報(bào)JOURNAL OF L I A ON I N G PROV I N C I A L COLLEGE OF COMMUN I CATI O

4、NSVol . 10No . 5Oct. 2008文章編號(hào) :1008-3812(2008 05-031-03正定矩陣及其應(yīng)用岳貴鑫(遼寧省交通高等專科學(xué)校 , 遼寧沈陽 110122 摘 要 本文給出了若干充要條件 ; 正定矩陣是一類特殊的矩陣 , 固然有它與其它矩陣不同的性質(zhì) , 所以給出了一些重要結(jié)論 ; 本文還介紹了正定矩陣在分析中的應(yīng)用 ; 最后 , 討論了正定矩陣與柯西不等式的關(guān)系 .關(guān)鍵詞 正定矩陣 充要條件 柯西不等式中圖分類號(hào) :O151. 2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :A1 引言代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)分支 , 而正定矩陣又是高等代數(shù)中的重中之重 . 特別是正定矩 陣部分的應(yīng)用很

5、廣泛 , 2 充要條件 。(1 正定矩陣的充要條件是 :A 的正慣性指數(shù) 等于 A 的維數(shù) n (證明略 。(2 A 是正定矩陣的充要條件是 :A 合同于單收稿日期 :2008-06-19位矩陣 E ( . :存在使 =T成立 。必要性 :若 A 是正定矩陣 , 則 A 合同于 E . 存在實(shí)可逆矩陣 C, 使 A =C TEC =C TC充分性 :若 A =C TC, C 是實(shí)可逆矩陣 , 對(duì) X 0, CX 0, 則A T AX =X T C T CX =(CX T(CX >0,所以 , A 是正定的 。(4 n 階實(shí)對(duì)稱陣 A 為正定的充要條件是 :n 個(gè)特征值全為正值 (證明略

6、。(5 A 是正定矩陣的充要條件是 :A 的所有順遼 寧 省 交 通 高 等 專 科 學(xué) 校 學(xué) 報(bào) 2008年序主子式大于零 (證明略 。(6 n 階實(shí)對(duì)稱陣 A 為正定的充要條件是 :存在滿秩陣 P, 使 P T AP 成對(duì)角線元素皆正的對(duì)角陣D (證明略 。(7 n 階實(shí)對(duì)稱陣 A 為正定的充要條件是 :存在對(duì)稱正定陣 B , 使 A =B2。證明 必要性 :存在正交陣 Q, 使A =Q Q T =QQ T =QQ T Q Q T =B 2其中記 B =Q Q T 以及 =diag (1,2, , n . (i (i =1, 2, n 為 A 的特征值 。充分性 :對(duì)任給 X 0, X

7、T AX =X T B 2X >0, (因?yàn)?B 正定 , 所以 A 正定 。(8 A 是正定矩陣的充要條件是 :存在非退化的上 (下 三角矩陣 Q, 使 A =QT Q 。證明矩陣的情況同理可證 。必要性 若 A (A , 則 A的任意 k , 有 am>0. 將 A的第 n , 分別加到第 1, 2 n -1列 上 , 再 施 同 樣 的 行 變 化 , 可 使 A 變 成 為A 1 0a的形式 . 即 :存在非退化的下三角矩陣T 1, 使T T 1AT 1=, A 10a ,再令 T2=diag (1, 1, , 1,nn , T T 2 T T 1AT 1T 2=A 1 0

8、 , A 正定 A1作為 A 的 n -1階順序主子 式 , 也是正定的 .對(duì) A1做同樣處理 , 最終可得到R T 2R T 1 T T 2T T 1AT 1T 2 R 1R 2=E n令 Q =T1T 2 T 1R 2 Q 是非退化的下三 角矩陣 , 且使 A =QT Q充分性是顯然的 .(9 A 是正定矩陣的充要條件是 :A -1是正定 矩陣 。證明 必要性 若 A 是正定的 , 則存在實(shí)可 逆矩陣 C 使 A =C T C 。 A -1=(C T C -1=C -1(C -1 T , C 可逆 , C -1也是實(shí)可逆矩陣 。 有 A -1也是正定矩陣 。充分性 若 A -1是正定 矩陣

9、 , 則 A -1=C -1 (C -1 T =(C T C -1。 A =(A -1 -1=(C T C -1 -1=C T C, A 是 正定的 。(10 A 是正定矩陣的充要條件是 :存在正交 向量組 1, 2, n , 使 A =12T +22T + A n n T 。證明 必要性 :A 是正定矩陣 , 因此存在正定矩陣 U , 使 A =U T diag (1, 2, , n U , U =(1,2, , n , 令i=i i (i =1, 2, i (i =1, 2, , n 11T +12i T + +n T:11iT +22T + +n n T =(T , 2T , , nT

10、123=U T U (U 為正交矩陣 , 顯然 A 是正定矩陣 。3 關(guān)于實(shí)對(duì)稱正定矩陣的一些重要結(jié)論對(duì)于實(shí)對(duì)稱正定矩陣除了上面的一些充要條 件用于判定一個(gè)矩陣是否為正定矩陣外 , 還有很多 重要結(jié)論 , 下面給出 。(1 若 A 是正定矩陣 , 則 A 3也是正定的 (其中 A 3表示 A 的伴隨矩陣 。證明 A 正定 , A -1正定 ; A 3= A A -1, ( A >0 , A 3也正定 。(2 若 A, B 都是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 , 且 B 是正定 矩陣 . 證明存在一 n 階實(shí)可逆矩陣 P 使 P T AP 與 P T BP 同時(shí)為對(duì)角形 。證明 B 是正定的 , 合同

11、于 E, 即存在可 逆陣 U 使 U T BU =E; 且 A 是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 , 則 (U T AU T =UT A T U , 存在正交矩陣 C 使 C T (U T AU C =diag (1, 2, , n , 則C T (U T BU C =C T EC =C T C =E,取 P =UC,則 P 為所求 .(3 若 A, B 都是 n 階正定矩陣 , 證明 A +B A + B 。證明 存在實(shí)可逆矩陣 P 使P T AP =diag (1, 2, n P T BP =diag (1, 2, n, 其中 i>0, i >0. 取行列式 P 2 A 第 5期岳貴鑫 :

12、正定矩陣及其應(yīng)用=1, 2, n , P 2B =1, 2 n 。 P T(A +B P =diag (1+1, 2+2, n +n , 兩邊取行列 : p 2 A +B =(2+2 (n +n (12 n +12 n = P 2 A + P 2 B , 即 A +B A + B .(4 若 A 是實(shí)對(duì)稱的正定矩陣 , 則存在 a >0, b >0, c >0, 使 aE +A , E +bA, cE -A 均是正定矩陣 。證明若 A 的特征值為 i , 1 i n, 則 aE +A的特征值為 a +i , 1 i n, 所以存在 a 使 aE +A的特征值大于零 , 其余同

13、理可證 。(5 已知 A 是 n 階正定矩陣 , 則 A k (k 是正整 數(shù) 也是正定矩陣 。證明A k與 A 的特征值有熟知的關(guān)系 , 故從特征值角度入手考慮 . 根據(jù) A 正定 , 即知其特征值1, , n 全正 , 由于 A k 1k, , n k, 也都為正 . 這就知 A i , 例 1若 階正定矩陣 , 則 A +2E >2n。證明法一 :A 與 2E 都是 n 階實(shí)對(duì)稱正定矩陣 , 因此存在一 n 階實(shí)可逆矩陣 P 使P T(A +2E P =diag (1+2, 2+2, , n +2 ,其中 i (i =1, 2, , n 為 A 的特征值且大于零 . 所 以 i +

14、2(i =1, 2, , n 為 A +2E 的特征值 , 也是 大于零的 . 所以 A +2E =(1+2 (2+2 (n +2 2n(用到第四個(gè)結(jié)論 。 法二 :因?yàn)?A 與 2E 都是 n 階實(shí)對(duì)稱正定矩陣 , 所以 A +2E A + 2E >2n(用到 了第五個(gè)結(jié)論 。(6 若 A 是 n 階實(shí)對(duì)稱正定矩陣 , 則必有 11>0, 22>0, , nn >0。證明根據(jù)定義 , 對(duì)一切 X 0皆有 X TAX >0, 故依次令 X =e -1, e n , 就有 (e 1 T Ae 1>0, 即 11>0(e n T Ae n >0, 即

15、 nn >04 正定矩陣與柯西不等式如果有一個(gè)正定的矩陣 , 我們通常可以設(shè)計(jì)出 一個(gè)柯西不等式 . 進(jìn)而我們就有必要知道正定矩陣與柯西不等式的關(guān)系 。(1 柯西不等式在中學(xué)里 , 我們就熟悉了如下的一個(gè)不等式 : x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n 12x 22+ +x n2y 12y 22+ +y n 2,(1這就是著名的柯西不等式 . 如果我們將不等式 (1 用內(nèi)積的形式來表示 , 則可將它改寫成 (, 。 (2 柯西不等式與正定矩陣的關(guān)系 如果有一個(gè)正定的矩陣 , 我們通?？梢栽O(shè)計(jì)出 一個(gè)柯西不等式 . 進(jìn)而我們就有必要知道正定矩陣 與柯西不等式的關(guān)系 .? 設(shè) A

16、=(a ij , =x 2n 與 =1, , y n , 定義i, j =1aiji y j (2(2 式定義的一定是 n 維向量間的 內(nèi)積 . 反之 , 對(duì)于 n 維向量間的任意一種內(nèi)積 , 一定存在一個(gè) n 階正定矩陣 A =(a ij , 使得對(duì)任何向量 和 , (, 可由 (2 式來定義 . 因此 , 給定了一 個(gè) n 階正定矩陣 , 在 n 維向量間就可由該矩陣定義 一個(gè)內(nèi)積 , 從而可得到相應(yīng)的柯西不等式 : ni, j =1aijx i y j nj =1aijx i x jnj =1aijy i y j .例 2 證明不等式 2(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3 -x

17、1y 2-x 2y 3-x 3y 1-x 3y 2 221+x 22+x 23-x 1x 2-x 2x 312+y 22y 23-y 1-y 2-y 2y 3,對(duì)所有實(shí)數(shù) x 1, x 2, x 3和 y 1, y 2, y 3均成立 .證明 從不等式來看 , 可知它相當(dāng)于 (, , 其中 (, 是由矩陣 A =2-10-12-0-12所定義的 . 但要證明 (, 是內(nèi) 積還需證明 A 是個(gè)正定矩陣 . 經(jīng)驗(yàn)證該矩陣為正定矩陣 . 從而可看出該不等式就是由 A 所確定的 內(nèi)積所產(chǎn)生的柯西不等式 , 因此不等式成立 。注意 :上述不等式可以推廣為 2 ni =1xiy j - n -1i =1(

18、x iy(i +1+x i +1y i 2ni =1xi2- n -1i =1x ixi+1n=1y2i- n -1i =1y iyi+1,(下轉(zhuǎn)第 59頁(yè) 第 5期 許光君等 :高職 工程機(jī)械概論 課程教學(xué)內(nèi)容整合與教改探討更大的發(fā)揮 ; 另一方面也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新人才 , 增 強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解 、 分析 、 創(chuàng)新 、 自學(xué)能力 ; 同時(shí) 也有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性 、 主動(dòng)性 , 從而全面 提高學(xué)生的綜合素質(zhì) 。通過 工程機(jī)械概論 從課程體系 、 內(nèi)容 、 教學(xué) 方法及教學(xué)手段等方面的教學(xué)改革實(shí)踐 , 反映出適 合高職高專非機(jī)械類專業(yè)的課程和教學(xué)新內(nèi)容改 革方向 ; 以理論知識(shí)和實(shí)踐技能密

19、切結(jié)合 , 培養(yǎng)出 既懂得道路與橋梁 , 又掌握工程機(jī)械施工技術(shù)的復(fù) 合型應(yīng)用性人才 , 從而更好地面向生產(chǎn)一線需要 。The Teach i n g Con ten t I n tegra ti on and Educa ti on Reforma ti on of the Course Con structi on M ach i n ery I n troducti on i n H ihgre Voca ti ona l CollegeXu Guangjun, L i Guanglin, Fu Q iang, L i Chenggong Abstract According t o t

20、he cultivati on target of nor -constructi on machinery in college, the courses Constructi on Machinery Structure, Constructi on and Man 2 age ment are integrated int o one course Constructi on I on of Road and B ridge Constructi on Technique . Fr om course systre m means, ne w course Con 2 structi o

21、n Machinery I ntr oducti on refor m s p . be obtained the characteristics of ap 2 p licati on, and the target of . Keywords on; Course; I ntegrati on; Practice(上接第 33頁(yè)其中 n >1是正整數(shù) , 而 x1, x 2, , x n , y 1, y 2, , y n 是任意實(shí)數(shù) .5 結(jié)束語學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)再創(chuàng)造的過程 . 本 文針對(duì)正定矩陣給出了更深的理解 , 希望讀者能按 照自己的認(rèn)識(shí)去理解 , 分析 .參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組 . 高等代數(shù) (第二版 . 北京 :高等教育出版社 , 1988:232 236.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析 (第二版 . 北京 :高等教育出 版社 , 1991:176 179.3姚慕生 . 高等代數(shù) . 上海 :復(fù)旦大學(xué)出版社 , 2002:230.4孟道驥 . 高等代數(shù)與解析幾何 (第二版 . 北京 :科學(xué)出版社 , 2004:370.5丘維聲 . 高等代數(shù) . 北京 :高等教育