正定矩陣及其應用

1、同的合作 (控制 模式 , 考察了在不同模式下的定 價策略和收益變動 , 同時針對不同的模式優(yōu)勢展開 了分析 。 傳統(tǒng)的供應鏈只注重對銷售渠道的分析 , 而忽略了外在屬性和不同的所有權模式對供應鏈 的影響 , 維修服務的引入 , 對提升供應鏈的績效和 提高產(chǎn)品的市場競爭力 , 均具有舉足輕重的作用 。Study on the Pr i c i n g Issue of(s a les and serv i cesD ua l -channel Ba sed on the O wersh i pMa Dongmei Abstract Thr ough the p ricing issue of

2、(sales and services dual -channel study the ownershi p. It s considered all parties can get different syste m p lus under different o wnershi p mode, and then we study on how the supp ly chain me mbers t o discover the potential of channel devel opment thr ough effective contr ol strategy in allusi

3、on t o different market structures, different p r oduct m ix, and different elasticity of de mand . Keywords Cl osed -Loop Supp ly Chain; Repair; Service Operati ons; Ownershi p; Pricing第 10卷 第 5期2008年 10月遼 寧 省 交 通 高 等 專 科 學 校 學 報JOURNAL OF L I A ON I N G PROV I N C I A L COLLEGE OF COMMUN I CATI O

4、NSVol . 10No . 5Oct. 2008文章編號 :1008-3812(2008 05-031-03正定矩陣及其應用岳貴鑫(遼寧省交通高等?？茖W校 , 遼寧沈陽 110122 摘 要 本文給出了若干充要條件 ; 正定矩陣是一類特殊的矩陣 , 固然有它與其它矩陣不同的性質(zhì) , 所以給出了一些重要結論 ; 本文還介紹了正定矩陣在分析中的應用 ; 最后 , 討論了正定矩陣與柯西不等式的關系 .關鍵詞 正定矩陣 充要條件 柯西不等式中圖分類號 :O151. 2 文獻標識碼 :A1 引言代數(shù)學是數(shù)學中的一個重要的基礎分支 , 而正定矩陣又是高等代數(shù)中的重中之重 . 特別是正定矩 陣部分的應用很

5、廣泛 , 2 充要條件 。(1 正定矩陣的充要條件是 :A 的正慣性指數(shù) 等于 A 的維數(shù) n (證明略 。(2 A 是正定矩陣的充要條件是 :A 合同于單收稿日期 :2008-06-19位矩陣 E ( . :存在使 =T成立 。必要性 :若 A 是正定矩陣 , 則 A 合同于 E . 存在實可逆矩陣 C, 使 A =C TEC =C TC充分性 :若 A =C TC, C 是實可逆矩陣 , 對 X 0, CX 0, 則A T AX =X T C T CX =(CX T(CX >0,所以 , A 是正定的 。(4 n 階實對稱陣 A 為正定的充要條件是 :n 個特征值全為正值 (證明略

6、。(5 A 是正定矩陣的充要條件是 :A 的所有順遼 寧 省 交 通 高 等 專 科 學 校 學 報 2008年序主子式大于零 (證明略 。(6 n 階實對稱陣 A 為正定的充要條件是 :存在滿秩陣 P, 使 P T AP 成對角線元素皆正的對角陣D (證明略 。(7 n 階實對稱陣 A 為正定的充要條件是 :存在對稱正定陣 B , 使 A =B2。證明 必要性 :存在正交陣 Q, 使A =Q Q T =QQ T =QQ T Q Q T =B 2其中記 B =Q Q T 以及 =diag (1,2, , n . (i (i =1, 2, n 為 A 的特征值 。充分性 :對任給 X 0, X

7、T AX =X T B 2X >0, (因為 B 正定 , 所以 A 正定 。(8 A 是正定矩陣的充要條件是 :存在非退化的上 (下 三角矩陣 Q, 使 A =QT Q 。證明矩陣的情況同理可證 。必要性 若 A (A , 則 A的任意 k , 有 am>0. 將 A的第 n , 分別加到第 1, 2 n -1列 上 , 再 施 同 樣 的 行 變 化 , 可 使 A 變 成 為A 1 0a的形式 . 即 :存在非退化的下三角矩陣T 1, 使T T 1AT 1=, A 10a ,再令 T2=diag (1, 1, , 1,nn , T T 2 T T 1AT 1T 2=A 1 0

8、 , A 正定 A1作為 A 的 n -1階順序主子 式 , 也是正定的 .對 A1做同樣處理 , 最終可得到R T 2R T 1 T T 2T T 1AT 1T 2 R 1R 2=E n令 Q =T1T 2 T 1R 2 Q 是非退化的下三 角矩陣 , 且使 A =QT Q充分性是顯然的 .(9 A 是正定矩陣的充要條件是 :A -1是正定 矩陣 。證明 必要性 若 A 是正定的 , 則存在實可 逆矩陣 C 使 A =C T C 。 A -1=(C T C -1=C -1(C -1 T , C 可逆 , C -1也是實可逆矩陣 。 有 A -1也是正定矩陣 。充分性 若 A -1是正定 矩陣

9、 , 則 A -1=C -1 (C -1 T =(C T C -1。 A =(A -1 -1=(C T C -1 -1=C T C, A 是 正定的 。(10 A 是正定矩陣的充要條件是 :存在正交 向量組 1, 2, n , 使 A =12T +22T + A n n T 。證明 必要性 :A 是正定矩陣 , 因此存在正定矩陣 U , 使 A =U T diag (1, 2, , n U , U =(1,2, , n , 令i=i i (i =1, 2, i (i =1, 2, , n 11T +12i T + +n T:11iT +22T + +n n T =(T , 2T , , nT

10、123=U T U (U 為正交矩陣 , 顯然 A 是正定矩陣 。3 關于實對稱正定矩陣的一些重要結論對于實對稱正定矩陣除了上面的一些充要條 件用于判定一個矩陣是否為正定矩陣外 , 還有很多 重要結論 , 下面給出 。(1 若 A 是正定矩陣 , 則 A 3也是正定的 (其中 A 3表示 A 的伴隨矩陣 。證明 A 正定 , A -1正定 ; A 3= A A -1, ( A >0 , A 3也正定 。(2 若 A, B 都是 n 階實對稱矩陣 , 且 B 是正定 矩陣 . 證明存在一 n 階實可逆矩陣 P 使 P T AP 與 P T BP 同時為對角形 。證明 B 是正定的 , 合同

11、于 E, 即存在可 逆陣 U 使 U T BU =E; 且 A 是 n 階實對稱矩陣 , 則 (U T AU T =UT A T U , 存在正交矩陣 C 使 C T (U T AU C =diag (1, 2, , n , 則C T (U T BU C =C T EC =C T C =E,取 P =UC,則 P 為所求 .(3 若 A, B 都是 n 階正定矩陣 , 證明 A +B A + B 。證明 存在實可逆矩陣 P 使P T AP =diag (1, 2, n P T BP =diag (1, 2, n, 其中 i>0, i >0. 取行列式 P 2 A 第 5期岳貴鑫 :

12、正定矩陣及其應用=1, 2, n , P 2B =1, 2 n 。 P T(A +B P =diag (1+1, 2+2, n +n , 兩邊取行列 : p 2 A +B =(2+2 (n +n (12 n +12 n = P 2 A + P 2 B , 即 A +B A + B .(4 若 A 是實對稱的正定矩陣 , 則存在 a >0, b >0, c >0, 使 aE +A , E +bA, cE -A 均是正定矩陣 。證明若 A 的特征值為 i , 1 i n, 則 aE +A的特征值為 a +i , 1 i n, 所以存在 a 使 aE +A的特征值大于零 , 其余同

13、理可證 。(5 已知 A 是 n 階正定矩陣 , 則 A k (k 是正整 數(shù) 也是正定矩陣 。證明A k與 A 的特征值有熟知的關系 , 故從特征值角度入手考慮 . 根據(jù) A 正定 , 即知其特征值1, , n 全正 , 由于 A k 1k, , n k, 也都為正 . 這就知 A i , 例 1若 階正定矩陣 , 則 A +2E >2n。證明法一 :A 與 2E 都是 n 階實對稱正定矩陣 , 因此存在一 n 階實可逆矩陣 P 使P T(A +2E P =diag (1+2, 2+2, , n +2 ,其中 i (i =1, 2, , n 為 A 的特征值且大于零 . 所 以 i +

14、2(i =1, 2, , n 為 A +2E 的特征值 , 也是 大于零的 . 所以 A +2E =(1+2 (2+2 (n +2 2n(用到第四個結論 。 法二 :因為 A 與 2E 都是 n 階實對稱正定矩陣 , 所以 A +2E A + 2E >2n(用到 了第五個結論 。(6 若 A 是 n 階實對稱正定矩陣 , 則必有 11>0, 22>0, , nn >0。證明根據(jù)定義 , 對一切 X 0皆有 X TAX >0, 故依次令 X =e -1, e n , 就有 (e 1 T Ae 1>0, 即 11>0(e n T Ae n >0, 即

15、 nn >04 正定矩陣與柯西不等式如果有一個正定的矩陣 , 我們通?？梢栽O計出 一個柯西不等式 . 進而我們就有必要知道正定矩陣與柯西不等式的關系 。(1 柯西不等式在中學里 , 我們就熟悉了如下的一個不等式 : x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n 12x 22+ +x n2y 12y 22+ +y n 2,(1這就是著名的柯西不等式 . 如果我們將不等式 (1 用內(nèi)積的形式來表示 , 則可將它改寫成 (, 。 (2 柯西不等式與正定矩陣的關系 如果有一個正定的矩陣 , 我們通常可以設計出 一個柯西不等式 . 進而我們就有必要知道正定矩陣 與柯西不等式的關系 .? 設 A

16、=(a ij , =x 2n 與 =1, , y n , 定義i, j =1aiji y j (2(2 式定義的一定是 n 維向量間的 內(nèi)積 . 反之 , 對于 n 維向量間的任意一種內(nèi)積 , 一定存在一個 n 階正定矩陣 A =(a ij , 使得對任何向量 和 , (, 可由 (2 式來定義 . 因此 , 給定了一 個 n 階正定矩陣 , 在 n 維向量間就可由該矩陣定義 一個內(nèi)積 , 從而可得到相應的柯西不等式 : ni, j =1aijx i y j nj =1aijx i x jnj =1aijy i y j .例 2 證明不等式 2(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3 -x

17、1y 2-x 2y 3-x 3y 1-x 3y 2 221+x 22+x 23-x 1x 2-x 2x 312+y 22y 23-y 1-y 2-y 2y 3,對所有實數(shù) x 1, x 2, x 3和 y 1, y 2, y 3均成立 .證明 從不等式來看 , 可知它相當于 (, , 其中 (, 是由矩陣 A =2-10-12-0-12所定義的 . 但要證明 (, 是內(nèi) 積還需證明 A 是個正定矩陣 . 經(jīng)驗證該矩陣為正定矩陣 . 從而可看出該不等式就是由 A 所確定的 內(nèi)積所產(chǎn)生的柯西不等式 , 因此不等式成立 。注意 :上述不等式可以推廣為 2 ni =1xiy j - n -1i =1(

18、x iy(i +1+x i +1y i 2ni =1xi2- n -1i =1x ixi+1n=1y2i- n -1i =1y iyi+1,(下轉(zhuǎn)第 59頁 第 5期 許光君等 :高職 工程機械概論 課程教學內(nèi)容整合與教改探討更大的發(fā)揮 ; 另一方面也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新人才 , 增 強學生對知識的理解 、 分析 、 創(chuàng)新 、 自學能力 ; 同時 也有利于調(diào)動學生學習積極性 、 主動性 , 從而全面 提高學生的綜合素質(zhì) 。通過 工程機械概論 從課程體系 、 內(nèi)容 、 教學 方法及教學手段等方面的教學改革實踐 , 反映出適 合高職高專非機械類專業(yè)的課程和教學新內(nèi)容改 革方向 ; 以理論知識和實踐技能密

19、切結合 , 培養(yǎng)出 既懂得道路與橋梁 , 又掌握工程機械施工技術的復 合型應用性人才 , 從而更好地面向生產(chǎn)一線需要 。The Teach i n g Con ten t I n tegra ti on and Educa ti on Reforma ti on of the Course Con structi on M ach i n ery I n troducti on i n H ihgre Voca ti ona l CollegeXu Guangjun, L i Guanglin, Fu Q iang, L i Chenggong Abstract According t o t

20、he cultivati on target of nor -constructi on machinery in college, the courses Constructi on Machinery Structure, Constructi on and Man 2 age ment are integrated int o one course Constructi on I on of Road and B ridge Constructi on Technique . Fr om course systre m means, ne w course Con 2 structi o

21、n Machinery I ntr oducti on refor m s p . be obtained the characteristics of ap 2 p licati on, and the target of . Keywords on; Course; I ntegrati on; Practice(上接第 33頁其中 n >1是正整數(shù) , 而 x1, x 2, , x n , y 1, y 2, , y n 是任意實數(shù) .5 結束語學習數(shù)學的過程應當是一個再創(chuàng)造的過程 . 本 文針對正定矩陣給出了更深的理解 , 希望讀者能按 照自己的認識去理解 , 分析 .參考文獻1北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組 . 高等代數(shù) (第二版 . 北京 :高等教育出版社 , 1988:232 236.2華東師范大學數(shù)學系 . 數(shù)學分析 (第二版 . 北京 :高等教育出 版社 , 1991:176 179.3姚慕生 . 高等代數(shù) . 上海 :復旦大學出版社 , 2002:230.4孟道驥 . 高等代數(shù)與解析幾何 (第二版 . 北京 :科學出版社 , 2004:370.5丘維聲 . 高等代數(shù) . 北京 :高等教育