切線方程與切點弦方程

1、切線方程與切點弦方程、圓的切線方程、圓的方程為 :(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1. 已知：圓的方程為 :(x - a)2 + (y - b)2 = r2, 圓上一點 P(x0, y0)。求過點 P 的切線方程解：圓心 C(a, b);直線 CP 的斜率：ki = ( yo- b)/( xo- a)因為直線CP與切線垂直，所以切線的斜率：k2 = -1/ki = - (xo - a) / (yo - b)根據(jù)點斜式 , 求得切線方程：y - yo = k2 (x - xo)y - yo =- (xo - a) / (yo - b) (x - xo)整理得： (x -

2、xo)(xo - a) + (y - y o)(y o - b) = o(切線方程公式 )展開后: xox - ax + axo + yoy - by + byo - xo2 - yo2 = o(1)因為點P在圓上，所以它的坐標(biāo)滿足方程：(xo - a)2 + (yo - b)2 = r2化簡: xo2 - 2axo + a2 + yo2 - 2byo + b2 = r2移項: - xo2 - yo2 = -2axo - 2byo + a2 + b2 - r2(2)由(2)代入(1), 得： xox - ax + axo + yoy - by + byo + (-2ax o - 2byo +

3、a2 + b2 - r2) = o 化簡： (xox - ax - axo + a2) + (yoy - yb- byo + b2) = r2 整理： (xo - a)(x - a) + (y o - b)(y - b) = r 2變式-1 已知:圓的方程為 :(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , 圓外一點 P(xo, yo)二、對于圓的一般方程 :x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 過圓上的點的切線方程 .2.已知:圓的方程為 :x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, 圓上一點 P(xo, yo)解： 圓心 C( -D/2,-E/2 )直線 C

4、P 的斜率:ki = (yo + E/2) / (x o + D/2)因為直線CP與切線垂直,所以切線的斜率：k2 = -1/ki = - (xo + D/2) / (y o + E/2) 根據(jù)點斜式 , 求得切線方程：y - yo = k2 (x - xo)y - yo =- (xo + D/2) / (y o + E/2) (x - xo)整理得 ：xox + yoy + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Eyo/2 -xo2 - yo2 = o(3)因為點P在圓上，所以它的坐標(biāo)滿足方程:xo2 + yo2 + Dxo + Eyo + F = o 移項： - xo2 - yo2

5、 = Dxo + Eyo + F由(4)代入(3),得：xox + yoy + Dx/2 + Ey/2 - Dx o/2 - Eyo/2 + Dxo + Eyo + F = 0整理,xox + yoy + D(x + x o)/2 + E(y + y o)/2 + F = 0變式-2 已知：圓的方程為:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 圓外一點P(xo, yo)二、圓的切點弦方程證明：遼尸h ,y0)工鼠辻點P柞圖4?的妁兩卷切虬切點是召，卿直戲拙 的牙裂足+ i'0i-十乏t D-如!空E十F 0一UW：點平肴叮于識晶壯一洼應(yīng) 逼耳C 屛 只匚於衽說兮雖齢酋詢相

6、畫藝.以P.C為寶.疵肚血韻芭的左;丄更-(.t +-a)亠Q' * f)F -l-'c) = o. *即x1 + r* + (半-xc)x + (y Jt3)y -t- yj( 一 0x' + tJ + Z>.t + 7" = 0怎三、圓錐曲線的切線方程和切點弦方程設(shè)P(xo, yo)是圓錐曲線上(外)一點，過點P引曲線的兩條切線, 切點為A , B兩點，則A , B兩點所在的直線方程為切點弦方程。標(biāo)準方程切點弦方程圓(x-a)1 +(丁一6 =r(Xo -住)(x- u) +00 b)(y - ® 二廠+y: + Dx-EyF = 05+ J V.J + VL cgx4 1-Oy+2+ " 2 EF = 0橢圓二十匸= 1(