高二空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、知識要點(diǎn)1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示+同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算：定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)OB = 0A 亠 AB = a 亠 b ； BA = OA - OB = a - b ； OP = a(t.運(yùn)算律：加法交換律：a b a加法結(jié)合律：(a b) a (b c)數(shù)乘分配律：(a b)二 a _ xb 運(yùn)算法那么：三角形法那么、平行四邊形法那么a平行于b，記作a/ b3. 共線向量:(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直

2、線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量,(2)共線向量定理：空間任意兩個向量 a、b ( b工0), a b存在實(shí)數(shù)入，使a =入b(3)三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線 <=> AB 二'AC <=> OC = xOA yOB，其中 x y = 1亠a(4)與a共線的單位向量為 一|a|4. 共面向量 ：(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。片耳4(2)共面向量定理：如果兩個向量 a, b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù) x, y使。p=xa yb - (3)四點(diǎn)共面：假設(shè) A B、C P

3、 四點(diǎn)共面 <=>AP =xAB ' yAC <=> OP = xOA - yOB ' zOC，其中 x y 15. 空間向量根本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使FF-9-F-*-P-!-*9-f ->p=xa yb zc o假設(shè)三向量a,b,c不共面，我們 a,b, c把叫做空間的一個基底，a, b,c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)0,代B,C是不共面的四點(diǎn)，那么對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x, y, Z，使OP 二 xOA y

4、OB zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 0 -xyz中，對空間任一點(diǎn) A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z)，使0A二xi ' yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫作向量 A在空間直角坐標(biāo)系 O - xyz中的坐標(biāo)，記作 A( x, y,z)，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A (x,y,z )關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z), 關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)i, j, k表示。空間中任一向量(2)假設(shè)空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正

5、交基底，用+*a 二 xi yj zk =(x, y, z)(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律： * 假設(shè) a=(ai,a2,a3)，b=(d,b2,b3)，那么 a b=(ai bia?bza? b?)， F+a _b=(aq bi, a 2 -b?, a3- b3)， . a= (. ai,a?, a3)( -R)，f ffa b 二aib azbzasb? , a b：= ai 二 a,a2 二 bz ,a3 = b? (R)a _b = aibia2b2a3b3 =0假設(shè) A(xi, yi,zi)，B(X2，y2，Z2)，那么 AB x“ y? yi,互乙)。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等

6、于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。中點(diǎn)坐標(biāo)公式：假設(shè)A(X1,y1,zJ，B(X2,y2,Z2)，當(dāng)p為ab中點(diǎn)時，pQ 生上y2,Zi乞) MBC 中，A(Xi，yi,Zi)，B(X2, y2,Z2)，C(X3,y3,Z3)，三角形重心 P 坐標(biāo)為 P(xxx3 yi * y2 *y3 可 +z2 +Z3(4)模長公式：假設(shè) a = (a1,a2,a3')，2 2 2b2b3f； 222-1aibia2b2a3b3那么 |a匸 a a = aia：aa ，| b| =(5)夾角公式:cos a b孑 322 . a32 ?12 b22 b32aabc中AB AC -

7、 0 <=>A為銳角AB * AC : 0 <=>A為鈍角，鈍角(6)兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè) A(x1, y1,z1)， B(x2, y2,z2)，那么 | AB| =：(X2 -xj2 (y2 - yj2 (Z2 - z,)2，7. 空間向量的數(shù)量積:(1 )空間向量的夾角及其表示：兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)0，作OA =a,OB = b，那么.AOB叫做向量a與b的夾角，記作 a, b ；且規(guī)定0 - * a, b -，顯然有：a, b =： b, a ；假設(shè)：:a,b，那么稱a與b2互相垂直，記作：a b。(2)向量的模：設(shè) OA =a，那么有向線段(3 )

8、向量的數(shù)量積：向量OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：| a |。a,b , u |ab | co sa b ,叫做a,b的數(shù)量積，記作a b，即a b =|a | b | cosa b。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a b 2ab=0a 二a(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： ('a) b (a b) =a ( b)。aa (交換律)。a (b c) =a b a c (分配律)。不滿足乘法結(jié)合律：(a b) c a (b c).空間向量與立體幾何1 線線平行：二 兩線的方向向量平行1- 1線面平行：二 線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行：二兩面的法向量平行2. 線線垂直共面與異面：二兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直：二線與面的法向量平行2- 2面面垂直：二兩面的法向量垂直3. 線線夾角二共面與異面0°,90°：二 兩線的方向向量n 1,門2的夾角或夾角的補(bǔ)角，cos =|cos： m ,n23- 1線面夾角二0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，假設(shè)為銳角角即可，假設(shè)為鈍角，那么取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sinv -|cos： AP,n |3- 2面面夾角二面角0°,180°：假設(shè)兩面的法向量一進(jìn)一出，那么二面角等于兩法向量n 1,n2的夾角；法向量同進(jìn)