由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)七例

1、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)七例馬吉超對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法求解。例1.已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以又因?yàn)樗灶愋?遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例2.已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即所以又因?yàn)?，所以。類?遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例3.已知數(shù)列中，求。解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為

2、即，所以故遞推公式為令，則，且所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則所以類型4遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例4.已知數(shù)列中，求。解：在兩邊乘以得：令，則應(yīng)用例3解法得：所以類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型的方法求解。例5.已知數(shù)列中，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即所以解得：或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以應(yīng)用類型1的方法，令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又因?yàn)?，所以。類?遞推公式為與的關(guān)系式。解法：利用進(jìn)行求解。例6.已知數(shù)列前n項(xiàng)和。（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式。解：（1）由得：于是所以即（2）應(yīng)用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由，得：于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以故類型7雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例7.已知數(shù)列中，；數(shù)列中，