2014全國(guó)數(shù)模大賽B題北京一等獎(jiǎng)

1、2 0 14 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載） 我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文 引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有 違反競(jìng)賽章

2、程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：B我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?北京航空航天大學(xué)參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）:馮偉（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資 格。）日期：2014年9月15日賽區(qū)評(píng)閱

3、編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人nnnnnnnnn評(píng)分u備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）： 全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：標(biāo)題摘要本文以一種采用鉸鏈連接的可折疊桌子為研究對(duì)象，立足于折疊桌從平 板狀態(tài)到撐起后桌子狀態(tài)的變化過(guò)程，建立了三維空間代數(shù)幾何模型和多目標(biāo)線 性規(guī)劃模型，分析并解決了下列問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題1，我們借助建立的幾何模型，以桌腿升起的高度作為變化過(guò)程的推進(jìn)量，根據(jù)鋼筋所在位置確定各個(gè)桌腿所在直線，又結(jié)合桌腿長(zhǎng)度，最終得

4、到每根木條末端位置的數(shù)學(xué)描述，進(jìn)一步從單個(gè)木條的變化到桌角邊緣線的變化最 后到桌子整體的變化，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式和直觀圖像兩方面， 由點(diǎn)到面逐步詳細(xì)地 分析并描述了該折疊桌變形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程（如圖，公式）。然后利用各個(gè)木條 所在直線、鋼筋位置、木條末端位置的數(shù)學(xué)描述，借助空間幾何知識(shí)，得到了折 疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)：；桌腿木條最大開槽長(zhǎng)度 17.8728cm；撐起后桌子的桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述為:2z2y 252 x2lt2'y15.29z-25,252 -x2 -15.29-25對(duì)于問(wèn)題2，我們建立了多目標(biāo)規(guī)劃模型，首先借助參考文獻(xiàn)一中桌子的穩(wěn) 固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)和檢測(cè)方法，對(duì)我們所要設(shè)計(jì)的折疊

5、桌進(jìn)行穩(wěn)固性檢測(cè)模擬， 結(jié) 合相關(guān)力學(xué)知識(shí)給出滿足穩(wěn)固性要求的數(shù)學(xué)表達(dá)作為約束條件，同時(shí)把用料最少作為目標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)化求解后最終確定最外側(cè)桌腿的長(zhǎng)度，進(jìn)而確定長(zhǎng)方形平板材料的尺寸。然后考慮加工的便捷性，把各個(gè)木條末端距離槽的距離的最小值作 為目標(biāo)函數(shù)，求得此目標(biāo)函數(shù)取最大時(shí)對(duì)應(yīng)的鋼筋位置作為其最佳位置。最后根據(jù)問(wèn)題1中的幾何模型和相關(guān)位置的數(shù)學(xué)描述方法求得開槽長(zhǎng)度。對(duì)于題目中給定的桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，我們的運(yùn)算結(jié)果如下：平板尺寸為長(zhǎng) 166.48cm,鋼筋距離中心45cm，最大開槽長(zhǎng)度為34.3357cm對(duì)于問(wèn)題3,基于問(wèn)題1中的代數(shù)幾何模型和問(wèn)題2中穩(wěn)固性和用料量的優(yōu)

6、化處理方法，對(duì)于任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀和桌角邊緣線的形 狀，我們給出了設(shè)計(jì)加工參數(shù)的數(shù)學(xué)模型和具體操作步驟：1）確定最 外側(cè)桌腿長(zhǎng)度；2）確定鋼筋位置；3）確定剩余桌腿長(zhǎng)度；4）確定平板材料形狀尺寸； 5）穩(wěn)固性檢驗(yàn)與可行性檢驗(yàn)。該模型的適用性很廣，根據(jù)上述模型與操作步驟， 對(duì)于顧客給出的任意桌面邊緣線、桌角邊緣線和桌面高度，不管桌子是否對(duì)稱， 是否規(guī)則，我們基本能夠最大限度地滿足顧客需求， 呈現(xiàn)出相應(yīng)形狀尺寸且滿足 桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)的折疊桌。最后，我們給出了三個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意折疊桌。關(guān)鍵詞：桌角邊緣線、桌子穩(wěn)固性、多目標(biāo)規(guī)劃一、問(wèn)題背景與重述題目給出了一種創(chuàng)意平板折疊桌，重量輕

7、，變形容易。桌面呈圓形，桌腿隨 著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板， 桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各 用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。 基于這種創(chuàng)意平板折疊桌，我們具體分析 了以下三方面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}一給定這種桌子的平板尺寸、木條寬度以及折疊后桌子的高度，又已知鋼筋固 定的位置，我們建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，并給出了桌子的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題二對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求， 我們把產(chǎn)品穩(wěn)固性、 加工便捷性、用材數(shù)量三方面考慮在內(nèi)，確定最優(yōu)的設(shè)

8、計(jì)加工參數(shù)，并給出計(jì)算 實(shí)例。問(wèn)題三對(duì)于顧客任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大 致形狀，我們建立數(shù)學(xué)模型，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè) 計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀， 最后給出了我們 自己設(shè)計(jì)的幾款創(chuàng)意平板折疊桌和相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。二、問(wèn)題分析問(wèn)題一題目給出了長(zhǎng)方形平板的尺寸 120 cmx50 cmx3c，且每根木條寬2.5cm，由 此可以由平面幾何是知識(shí)得到木條的數(shù)目以及各個(gè)木條的長(zhǎng)度。要分析此折疊桌在三維空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，我們可以選取桌面升起的高度作為變化推進(jìn)量來(lái) 描述整個(gè)桌子的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。根據(jù)桌面升起的高度以及鋼

9、筋固定位置我們可以 得到相應(yīng)時(shí)刻空間內(nèi)鋼筋所處直線，從而由勾股定理可進(jìn)一步得知鋼筋相對(duì)每根 木條的位置以及每根木條末端的位置。隨之桌面升起高度的漸變，就能得到桌角 邊緣線的漸變過(guò)程以及鋼筋相對(duì)每根木條平板狀態(tài)下的偏離距離，每根木條的最大偏移距離即開槽長(zhǎng)度也能隨之確定。問(wèn)題二同樣是問(wèn)題一中提到的折疊桌，對(duì)于任意給定的桌子高度和和圓形桌面直徑， 我們考慮桌子的穩(wěn)固性、用料量和加工便捷性，使產(chǎn)品設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化，這是一 個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。首先我們可以利用桌子穩(wěn)固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)和檢測(cè)方法對(duì)折疊 桌進(jìn)行檢測(cè)模擬，根據(jù)力學(xué)相關(guān)知識(shí)給出滿足穩(wěn)固性要求的數(shù)學(xué)表達(dá)式作為約束 條件，然后把用料量作為目標(biāo)函數(shù)，求得其最

10、小值時(shí)的相關(guān)參數(shù)，由此確定最外側(cè)桌腿的長(zhǎng)度，而長(zhǎng)方形平板的寬即圓形桌面的直徑已給定，進(jìn)而平板材料的尺寸可以得到。關(guān)于鋼筋位置的確定，我們從加工方便的角度出發(fā)，由于鋼筋位置影響槽的位置，而太過(guò)靠近桌腿木條末端的開槽方式在實(shí)際加工過(guò)程中容易穿透木條，使得加工不便，并且影響桌腿質(zhì)量與桌子的使用壽命， 因此我們可以選取鋼筋距離 桌腿末端距離最小值作為目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)它取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的位置為鋼筋的最佳位 置。鋼筋位置確定后，借助問(wèn)題一的幾何模型，可以求得各個(gè)木條具體的開槽位 置和長(zhǎng)度長(zhǎng)度。以題目中給出的桌高70cm桌面直徑80cm的情形為例，為使加工方便且美 觀，我們?nèi)圆扇∶窟?0根，共40根木條的方案，給

11、出最優(yōu)化方案的計(jì)算實(shí)例。問(wèn)題三對(duì)于客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大 致形狀，我們的設(shè)計(jì)方法可以參照問(wèn)題二的模型，把產(chǎn)品的穩(wěn)固性，用料量也考慮在內(nèi)，盡可能的設(shè)計(jì)出滿足顧客需求的折疊桌。給出折疊桌高度，我們可以參照第二問(wèn)提到的桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)測(cè)方法，首先得到外援桌腿的長(zhǎng)度傾斜角度 等參數(shù)，然后根據(jù)桌角邊緣線大致形狀來(lái)確定鋼筋的位置，最后，把桌角邊緣線還原到每根木條上，可以得到剩余木條的長(zhǎng)度，根據(jù)鋼筋位置與桌面連接處之間 距離的變化值進(jìn)一步求得木條的開槽長(zhǎng)度。 此時(shí)，折疊桌的各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)都已給 出，只需把折疊桌還原到平板狀態(tài)，即可知平板材料的形狀尺寸。之后按照上述 模

12、型和操作步驟，我們給出了幾個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例，包含了折疊桌設(shè)計(jì)的幾種典型情況。三、模型假設(shè)假設(shè)一：考慮木條時(shí)，把它抽象為一根位于真實(shí)木條寬度中央處，只有長(zhǎng)度 沒(méi)有寬度的線段；假設(shè)二：忽略木條之間空隙，充分利用平板，且各個(gè)木條活動(dòng)自如；假設(shè)三：桌子質(zhì)量的計(jì)算忽略加工過(guò)程中的裁剪，就是平板材料的質(zhì)量；四、符號(hào)說(shuō)明與名詞解釋符號(hào)符號(hào)說(shuō)明動(dòng)態(tài)變化研究過(guò)程中桌腿升起的咼度折疊桌的高度鋼筋到對(duì)應(yīng)桌面連接處距離當(dāng)前研究木條離開中軸線距離離開中軸線t處木條的長(zhǎng)度離開中軸線t處木條末端坐標(biāo)鋼筋所處直線的y軸坐標(biāo)鋼筋所處直線的z軸坐標(biāo)離開中軸線t處的木條上開槽的長(zhǎng)度五、模型的建立與求解問(wèn)題一1. 模型建立為了方便描述問(wèn)題

13、一要解決的折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，我們記平板狀態(tài)為初始 狀態(tài)，以平板時(shí)刻桌面圓盤中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），桌面保持原位置不變，讓桌腿逐漸升高直到變形成倒 立撐起的桌子模樣。把邊緣桌腿升起高度 h作為動(dòng)態(tài)變化推進(jìn)量，令h從0變化 到桌子高度H來(lái)描該改折疊桌從平板狀態(tài)逐漸變?yōu)樽雷訝顟B(tài)的動(dòng)態(tài)變化全過(guò)程。 由于長(zhǎng)方形平板厚3cm，故折疊后桌子下表面的高度為 50cm,以下我們只考慮 桌子升起高度時(shí)只考慮桌面下表面。圖錯(cuò)誤！未指定順序。考慮木條時(shí)，把它抽象為一根位于真實(shí)木條寬度中央處沒(méi)有寬度的線段（如 圖2）。圖錯(cuò)誤！未指定順序。首先由平面幾何知識(shí)，我們求得距離中

14、心t處的木條長(zhǎng)度為由假設(shè)一可知抽象后t =1.25 2.5 n -1 ,由根據(jù)平板尺寸可知每一邊共有 20根木條，對(duì)稱后即n =1,2,.,9,10 o當(dāng)邊緣桌腿升起高度h時(shí)，因?yàn)檫B接桌腿木條 的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，且 123.75 =60 -J252 -23.752，由勾股 定理及空間幾何知識(shí)可知此時(shí)鋼筋的位置為并且桌子的每根木條都要與上述鋼筋所在直線相交，即桌面上每一點(diǎn)A xt, y0出發(fā)的木條，均會(huì)通過(guò)點(diǎn)C x,yh,zh ，由此確定出每根木條所在直線又考慮到每根木條的長(zhǎng)度一定，我們可以得到每根木條末端坐標(biāo)B xt,yt,zt滿足：Xt =t 2Zt2 yt - .252

15、 -t2 =lt2，yt比乙Zhk J252 t2 - yh_zh同時(shí)，這也就是桌腳邊緣線關(guān)于t的參數(shù)方程（圖1）o2. 折疊桌動(dòng)態(tài)描述為了清晰的描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，我們先從單個(gè)木條運(yùn)動(dòng)軌跡、桌角 邊緣線變化過(guò)程兩個(gè)方面進(jìn)行描述， 最后構(gòu)勒出整個(gè)桌子的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程， 具體 如下：1）單個(gè)木條運(yùn)動(dòng)軌跡上述模型給出了每根木條末端坐標(biāo)邊緣桌腿上升高度 h的關(guān)系式（），當(dāng)h從 Ocm逐漸增大變化到50cm時(shí)，折疊桌完成了從平板到桌子的變形，對(duì)于每個(gè)x = t 處特定的木條，我們能給出其底端運(yùn)動(dòng)的軌跡，即圍繞桌面邊緣連接處在x = t平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，不同木條轉(zhuǎn)動(dòng)的角度不同：可=arcsi

16、。lt因此木條所在直線隨邊緣桌腿上升高度 h從0cm逐漸增大變化到50cm時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡即在x=t平面內(nèi)掃過(guò)圓心角為 可的扇面。以t 1.25cm、t 12.5cm、t23.75cm的木條為例，下圖給出了對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程（如圖3）圖錯(cuò)誤！未指定順序。2）桌角邊緣線變化過(guò)程上述坐標(biāo)方程（）同樣可以看做是以t為參數(shù)的桌腳邊緣線，隨著 h從0cm 逐漸增大變化到50cm，桌角邊緣線從一條直線逐漸變?yōu)榭臻g曲線，如圖 4，兩 個(gè)曲面的交線即為所求邊緣線。圖錯(cuò)誤！未指定順序。3）折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程根據(jù)上述各個(gè)木條以及桌角邊緣線的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，再按照假設(shè)一將直線復(fù)原為矩形，就可以得到了桌腿構(gòu)成的曲面在桌角

17、逐漸升高的過(guò)程中的變化過(guò)程， 即折疊桌由平板狀態(tài)逐漸變?yōu)閾纹鸬淖雷訝顟B(tài)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。（圖5）詳細(xì)參考附件動(dòng)圖1圖錯(cuò)誤！未指定順序。3. 模型具體求解1）折疊椅加工參數(shù)題目中給出了平板的尺寸120 cmx 50 cmx 3c和每根木條寬度2.5cm，在假 設(shè)二下，我們可以容易得出木條根數(shù)：每邊 20根，共40根。在上述模型建立時(shí)，我們得到了當(dāng)桌面上升高度為h時(shí)，鋼筋所在位置y- 2 ' GJ -60T23.75也就是說(shuō)從桌面上任一點(diǎn)A x,y,h出發(fā)的木條，也一定穿過(guò)鋼筋通過(guò)的點(diǎn)C x,yh,Zh，因此兩者之間的距離為對(duì)于桌面邊緣出發(fā)的任意一根木條， 我們能證明鋼筋所處位置c x, y

18、h，Zh到桌面邊緣點(diǎn)A x, y, h之間的距離dt是隨著h增大而逐漸增大的，具體如下：我們把各個(gè)木條投影到y(tǒng)oz平面上來(lái)研究其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，由于鋼筋固定在 最外側(cè)木條的中心位置，所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中鋼筋的投影點(diǎn)到最外側(cè)木條的起始點(diǎn)IIo的距離不變，沿最外側(cè)木條的起始點(diǎn)o做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最外側(cè)鋼筋轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角 度時(shí)，由鋼筋所處位置C以及研究木條的起始點(diǎn)位置 A即可確定此時(shí)木條的狀 態(tài)，如圖6,由幾何知識(shí)可知，兩者之間的距離隨著角度 :的增大而增大，即dt 是關(guān)于h的單調(diào)不減函數(shù)（除最外側(cè)桌腿木條t=38時(shí)外，均為單調(diào)增函數(shù)）。圖錯(cuò)誤！未指定順序。由分析可知當(dāng)h從0cm逐漸增大變化到50cm時(shí)，上述距離

19、dt的浮動(dòng)即為木 條所需開槽的長(zhǎng)度，所以對(duì)于每根桌腿木條來(lái)講，其開槽長(zhǎng)度為G 二 - g o我們借助Mathematica求得計(jì)算后得到每根桌腿木條上的槽長(zhǎng)從最外側(cè)到最 內(nèi)側(cè)依次如下表（木條編號(hào)n從最邊緣開始編）：1234567891026.025.025.025.225.625.926.226.526.726.896990030973116670487541517407238343026221814106204.357.6610.312.514.315.816.817.517.8644372684926930314453147282）桌角邊緣線上述給出的木條末端坐標(biāo)同樣也是桌角邊緣線的參數(shù)表

20、達(dá)形式，這里取h =50cm，即可得到折疊桌的桌角邊緣線，整理如下：（圖7中兩曲面的交線） 圖錯(cuò)誤！未指定順序。問(wèn)題二問(wèn)題二中給出桌高70cm,桌面直徑80 cm的情形，通過(guò)理論力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)， 由于對(duì)稱性，鋼筋對(duì)于兩腿沒(méi)有力的作用，也就是說(shuō)中間搭在鋼筋上的木條對(duì)于 桌子的穩(wěn)固性并沒(méi)有很大影響（忽略內(nèi)部摩擦的影響），且桌面直徑即長(zhǎng)方形平 板的寬度，已經(jīng)給定，所以木條根數(shù)對(duì)于用料也沒(méi)有影響。因此，在設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò) 程中，為加工方便且外形美觀，我們?nèi)匀贿x擇每邊20根木條，共40根木條的模 型。同時(shí)平板厚度仍然為3cm，以下給出設(shè)計(jì)的優(yōu)化實(shí)例。我們首先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性分析，折疊桌的設(shè)計(jì)要求做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、

21、加工 方便、用材最少。當(dāng)用材最少時(shí)，很明顯應(yīng)該是桌腳處于垂直的狀態(tài)時(shí)，此時(shí)還 有著不易因摩擦不足而滑行失穩(wěn)的優(yōu)點(diǎn)，但是也明顯存在著容易側(cè)翻使得不穩(wěn)固 的缺點(diǎn)，而加工方便與用材少?zèng)]有太大關(guān)聯(lián)。于是我們對(duì)于這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題分布求 解，先將產(chǎn)品穩(wěn)固（不側(cè)翻）作為約束條件，以用料最少作為目標(biāo)函數(shù)求得平板 的尺寸，再求鋼筋的位置使得加工最便捷。1. 平板尺寸按照問(wèn)題一中建立的模型，圓桌直徑即長(zhǎng)方形平板的寬。而長(zhǎng)方形平板長(zhǎng)的 確定我們綜合了產(chǎn)品穩(wěn)固性要求和用料量的多少，于是我們以平板長(zhǎng)（設(shè)為L(zhǎng)）為決策變量，產(chǎn)品穩(wěn)固（不側(cè)翻）作為約束條件，以用料最少作為目標(biāo)函數(shù)建立 優(yōu)化模型。不側(cè)翻的約束條件，我們參考了歐洲關(guān)

22、于家具的標(biāo)準(zhǔn)和檢測(cè)方法 BSEN581-1,2,3（文獻(xiàn)1）和BSEN12521-2009（文獻(xiàn)2）中關(guān)于穩(wěn)定性的要求， 根據(jù)桌子的分類，我們按照據(jù)文獻(xiàn)1中提到的桌子穩(wěn)固性的標(biāo)準(zhǔn)和檢測(cè)方法， 來(lái)確定產(chǎn)品穩(wěn)固的約束條件首先桌子要滿足垂直加載測(cè)試（圖）:圖錯(cuò)誤！未指定順序。我們?cè)诰嚯x桌子邊緣向內(nèi)50mm最危險(xiǎn)的位置施加豎直向下大小為 F,的力，保證桌子不發(fā)生側(cè)翻。我們又根據(jù)文獻(xiàn)3得知所有木材的密度幾乎相同，約為0-440.5g3，平/ cm均值為0.54g 3，其表現(xiàn)密度因樹種不同而稍有不同。下面計(jì)算在假設(shè)三的條/ cm件下，忽略加工過(guò)程中的裁剪，同時(shí)折疊桌密度取木材平均密度。于是得到桌子的質(zhì)量M

23、為我們按照最嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)取 F =400N，在最危險(xiǎn)的位置施加力，使桌子仍然 無(wú)法側(cè)翻，如圖9圖錯(cuò)誤！未指定順序在上述方案下，每根木條間隔 4cm，最外邊的木條位于t=38cm處，此時(shí)對(duì) 應(yīng)的y =二4廠3? =12.49。于是得到支持點(diǎn)到重心的距離為對(duì)支持力所在處取力矩，使得桌子無(wú)法傾倒，得到以下約束：我們?cè)賹?duì)桌子進(jìn)行水平加載測(cè)試，如圖 10圖錯(cuò)誤！未指定順序在桌子中心放置重物M'（不超過(guò)50kg），使得在力F2=100N的作用下，保持穩(wěn) 定?？梢园l(fā)現(xiàn)F , F在該種情況下可以忽略。于是，按照相同的方法，對(duì)支持力所在處取力矩，使得桌子無(wú)法傾倒，得到 以下約束：至此建立了模型二的關(guān)于求解

24、平板尺寸的部分：將數(shù)據(jù)帶入求解，得到最優(yōu)的桌子長(zhǎng)度 L=166.48cm2. 鋼筋位置由問(wèn)題一分析可知，鋼筋所處位置影響木條上開槽的長(zhǎng)度，對(duì)于每個(gè)木條來(lái) 講，槽的長(zhǎng)度影響該木條的質(zhì)量，在實(shí)際操作中考慮到加工的便捷性， 木條上的 槽越靠近木條末端，加工時(shí)的微小差錯(cuò)就越容易穿透木條， 桌腿木條的質(zhì)量大大 受其影響，更容易導(dǎo)致不合格品的產(chǎn)生；且在桌子使用過(guò)程中，過(guò)于靠近桌腿木 條末端的開槽更容易穿透木條，會(huì)影響桌子的使用壽命。因此我們選取各個(gè)木條 末端距離槽的距離的最小值最大時(shí)對(duì)應(yīng)的鋼筋位置作為其最佳位置。在上節(jié)分析中長(zhǎng)方形平板的長(zhǎng)和寬參數(shù)已給出，因而可進(jìn)一步得知每根木條 的長(zhǎng)度，即= 83.24

25、- 402 -t2，假設(shè)鋼筋位于最外側(cè)腿長(zhǎng)距離木條頂部 m分點(diǎn)處，則鋼筋所處坐標(biāo)為這時(shí)鋼筋沿木條距離桌面邊緣的距離為根據(jù)問(wèn)題一第三節(jié)中關(guān)于距離 dt變化的討論我們得知當(dāng)h = 70cm時(shí)，距離dt取 得最大值，此時(shí)鋼筋位置最靠近各個(gè)桌腿木條的末端，對(duì)應(yīng)開槽的最遠(yuǎn)距離。按 照上述分析我們有目標(biāo)函數(shù)：“min z，其中D表示各個(gè)桌腿木條末端到槽距離的最小值，它是關(guān)于分位點(diǎn) m的一元函 數(shù)，m的范圍m：=0,1為約束條件，求取目標(biāo)函數(shù)的最大值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 m即描 述了鋼筋的最佳位置。針對(duì)題目中的情況，我們代入具體數(shù)據(jù)計(jì)算后得到：m二0.46。還原到實(shí)物上，即鋼筋最佳位置應(yīng)該位于距離長(zhǎng)方形平板長(zhǎng)的中線

26、45cm處。（圖8）3. 開槽長(zhǎng)度根據(jù)前兩節(jié)的分析，我們已經(jīng)確定出了的鋼筋位置，即m=0.46時(shí)對(duì)應(yīng)的鋼筋所在直線方程：y17 18cm，此時(shí)，代入鋼筋位置沿木條距離桌面邊緣的距4 = 32.17cm離dt，有dt0.46、38283.24 -怯8 - "0220.46h事實(shí)上，對(duì)于不同木條，即t取不同值時(shí)，令h從0cm逐漸增大變化到70cm，此時(shí)對(duì)應(yīng)距離dt浮動(dòng)的大小就確定了相應(yīng)木條上的槽長(zhǎng)。又根據(jù)問(wèn)題一第三節(jié)中 關(guān)于距離dt變化的討論，我們知道dt是關(guān)于h的單調(diào)不減函數(shù)（除最外側(cè)桌腿木條t =38時(shí)外，均為單調(diào)增函數(shù)），所以每根木條的槽長(zhǎng)Ct即為G二dt70-dt0。計(jì) 算后得到

27、每根桌腿木條上的槽長(zhǎng)從最外側(cè)到最內(nèi)側(cè)依次如下表 （木條編號(hào)n從最 邊緣開始編）：1234567891038343026221814106208.4614.920.124.427.830.432.433.734.360622757148275785243023357至此我們得到了滿足問(wèn)題二桌面直徑和桌子高度的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，此折疊桌的模型圖如下（圖11）：圖錯(cuò)誤！未指定順序。事實(shí)上，由力學(xué)分析可知，撐起的桌子有克服地面與桌腿之間摩擦力和鉸鏈 系統(tǒng)之間的摩擦力向平板狀態(tài)改變的趨勢(shì)， 最外側(cè)的承重桌腿與豎直方向的夾角 越小，桌子穩(wěn)定性越高，越不容易變?yōu)槠桨鍫顟B(tài)；另一方面，為了達(dá)到便攜式桌 子穩(wěn)固性監(jiān)

28、測(cè)的歐洲標(biāo)準(zhǔn)，桌腿需要一定的傾斜角度以防止側(cè)翻。 我們給出的折疊桌設(shè)計(jì)加工方案桌腿與豎直方向的夾角較小，因此上述模型和設(shè)計(jì)方案在直觀上也是合理的，可以被欣然接受。問(wèn)題三為了盡可能的滿足顧客的需求，對(duì)顧客任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊 緣線形狀大小和桌角邊緣線的大致形狀，我們首先采取文獻(xiàn)1中提到的便攜式桌子穩(wěn)固性標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)測(cè)方法，將桌子的穩(wěn)固性考慮在內(nèi)，確定折疊桌的最外側(cè)桌 腳也就是桌腿的長(zhǎng)度，然后根據(jù)顧客提供的桌腳邊緣線的大致高度確定鋼筋的位 置，確定桌子側(cè)面的形狀，再將顧客所要求的邊緣線的形狀投影到所得到的側(cè)面 上，得到折疊桌成品，再重新經(jīng)過(guò)安全性測(cè)試和可行性測(cè)試，就得到最終的折疊桌成品（如下圖

29、12）。圖錯(cuò)誤！未指定順序。在下面的處理中，我們?nèi)匀∑桨宀牧虾穸葹?cm進(jìn)行計(jì)算，實(shí)際生產(chǎn)中可提供多種材料供顧客選擇，在此不考慮；為使加工方便，我們規(guī)定桌腿均為一邊 20根，共40根，在實(shí)際生產(chǎn)中可根據(jù)顧客要求桌面尺寸大小確定合適的桌腿數(shù) 目;1. 確定最外側(cè)桌腿長(zhǎng)度首先，我們對(duì)顧客給出的桌面邊緣線進(jìn)行處理，選取合適的位置（規(guī)則圖形 的幾何中心）作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以桌腿的方向?yàn)?x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用 相關(guān)軟件擬合出該桌面邊緣線的函數(shù)表達(dá)式 y二f x。在此平面直角坐標(biāo)系的基 礎(chǔ)上以豎直向上為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（圖1）。此時(shí)，x的取值范圍 為l-Xmin , Xmax L因?yàn)槊堪?/p>

30、邊桌子20根桌腿，所以桌腿之間間隔厶二經(jīng) 沁，由20此我們可以確定每根桌腿的位置，Xt = Xmax - 2ni n =1,2,3., 20。2為使折疊桌滿足桌子穩(wěn)固性的歐洲標(biāo)準(zhǔn)，我們選擇最容易發(fā)生側(cè)翻的沿y軸方向距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的邊緣向內(nèi)50mm處進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，在其正上方施加豎直向下的力 F，同樣的，我們?nèi)∽顕?yán)格的標(biāo)準(zhǔn)F =400N，記撐起的折疊桌邊緣桌腿在xoy平 面的投影線段長(zhǎng)為d。上述分析中我們得知，邊緣桌腿傾斜角度越小穩(wěn)定性越好， 在桌腿與垂直方向夾角很小的情況下，我們可以用桌面高度近似代替桌腿長(zhǎng)度， 并仍然按照長(zhǎng)方形平板材料進(jìn)行計(jì)算，在假設(shè)三的條件下，若折疊桌關(guān)于x方向軸對(duì)稱，折疊桌不發(fā)生

31、側(cè)翻，有下列等式成立：F max f x 11 5 -df 2=3?嘰 2 h同樣的，若折疊桌不對(duì)稱，則只需要對(duì)左右兩邊分別進(jìn)行上述分析即可。由垂直加載測(cè)試，我們可以得到滿足穩(wěn)固性條件下最好的桌腿水平面上的投 影距離d，進(jìn)而可以根據(jù)桌面高度h由勾股定理求得邊緣桌腿的長(zhǎng)度1邊緣2. 確定鋼筋位置由上述分析我們知道鋼筋的位置對(duì)折疊桌的穩(wěn)固性影響不大，但是影響桌腿木條的開槽長(zhǎng)度：桌角邊緣線只能出現(xiàn)在鋼筋位置到木條末端的范圍內(nèi)，鋼筋位置的不同也會(huì)影響桌角邊緣線的范圍。所以為了盡可能的滿足顧客對(duì)桌角邊緣線 的要求，使加工方便，我們把桌角邊緣線作為設(shè)定鋼筋位置時(shí)首要考慮的因素： 將選取距顧客給出的桌角邊緣

32、線3cm處作為鋼筋所在位置，具體如下。通過(guò)上述步驟，我們可以求得邊緣桌腿的長(zhǎng)度和傾斜角度，由邊緣桌腿的起I Z = z V 點(diǎn)A t, f t ,0和末端B t, f t d,h，可以確定邊緣桌腿所在直線X =t此時(shí)桌子的輪廓已經(jīng)確定，我們把桌子輪廓投影到XOZ豎直平面上，并把顧客給出的桌角邊緣線繪制在xoz豎直平面的投影上，得到投影曲線 Z二g x，選取桌角邊緣線Z軸上最小值Zmin沿負(fù)方向低5cm處作為鋼筋所在高度（圖11），即Zh =Zmin -3，且鋼筋在邊緣桌腿上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C t,Z _1 Zh ,Zh ，因而由邊緣桌腿所1在直線可求得鋼筋所在直線v=z Zh，鋼筋在邊緣桌腿上的固定位

33、置由此可z = Zh知。3. 確定剩余桌腿長(zhǎng)度剩余桌腿的長(zhǎng)度我們主要通過(guò)客戶給出的桌角邊緣線以及鋼筋位置來(lái)定。以特定的木條為研究對(duì)象，對(duì)于桌面上任意一點(diǎn)At, f t ,0出發(fā)的桌腿，均經(jīng)對(duì) 應(yīng)鋼筋上一點(diǎn)C t,z Zh ,Zh，由此兩點(diǎn)可以確定研究桌腿所在直線又由顧客給出的桌角邊緣線在XOZ平面上的投影函數(shù)z = g x，可得知當(dāng) x “時(shí)的桌角高度，把此高度再還原到對(duì)應(yīng)的木條上即可得到研究木條尾端的 位置B t,z J g t ,g t ，進(jìn)一步由勾股定理自然得到所研究木條的長(zhǎng)度。4. 確定平板材料形狀尺寸由以上三步我們確定了各個(gè)木條的長(zhǎng)度，再結(jié)合顧客給出的桌面邊緣曲線， 我們可以還原出折

34、疊桌攤平時(shí)的形狀，即平板材料的形狀，其最大寬度是桌面最 大寬度，最大長(zhǎng)度是沿y軸方向桌腿長(zhǎng)度與桌面長(zhǎng)度和的最大值，平板邊緣曲線由桌腿長(zhǎng)度以及桌面邊緣線共同確定。5. 穩(wěn)固性檢驗(yàn)與可行性檢驗(yàn)穩(wěn)固性檢驗(yàn)：將求得的木板材料的質(zhì)量帶回歐洲標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于桌子不側(cè)翻的要求 中進(jìn)行檢驗(yàn)是否合理，如不合理，則改變木板質(zhì)量為該質(zhì)量，然后重新進(jìn)行該流 程，知道滿足穩(wěn)固性為止?？尚行詸z驗(yàn)：主要是初始開槽位置的確立，問(wèn)題一中類似，對(duì)于任意一根從A t, f t ,0出發(fā)的木條，當(dāng)桌面降落高度h'時(shí)鋼筋落回木條上的C x,yh,Zh點(diǎn), 檢驗(yàn)該點(diǎn)是否原理桌面，如不可行，則提醒客戶所涉及桌腳形狀太高，需要重新 設(shè)置。同

35、 時(shí)利用問(wèn)題一中的模型方法，可以求 解出各 木條的開槽 長(zhǎng)度： Ct 二 dtH - %。6. 設(shè)計(jì)實(shí)例1）假設(shè)客戶要求制作一個(gè)桌面為X2 / 402 y2 / 302 = 1的橢圓，而高度 為70cm，桌腳形狀為高度為35cm的三角形的折疊桌按照流程圖，我們首先按照1中方法對(duì)于最外側(cè)桌腿長(zhǎng)度進(jìn)行求解，得到長(zhǎng)度為L(zhǎng)=79.73cm接著，由于桌腳高度為30cm,所以我們將鋼筋固定在距離地面 30+3=33cm處，投影高為30,寬為80,于是按照客戶的要求，給出如 的投影函數(shù)，將其投影到由桌腳和鋼筋位置以及確定的各木條上，作為桌 腳的邊緣。綜上就得到了我們的橢圓三角椅子如下圖13圖錯(cuò)誤！未指定順序

36、。對(duì)應(yīng)的各木條長(zhǎng)度（從內(nèi)到外）分別為：34.5309,37.9146,41.0566,43.9077,46.4253,48.5808,50.3781,51.8996, 53.4501,56.2804再將數(shù)據(jù)帶回得到動(dòng)態(tài)變化過(guò)程（詳細(xì)參見附件動(dòng)圖2），如圖14：圖錯(cuò)誤！未指定順序。求得其開槽長(zhǎng)度（從內(nèi)到外）分別為： 25.7067,25.2418,24.3036,22.8746,20.926,18.4137,15.27,11.3832,6.53209, 0.（2）其他創(chuàng)意桌子： 桌子為對(duì)角線長(zhǎng)為50cm的正方形，高度為50,桌腳邊緣線一側(cè)大致是 M 字樣，另外一側(cè)直接是全部著地。動(dòng)態(tài)變化過(guò)程如圖

37、 15：圖錯(cuò)誤！未指定順序。其中對(duì)應(yīng)的各木條長(zhǎng)度（從內(nèi)到外）分別為：M一側(cè)：49.8418,45.7792,40.602,34.9945,29.7625,25.8508,24.4116,26.9223,35.3421.52.2921直面一側(cè)： 50.514,50.2193,50.0478,50.001,50.079,50.2814,50.6066,51.0524,51.6155,52.2921其開槽長(zhǎng)度（從內(nèi)到外）分別為：M側(cè)：25.637,21.9088,18.361,15.0158,11.8937,9.01181,6.38135,4.00634,1.88293 ,0.直面一側(cè)：均為 0 桌子上部為相距30cm寬60cm的兩拋物線，高度為60,桌腳邊緣線大致 都為拋物線。動(dòng)態(tài)變化過(guò)程如圖 16：圖錯(cuò)誤！未指定順序。其中對(duì)應(yīng)的各木條長(zhǎng)度（從內(nèi)到外）分別為：如圖左側(cè)45.0247,45.8445,47.3706,49.3887,51.61