穩(wěn)恒磁場指導(dǎo)

1、穩(wěn)恒電流的磁場內(nèi)容提要1 .磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中受到力的作用，由此，定義了磁感應(yīng)強(qiáng)度BFmax=qv_其方向?yàn)樾〈裴楴極在此處所指方向。2 .載流線圈的磁矩Pm=ISnn為載流線圈正法線方向的單位矢量。3-畢奧一一薩伐爾定律dB =% I dl r4 二 r3它表示真空中的電流元Idl,在與它相距為r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，式中%=4冗M(jìn)lO,Hm，根據(jù)磁場的迭加原理可以計(jì)算整個(gè)載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場算的關(guān)鍵在于矢量性和疊加性。4.幾種典型電流的磁場1）載流直導(dǎo)線的磁場LIB=(sin2-sin1)4二a式中a為場點(diǎn)與載流直導(dǎo)線的垂直距離,P1,P2分別為載流直導(dǎo)線始端和末端到場點(diǎn)P的連

2、3為正，否之為負(fù)。線與垂線OP成的夾角。當(dāng)轉(zhuǎn)向與電流方向相同,2）“無限長”載流直導(dǎo)線3）載流圓線圈軸線上任一點(diǎn)磁場B0R2i2(R2X2)3/2R為圓線圈的半徑，x為軸上上場點(diǎn)到圓心的距離，B方向沿軸向圓心處B2R4)載流密繞直螺線管內(nèi)部的磁場B=-0nI(cos1：-2-cos：1)2n為單位長度的線圈匝數(shù)。P2,身表示場點(diǎn)到螺線管兩端的連線夾角對長直螺線管:-口0nI5)安培環(huán)路定理二Bdl70Vl-L0(1)正確完整理解安培環(huán)路定理，式中B是空間所有電流產(chǎn)生的，只是在L外的電流對B的環(huán)流無貢獻(xiàn)。(2)安培環(huán)路定理對穩(wěn)恒磁場普遍成立。具體用來計(jì)算B時(shí)，磁場必須具備對稱性。選取合適的積分路

3、彳仝,以便將B從積分號內(nèi)提出，進(jìn)行計(jì)算，求出Bo6)安培定律-電流元Idl在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中受到的磁力為dddF=IdlB注意矢量運(yùn)算，B是外磁場，利用矢量迭加求FF=.dF因此要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把矢量化成標(biāo)量計(jì)算，求出合力。7)載流線圈在磁場中所受磁力矩41M=PmBPm為載流平面線圈的磁矩，B為外磁場。這個(gè)力矩的作用總是使&轉(zhuǎn)向B,最后趨向與B方向一致效果，我們稱穩(wěn)定平衡狀態(tài)。8)帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)(1)帶電粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，在磁場中受到力的作用，稱為洛侖茲力f=qVB(2)帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)帶電粒子以垂直于均勻磁場B方向進(jìn)入磁場，粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，半徑

4、為mvqB周期2二mT二qB如果粒子運(yùn)動(dòng)速度與B成。角，粒子作沿磁場方向的螺旋運(yùn)動(dòng)。螺旋線半徑為:mv_mvsinuRqBqB螺距,2二m2二mvcos1h二v二qBlqB9.磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理:Hdl=I在磁介質(zhì)中通過引入輔助物理量H,使得在磁介質(zhì)中計(jì)算B變得簡單，對于對稱性的磁場,可用磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理來計(jì)算磁場分布。6.運(yùn)動(dòng)電荷的磁場計(jì)算%qvr4二r3對于運(yùn)動(dòng)電荷的磁場計(jì)算除了用上式計(jì)算外，也可以把運(yùn)動(dòng)電荷等效電流，再利用畢一奧定理計(jì)算。11.霍耳效應(yīng)霍耳電壓差Vm-Vn與薄片內(nèi)通過的電流I及磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比，與薄片厚度d成反比。即VM_VN=rh-7dRh1,一、一一,稱為霍

5、耳系數(shù)，霍耳效應(yīng)在許多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。nq解題指導(dǎo)與示例本章習(xí)題涉及三個(gè)主要方面內(nèi)容。一、子在磁場中運(yùn)動(dòng)，三、磁介質(zhì)中的磁場計(jì)算。關(guān)于磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算，方法通常有三種: 磁場，同時(shí)注意其場的矢量性，然后積分）關(guān)于磁場的計(jì)算，二、電流在磁場中受力及帶電粒用畢奧一薩伐爾定律直接求（先計(jì)算電流元的;用安培環(huán)路定理求，這種方法主要適用于電流分布具有對稱性，使磁場具有對稱性，使得可以選擇適當(dāng)?shù)幕芈罚狗e分方程運(yùn)算簡約為代數(shù)方程，使計(jì)算變的十分簡便，其關(guān)鍵是對稱性的分析，積分回路的選取，使B可以從積分BB，dl中L提出來，建立關(guān)于B的代數(shù)方程；直接用載流導(dǎo)體的磁場公式，利用場強(qiáng)疊加原理計(jì)算。在計(jì)算磁場和電

6、流受力及帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，所涉及的都是矢量問題。在解決這類問題，一般選好坐標(biāo)系，把矢量化為標(biāo)量處理。在磁介質(zhì)中，磁場的計(jì)算，利用輔助物理量磁場強(qiáng)度H,進(jìn)而利用關(guān)系B=nH計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。例7-1兩根長直導(dǎo)線沿一鐵環(huán)的半徑方向從遠(yuǎn)處引于鐵環(huán)a,b兩點(diǎn)，方向如圖示，求O點(diǎn)的B。解此題可用畢奧一薩伐爾定律和磁場的疊加原理來計(jì)算O點(diǎn)的Bo因兩直線過。點(diǎn)，此上的電流對。點(diǎn)磁場無貢獻(xiàn)。因此只需計(jì)算兩弧上電流對。的貢獻(xiàn)，設(shè)對應(yīng)于兩段弧的弧點(diǎn)分別為11和12,其上流過的電流分別為I1和12,由圓弧電流的磁場公式得。相應(yīng)于11、l2弧在O點(diǎn)的場分別是B- 2R11B2 =-oI 22R例7-1圖根據(jù)電流I

7、與B的關(guān)系知&與B2反向，所以口。Bo=B1-B2=2(1111-I2I2)4二R而兩弧組成并聯(lián)回路電壓V=*,故有I1|1二12|2得B=0例7-2如圖所示，電流I均勻地流過寬為2a的“無限長”薄金屬板，試求通過板的中線并與板面垂直的平面上一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bo解：如圖所示，將薄板分成許多寬為dx的細(xì)長條，每根細(xì)長條電流為dI=I，由此“無限長”載流薄板可看2a成由許多相互平行，緊密相挨的“無限長”直流導(dǎo)線所構(gòu)成，在板上x軸上方距中心x處取一寬為dx的細(xì)長條，它在P處磁感應(yīng)強(qiáng)度dB,其大小為dBdB方向垂直于F和向長條的電流流向所構(gòu)成的平面。又,由于對稱性在薄板的另一對稱處可有一對應(yīng)的細(xì)長條

8、載流導(dǎo)線，在P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB,且dB、dB在y軸上的分量相互抵消，在x軸上的分量方向相同，沿x軸正向。因例7-2圖此，從以上分析得 P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為B = dBx = dB cos=Ldly為1ydxTT=TZ-22二rr4二arb=A4 adxy sec2 二aarctant ayd _arctan_y,a arctan y討論特殊情況：如果為“無限大”薄板,a一oo,但仍維持I不變0I4 二iIi = 為單位寬度上的電流。2a以上求電流連續(xù)分布的薄板的場，事實(shí)上仍然使用的是畢奧一一薩伐爾定律和場強(qiáng)疊加原理，只不過此種情況下，不是使用最初的原始定律的形式，而是利用了 “無限長”載

9、流導(dǎo)線產(chǎn)生場的公式結(jié)果，分析場分布的特征后，積分而求解的。在物理學(xué)的解題中，經(jīng)常用到這種方法。例7-3 在半彳至為R的木質(zhì)半球上單層均勻密繞細(xì)導(dǎo)數(shù)共N匝，線圈平面彼此平行，如圖例 7-3圖所示，設(shè)通 過的電流為I,求球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：將沿球面螺旋線電流看成為許多半徑不同的圓電 流的集合，線圈沿圓弧上均勻分布，如圖弧上取一弧 dl , 其上的線圈匝數(shù)由圖知r2=y2sec9,x=ytgH,dx=ysec28d8dN 二2N2N2N,.dl=dl=Rdu=d-in2這dN匝圈電流在O處的場，根據(jù)圓電流在軸線上的磁場公式，有dB =-0Iy222x3/22 (x y )dN-0Iy222x

10、3/22 (x y )2N2N d1ji方向沿x軸負(fù)向。由于各圓電流在 O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同,因此可以直接積分。由幾何關(guān)系圖知,x2+y2=R2,y=Rcos8兀. dB = 02,22 .%NI R cos 1jir3JT02 cos2% 一JoNI例：7-4 長直電纜由導(dǎo)體圓柱和一同軸的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成。使用時(shí)電流4RI導(dǎo)體圓柱體流去,從另一導(dǎo)體流回。設(shè)電流都均勻地分布在模截面上。設(shè)圓柱的半徑為筒的內(nèi)外半徑分別為r2和r3, r為到軸線的垂直距離。（i）求磁感應(yīng)強(qiáng)度分布；（2）通過長度為 影區(qū)）的磁通量。解：（i）根據(jù)電流分布的特點(diǎn)知道，磁場分布有軸對稱性，以軸為圓心，L的一段截面（圖中陰

11、r為半徑，作一圓形閉合回路L,由對稱性知L回路上任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向沿回路切線。根據(jù)安培環(huán) 路定理l B dl*：rIir v riii =-L1 二 r；二r22riBi%卜2 二 r；riv r v2B2r2V r r3B4i-Bi Ldr d iB2Ldr =0riIri理rdr2 二 ri2r2rir2 joIri4 二Li 2ln %riHdr（T。當(dāng)盤以角速度3繞其中心例7-5如圖所示。半徑為R的均勻帶電圓盤，面電荷密度為軸OO旋轉(zhuǎn)時(shí)，求盤心。點(diǎn)的B值。例7-5圖解方法一：當(dāng)帶電盤繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電荷在運(yùn)動(dòng)，因而產(chǎn)生磁場。可將圓盤看成許多同心圓環(huán)的組合，而每一個(gè)帶電圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)

12、時(shí)相當(dāng)于一圓電流。以。為圓心，r為半徑，寬為dr的圓環(huán)，此環(huán)上電量dq=：ds=二2二rdr此環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其等效電流dI=dq=-rdr2二此電流在環(huán)心。處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小-odl，二drdB=2r2其方向沿軸線，因此整個(gè)圓盤在盤心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是_R1,.1._B=idB%-二dr=一0二R022、，一一一，,0qvr，一一，.r,寬為dr方法二根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷的磁場公式B=0,求解，在圓盤上取一半徑為4二r3的圓環(huán)，電量dq=；二2二rdr,v=dB0r dq二上4二 r24二r。2 rdr =dr2方向垂直于盤面向上，同樣0， RdB 二20dr0 ；R q22二 R例7-6直長

13、直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)，挖一個(gè)無限長圓柱形空腔，軸線與導(dǎo)體軸線平行。設(shè)空腔和導(dǎo)體半徑分別為a和b,兩軸間距d（ba+d）,電流I在截面上均勻分布，求：（1）。和O處磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）證明空腔內(nèi)磁場是均勻的。解：本題宜采用“補(bǔ)償法”解。若對導(dǎo)體細(xì)分割成許多細(xì)長導(dǎo)線組成，再用疊加方法求磁場，比較復(fù)雜。由題意知，電流密度i=一J一廠，圓柱形空洞中無電流可以理解為同時(shí)存在著兩二(b2-a2)個(gè)等值反向的電流。因此空洞內(nèi)同時(shí)存在電流密度為土j的電流。那么空間各點(diǎn)磁場就可看成是一個(gè)半徑為b,電流密度+j的長圓柱體電流與一個(gè)半徑為a電流密度為一j的長圓柱電流產(chǎn)生的磁場的迭加。(1)由安培環(huán)路定理，在腔內(nèi)大圓柱電體在

14、O處產(chǎn)生磁場為0,只有小圓柱在。處場由安培環(huán)路定理，以0為心作一過0的圓環(huán)回路，則2,LBdl=Bo2二b=；0j二a20j2L01a2Boa二zz-2b2-：b(b2-a2)同理小圓柱電體在0.產(chǎn)生均為零，得od.oIdBo=-j=2r22二(b2-a2)(2)在空腔內(nèi)任一點(diǎn)P,距0軸距為R,距0軸為r,大圓柱體電流在P處的B大小為Bioj同理，小圓柱體電流在P處大小均為據(jù)疊加原理B2;B12B22-2B1B2cos:%R2.2or2.22oRrj2R2r2d2Jod2.2二j二j二j4442Rr4口口od.%|dB二j二2T22二(b2-a2)B的方向確定。因B1二四二目Rrd所以PSQP

15、00又;PQP0PSLP01QS00因此空腔內(nèi)為均勻磁場，大小為0_,方面與O處場方向一樣，與OO兩軸垂直。2二(b2-a2)例7-7如圖7-7所示，一半圓形弧線電流I,在均勻磁場B的方向與圓弧確定的平面平行，如圖示，半徑R,求弧電流受磁力對y軸的力矩。解：取一電流之Id，則在磁場中受的磁力大小為dF=BIdlsin日=BIRsin6de方向?yàn)榇怪钡兔嫦蛲?，其對y軸的力矩為dM=dFRsin3-BIR2sinudu方向?yàn)檠貀軸負(fù)向，而各電流之受到的磁力對y軸的力矩方向相同，整個(gè)圓弧電流所受的磁力對y軸的力矩大小為_22.-1_2_M=dM=BIRsin北二-二RIB02方向沿y軸負(fù)向。如果設(shè)想

16、一段長為2R的載流I的直導(dǎo)線與此半圓弧線連成閉合電流回路。因設(shè)想直導(dǎo)線電流對y軸無力矩，此閉合電流回路受磁力矩即是圓弧電流受的力矩。2. _M=PBB=一RInB22大小為M=R舊，方向?yàn)閚B方向y軸負(fù)向，由此得結(jié)果相同，并且更為簡單。2例7-8在一長直載流導(dǎo)線旁有一長為L導(dǎo)線ab,其上載電流分別為11和12,a端到直導(dǎo)線距離為d1 .當(dāng)導(dǎo)線ab與長直導(dǎo)線垂直，求ab受力。2 .當(dāng)導(dǎo)線ab與長直導(dǎo)線成一角度0,求ab受力。其方向垂直低面向里，電流之2x12dx受安培力大小為i II1d解：取如圖例7-8所示坐標(biāo)系直導(dǎo)線在距其為x處，產(chǎn)生的磁場-0I1I2df=12Bdx=dxdf方向如圖示，且

17、各電流之受力方向相同，故，ab受力為2 二=Ldf口032.，I1I21dx二In(2)如圖便7-8(b)示，電流之I2dl所受培力df大小為df=I2BdlJoIlI2dX2二xsin1df方向垂直于ab,且各電流之受力方向一致，故導(dǎo)線ab受力為Ii例7-9J0I1I2dLsin二2二sin二ddxJoIiI2x2二sin二:,dLsin二In“無限長”圓柱形直導(dǎo)線外包有一層相對磁導(dǎo)率為為R,磁介質(zhì)外半徑為R,若直導(dǎo)線中通以電流I,求磁介質(zhì)內(nèi)、解：在與直導(dǎo)線相垂直的平面上取一閉合圓形回路，其半徑為安培環(huán)路定理有七的圓筒形磁介質(zhì)，導(dǎo)線半徑外磁場分布。r,由于磁場具有對稱性，由當(dāng)(RvrR),磁

18、場強(qiáng)度為H2,而在磁介質(zhì)外N=1,可得B2=。1教材習(xí)題解答210-1解B=a+bj+ck(SI)通過半徑的R,開口向Z軸正方向的半球殼面的磁通星的大小與通過半徑為R的圓&的磁通星相同。&=:R2kBS=BS0-BK=(ai+bj+ck)(冗RK)2=nRc(wb)10-2解：過長為2a的等邊三解形圈，通電流為I,在線圈中心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bo應(yīng)為每一邊在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的疊加，而每邊在O產(chǎn)生的磁場相同，因此Bo=3B即Bo=3B1cIB1sln60-sin-604二r二2%I3=3%I3 24二a4 a3B-Wb4二a10-3解：根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，選向里為正JIIIBO=上上一4R

19、14R24：R210-4解：設(shè)正方形邊長為a,通電流為I,總磁感應(yīng)強(qiáng)度B=4卮。B1為正方形一邊在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。B1 =_ .2oIsin 三-sin 三a ,-42二 a；B=4B1 =2夜%1 代入數(shù)值得 B=5.56M106T10-5 解(1)兩點(diǎn)線中的A點(diǎn)的BBA -O 1 1-O 1 2=二 d 二 d2二 d 2。=11T2 =40 10 T二 d(2)在正方形中距中心x處，取一窄條ds=ldx,則通過ds的磁通量 d m = BLldx1 % I1 .% I 2I , j-,12nx 2n (d -z二9 L - dx2二 x d -xldxm = d m =rl2二 x

20、 d -xol.d - r3. . d - r1I1ln I2 lnr1r3。12-,d -nInr1(I1+I2)olJId-r6I1Ind一1=2.210wbr110-6解：兩條線在P點(diǎn)產(chǎn)生的B方向相同B=%I%I2二dx2二d-x_%Id1.22d-x10-7設(shè)圓導(dǎo)線在O處場為B,直導(dǎo)線在O處場為B2,根據(jù)磁場疊加原理B=BB2造垂直線面向里為正%I%i_Jq112R2rR_7r一二10-8解:(1)通過abcd面的磁通量mabcd=BLSabcd=2.00.40.3=0.24wb線掠過此面(2)通過ebfc面的磁通量，由于故mbdfc=0(3)通過aefd面的磁通量maefd=mabc

21、d=0.24wb10-9解：O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度由ab、bcd和de三段載流電流在O處產(chǎn)生場的疊加，它所在O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直線面向里，由長直載流導(dǎo)成的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式JIB=sin：2-sin：14二a對ab段a=rcos60B1=冗/2,P2%I4二r cos60冗H )1 sin - -sin 23%I= 0.067bcd段載流圓弧導(dǎo)線，在其上取電流Idl ,它在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為dB =% Idl O Ird 口,OI4 二 r2廣3 日4 二 r6rd。OI6rI= 0.209 TrO處的B的大小為%IBB2B3=20.067二r10-10解:(1)見10-4解答(2)過P點(diǎn)向AB

22、和AD作垂線分別交于E、FEPtan15AE故有ED= tan15A E= E DtCan 1 5而 AE ED =a1 ctan15EP =1 ctan15=0.21a 一 actan15EF a - ED = = 0.79a1 ctan15設(shè)AD、DC邊與電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B , AD、BC邊與電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2 ,它們在P點(diǎn)的磁場方向一致。二 BP =2 B1B2由長直載流導(dǎo)線磁感應(yīng)強(qiáng)度公式B1 = BAD%I4二 EPsin 45 -sin -75-+0.9659 =0.797 父 104 二 0.21a2B2 = BabI4 Ef sin15 -sin -:.

23、_45%I4 二 0.79aI 2 0.258826 I B = Bi B2 =1.84 10 一(3)設(shè)正方形軸線上與中心相距為x的任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bx,每邊在P處,%Isin :一sin - P )oI4二.x_ %Ia立2 二：:；4x2 a2 2x2 a2Br =4B sin ;_a=4 a1a,上 _i 22 二，：4x2 a2 2x2 a2x2 g_4%Ia21二4x2 a2 . 4x2 2a2設(shè)x軸正方向10-11解：根據(jù)題意設(shè)r=0.05m則d=2r(1)% I1 I24二 10，20 10工Ba =1.2 10 T2二 d/22 二 0.050(2)I12二 3 0.051

24、0/=0.13 10 T(3)設(shè)磁場為零的點(diǎn)距12為乂處I1令Bx-0得x=d=0.10m10-12見前解題指導(dǎo)與示例10-110-13見前解題指導(dǎo)與示例10-210-14同是10-15解：取俯視截面圓如圖示，將導(dǎo)體管壁看作由許多平行的無限長直載流導(dǎo)線所組成，求出單根導(dǎo)線在軸線上P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁場的疊加原理求得總場?？紤]處于日角處的長直載流導(dǎo)線，其上電流dI=dl=rd-=-d-二R二R二用無限長載流導(dǎo)線感應(yīng)強(qiáng)度公式，dI在P點(diǎn)激發(fā)向磁場為OdIdB=二22二R2二R方向如圖示，見圖示xoy坐標(biāo)系由對軸性，備導(dǎo)線在P處的磁場的y分量互相抵消，僅有x分量dBx =dBxin1=2 二2Rsi

25、n 二B = Bx冗0 dBx =Osin 年=O2二2R%I2 _二 2r代入數(shù)值%I 4 二 10 5.0-2 = 2 TTZ2二 R 二 1.0 10一一 一 5 一= 6.37 10 T設(shè)x軸方向10-16解：在距I1導(dǎo)線x處矩形骨取一寬為dx窄條，其中通過的磁通量為d4m = Bddxb_aBI2)D -xd b.二 0ad b I1I 2= Badx =()dxd2 二 d x D - xL011a2 二代入數(shù)值Ii -10A a = 0.3md b 口0幅 D -d nd 2二 D -(d b)I2 -20Ad = 0.1mb=0.25m2 二(b2-a2)rm=2.9010wb

26、10-17r處的磁感解：由安培環(huán)路定理可求得在圓柱體內(nèi)部與銅導(dǎo)線中心軸線相距為應(yīng)強(qiáng)度B4(r R)-I2 rdr 二因此，穿過銅導(dǎo)線內(nèi)部畫斜線平面的磁通量售1為:HdRm1=.Bds=Bds=：010-18解：在距中心為r處（arb）以軸為心作一圓環(huán)，應(yīng)用安培環(huán)路定理Qb de = BdeLI=B J de = B 2n r = NL22r -aI _ , 22、02r- (r a )二(b2 -a2)10-19參見解題指導(dǎo)與示例例10-410-20參見解題指示與示例10-610-21(1)在帶電細(xì)環(huán)上取一長為de的帶電,以角速度n繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，等效電流為dI=nde線元在0處的磁場為總的磁場d

27、B總的磁場0R2dI0R3a-耍也0R3m一 (x2R2)3/2萬(x2R2)3/2_2(x2R2)3/22二%R3nd-02(x2R2)3/2一(2)距軸線r處取一寬dr的環(huán)帶，則等效電流dI = ndq = 2二n rdr此環(huán)帶效電流dI的磁矩。d：m=二r2dI=2二2n1r3dr總的磁矩R_23_12_4=2二nrdr=一二nR10-22解:02在距盤心為r處取一環(huán)帶，面積ds=2：rdr,其上電荷為dq-；：-.2二rdr等效電流為dI=dq=-w二.2二rdr=cwrdr2二2二它在中心軸線距離x處，產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度dBdIr2一 2(r2 x2)3/2R -0- wB= d

28、B = . 丁00 w r3drc/ 223/22(r x )r3 d r _ /w二(2 x(r2x2)3/12 ( Nx 210-23解：線框所受重力矩與其所受磁力矩大小相等方面相反(對0,0軸)b-2-重力矩=2bgsgsin上,bgsbsin：=sb;gsin：磁力矩=;?mBsin(-2)=Ib2Bcos:兩者相等2sb2Pgsin：-Ib2Bcos:B=2s：gtan：/I9.3510*T10-24電子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，其周轉(zhuǎn)半徑R為6mvmv1020R=6666.210mqBeB1.06210,910-8當(dāng)B=108Ti mvR =-eB104198=6.210m1.06210

29、10810-25長直導(dǎo)線Ii對ab作用力J I I業(yè)FAB - BI 2 t 2 - - -2二 f1.24二 1020 10 0.204=8.0/10 (N)向左2 二 0.01對ad邊作用力。由于Ji在ab邊各處產(chǎn)生的磁場變化，方向垂直低面向內(nèi)，故LI-在ad邊上取一電流 12 d定到I1的距離為x,所受作用力為：dF =BIdx=dx2二 xLLFad = dF = 0122 二1 dx J0I1I2Fn 71.0 9.0=2 1020 10 5 、1.0= 9.0 10/(N)同理可算得Fbe=Fad =9.2 101N)I I=o2)2 =8M10,(N)向右2二(h)10-26解:

30、在弧線形導(dǎo)線上取一電流Id受力dF = IdeBdFx =dF cos TBdecos? - -IBdy dFy =dFsin二 TBdesin 二-IBdxybFxdFx = - IBdy =0Fyyaxb_=dFy=IBdx=IBabxaF=Fy=舊獨(dú)ab上式表明此弧形線電流受力與沿弦ab同方向電流受力一樣。10-27解：（1）線圈的磁矩二2pm=2RI：2_32=0.1210=0.157(Am2)2磁力矩2_2M=RB=R2IB=7.8510(Nm)2,(2)線圈轉(zhuǎn)過90時(shí)磁力矩的力，取轉(zhuǎn)動(dòng)后Pm方向民B一致A=I(m2-m1)=R2BI=0.120.510=7.8510(J)2210-

31、28,解：此與流線圈在水平處磁場B中，受到一力矩作用，其作用是使線圈流向n,也即點(diǎn)轉(zhuǎn)向b,使角度減小，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有J-MJ-a2舊sind2u2.Jr=-2aIBsinidt當(dāng)8很小時(shí),sin知0d2u2.J5a2IBi-0dt2dt2J二.a2IBJ方程變?yōu)槎2-0Ja2舊出2因此線圈在平衡位置作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)周期T=生=2幾w10-29解：(1)電子速度分解為沿軸向Vii分量，和垂直于軸向的分量VI,在軸向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于軸向作為速率圓周運(yùn)動(dòng)。mVR=-CBeBRu_L=eB,2二meBhh-:/T-;-:/-/-eb2二m7reBh2-/2R一m4二代入數(shù)值6=7.5710ms的

32、方向與軸線夾角中tan=迄=2R=2.5=6817V11h(2)根據(jù)電子繞軸旋軸方向，磁場沿沿線，但與V分量V前方向相反。10-30解：離子通過E、B同時(shí)存在原域后速度近似為零，經(jīng)過電壓u加速后，速度為v,則12-mv=qu2進(jìn)入磁場BO中,2qBO二mRlR=一2解得mqBOl28u10-31Um-Un=EHb=BvbVVm - VnV =Bb1.0 1031.5 0.01又a1 BI ng d1 BI.ne d1BIn二e(Vm-Vn)d=11.531.60210491.010*1.0104293-2.810(1/m3)dq =crds =o2nPd P ,10-32解：在盤上距中心來往為

33、P處取一窄環(huán)，ds=2npdP,其上也為荷為此環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的等效電流，dI=，dq=wPdP2二此窄環(huán)帶電流的磁矩dPm-二；2dI-w;?3d;?它所受磁力矩為dM=dpmB-：wb：3dDJT總的磁力矩為M=dMB0P3d=-.wbr4411-1作一圖形環(huán)路由安培環(huán)路原理Hd=Hd=H*2：r=2NININI2二rL400200.40=2.0104(A/m)B-%=(hM)B1M=B-H=17-2.0104=7.7105(A/m)，4二10由M=xmH= 38.5M7.7105xm=4H2.0104r=1xm=39.511-2在導(dǎo)線內(nèi)rR作一圓形回路LH *d = Hd =HLL2：r二 R2I

34、r22二rR2B ”1H 二通OH丁。12 二 R2在導(dǎo)線內(nèi)，作raR的圖形回路LH*d=Hd=H*2二r二ILL2二rBH=WH=卓2二r、選擇題1.如圖，邊長為正方形以角速度自測題六a的正方形的四個(gè)角上固定有四個(gè)電荷均為q的點(diǎn)電荷.此繞AC軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，在中心O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為B；此正方形同樣以角速度繞過O點(diǎn)垂直于正方形平面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的大小為(A)B=R.-11r(C)B=B2.2民，則B與民間的關(guān)系為(B)B=2B2.(D)Bi=B2/4.2.邊長為L的一個(gè)導(dǎo)體方框上通有電流I,則此框中心的磁感強(qiáng)度2(A)與L無關(guān).(B)正比于L.(C)與L成正比.(D)與L成反

35、比.,2(E)與I有關(guān).3.如圖，流出紙面的電流為2I,述各式中哪一個(gè)是正確的？(A)寸Hdl=21.(B)L1(C)耳Hdl=I.(D)-Hdl=IL2川dl=-I.L4流進(jìn)紙面的電流為I,則下4.無限長直圓柱體，半徑為R沿軸向均勻流有電流.設(shè)圓柱體內(nèi)(rR)的磁感強(qiáng)度為R,則有(A) B、B均與r成正比.(B) B、R均與r成反比.(C) B與r成反比，B與r成正比.(D) B與r成正比，R與r成反比.(D)5.一電荷為q的粒子在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)，下列哪種說法是正確的？(A) 只要速度大小相同，粒子所受的洛倫茲力就相同.(B) 在速度不變的前提下，若電荷q變?yōu)?q,則粒子受力反向，數(shù)值不變.

36、(C) 粒子進(jìn)入磁場后，其動(dòng)能和動(dòng)量都不變.(D) 洛倫茲力與速度方向垂直，所以帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡必定是圓.：(B)6.如圖所示，一半徑為 內(nèi)，圓心為O 一帶正電荷為 電荷的粒子恰好通過6.有一半徑為R的單匝圓線圈，通以電流I,若將該導(dǎo)線彎成匝數(shù)N=2的平面圓線圈，導(dǎo)線長度不變，并通以同樣的電流，則線圈中心的磁感強(qiáng)度和線圈的磁矩分別是原來的(A)4倍和1/8,(B)4倍和1/2.(C)2倍和1/4.(D)2倍和1/2.二、填空一1 .一磁場的磁感強(qiáng)度為B=ai+bj+ck(si),則通過一半徑為R,開口向z軸正方向的半球殼表面的磁通量的大小為Wb2 .真空中有一載有穩(wěn)恒電流I的細(xì)線圈，則通過包

37、圍該線圈的封閉曲面S的磁通量6=.若通過S面上某面元dS的元磁通為排，而線圈中的電流增加為2I時(shí)，通過同一面元的元磁通為d*,則d:Z丫=.2分3 .一質(zhì)點(diǎn)帶有電荷q=8.0x10-10C,以速度v=3.0x105ms-1在半彳至為R=6.00x10-3m的圓周上，作勻速圓周運(yùn)動(dòng).該帶電質(zhì)點(diǎn)在軌道中心所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B=,該帶電質(zhì)點(diǎn)軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩pm=.(o=4x10-7hm1)4 .如圖，在無限長直載流導(dǎo)線的右側(cè)有面積為S和&的兩個(gè)矩形回路.個(gè)回路與長直載流導(dǎo)線在同一平面，且矩形回路的一邊與長直載流導(dǎo)線平行.通過面積為S的矩形回路的磁通量與通過面積為S2的矩形回路的磁通量之比為.5 .有一同

38、軸電纜，其尺寸如圖所示，它的內(nèi)外兩導(dǎo)體中的電流均為且在橫截面上均勻分布，但二者電流的流向正相反，則(1)在rR處磁感強(qiáng)度大小為.R通有電流為I型圓形回路，位于Oxy平面q的粒子，以速度v沿z軸向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)帶正O點(diǎn)時(shí)，作用于圓形回路上的力為,作用在帶電粒子上的力為.7 .兩個(gè)帶電粒子，以相同的速度垂直磁感線飛入勻強(qiáng)磁場，它們的質(zhì)量之比是1：4,電荷之比是1:2,它們所受的磁場力之比是,運(yùn)動(dòng)軌跡半徑之比是.8 .一帶電粒子平行磁感線射入勻強(qiáng)磁場，則它作運(yùn)動(dòng).一帶電粒子垂直磁感線射入勻強(qiáng)磁場，則它作運(yùn)動(dòng).一帶電粒子與磁感線成任意交角射入勻強(qiáng)磁場，則它作運(yùn)動(dòng).角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(O1.均勻帶電剛性細(xì)桿AB

39、線電荷密度為，繞垂直于直線的軸O以點(diǎn)在細(xì)桿AB延長線上).求：(1) O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B0;(2) 系統(tǒng)的磁矩pm;(3)若ab,求B及pm.2 .如圖所示，一半徑為R的均勻帶電無限長直圓筒，面電荷密邛那一度為.該筒以角速度繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn).試求圓筒內(nèi)部的磁感強(qiáng)-度.3 .一無限長圓柱形銅導(dǎo)體(磁導(dǎo)率0),半徑為R,通有均勻分布的電流I.今取一矩形平面S(長為1m,寬為2R),位置如右圖中畫斜線部分所示，求通過該矩形平面的磁通量.4 .如圖所示，兩根相互絕緣的無限長直導(dǎo)線1和2絞接于O點(diǎn)，兩導(dǎo)線間夾角為，通有相同的電流I.試求單位長度的導(dǎo)線所受磁力對O點(diǎn)的力矩.5 .如圖所示，有一密繞平面螺旋線

40、圈，其上通有電流I,總匝數(shù)為N,它被限制在半徑為R和R的兩個(gè)圓周之間.求此螺旋線中心O處的磁感強(qiáng)度.I自測題六參考答案一、選擇題1C2c3D4H5R6B二、填空1 、R2c,2、0,1：2,3、6.67X10-7T,7.20X10-7Am,4、1：1,5、N0rI/(2nR2),06、0,0,7、1：2,1：2,8、勻速直線，勻速率圓周，等距螺旋線，垂直紙面向內(nèi)，R0I/(4nR)三、計(jì)算題B0 = dB。drr-ln圣4 二 a2)九期(a+b)3a3/63)33b12Pm=ra=-qa6a22 .B=，Rbg,方向平行于軸線朝右.LILI3 .中=i1.中2=上1ln24 二2二4.5.。

41、I22二sin二0NIR2ln-2限火)Ri第7章習(xí)題解7-1解：單位正電荷在2q與2q電荷的對角線方向上受力為0,在q與-4q電荷的對角線方向上受力為lq4q5qF二-二_2_2_24二;0.2a24二;0.2a22；0a方向由單位正電荷指向-4q電荷.7-2解：考慮一個(gè)頂點(diǎn)上的-q電荷受力.在平行于頂點(diǎn)所對邊白方向上受力為0,在垂直于頂點(diǎn)所對邊方向上受力為2 .q0qQF=22sin6024二；0r4二；0r2cos300令F=0,得3 Q=q37-3解：由點(diǎn)電荷的場強(qiáng)疊加，有Ac42.05.01x0E=9.00X10-+2V/mx(x+1.0)八45.02.0.-0.1mx0E=9.00

42、402-:Vm“1.0xy42.05.011x-0.1mE=-9.00M10-+2V/m：x(x+1.0)7-4do o i 一一 -T LEE解：由點(diǎn)電荷的場強(qiáng)疊加公式nnE=、有第一種情況第二種情況第三種情況E=q/腌0a2方向水平向右第四種情況E| =q/2超0a2方向指向右下方-q電荷7-5證明：以細(xì)棒作為離棒中心為x軸，其中心作為坐標(biāo)原點(diǎn) 。，過O點(diǎn)垂直細(xì)棒作y軸.P點(diǎn)位于棒的延長線上,a處；Q點(diǎn)位于棒的垂直平分線上，離棒為a處，并設(shè)k = Q/L,則(1)在P點(diǎn)處EPEp = .0 dEPL 2 dx!2二24二； a-x2. 2二 04a - L方向沿x軸正向;(2)在細(xì)棒任取一

43、電荷元 dq = 2dx ,其坐標(biāo)為(x,0),該電荷元在 Q點(diǎn)的場強(qiáng)大小為1, dxdEQ =224 二；0 x a方向由電荷元指向 Q點(diǎn).由對稱性分析，知EQx=0；而dEQy4二;0 x2 a2 , x2 a2EQyEq =EQy=.0 dE,Qy.，24二；0 xq _1 Q,x2 a2 2二；0 a , L2 4a2方向沿y軸正向.證畢.7-6解：如圖，在距球心 。為x處取一個(gè)細(xì)圓環(huán)，其上均勻帶電，所帶電量為dq = c 2二 rdl = ： 2 R2sin d根據(jù)均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的場強(qiáng)公式，dq在O處的場強(qiáng)大小為dE =1xdq1 Rcos2二 R2 sin4二；。2 x2 3

44、24 二；0R3d =COs7-Sinddo2；0方向?yàn)閄軸的負(fù)向.由于所有細(xì)圓環(huán)在 處的總場強(qiáng)為對dE的直接積分，即EE = dE,0。點(diǎn)處的場強(qiáng)方向均相同，都沿X軸的負(fù)向，故 。點(diǎn)CJcos - sin - d -= 2；04；0方向?yàn)閤軸的負(fù)向.7-7解：(1)由均勻帶電長直導(dǎo)線的場強(qiáng)公式，有E =ii2二 0x2- o a - xa i 2二；0 x a - xx為場點(diǎn)到帶正電荷長直導(dǎo)線的垂直距離;(2)其中一均勻帶電長直導(dǎo)線在另一均勻帶電長直導(dǎo)線處的場強(qiáng)大小為E=2二；0a單位長度導(dǎo)線帶電九，受離為九2/2n%a,方向?yàn)榇怪眱砷L直導(dǎo)線，相互吸引7-8解：圓心處的場強(qiáng)可看作是由電荷線密

45、度為-九,長度為&=2cm的帶電小圓弧所產(chǎn)生.由于1遠(yuǎn)小于圓弧半徑，對圓心處，可視為點(diǎn)電荷，所以lq1l1E22=0.72Vm-14二；0R24二;0R2方向由圓心指向縫隙.7-9解：通過圓形平面的電通量等于通過以該點(diǎn)電荷為頂點(diǎn)，r=Jr2+d2為半徑的球面錐體的球冠面的電通量.2以點(diǎn)電何為球心，r為半徑作一球面.該球面的面積為S0=4叮，球冠面積為S =2二 r r- d .通過球面S0的電通量為通過球冠面S的電通量為 由以上二式，有SS0=esl：S 二ES,_qS_qR2d2-d“SY2。7-10解：(1)只有通過與x軸垂直的左、右兩個(gè)側(cè)面&、$的電通量不為0.即有中：，1%=匕0E2S

46、2=E2-E1S=：b2d-bdd2=1.05Nm2C-1(2)由高斯定理q=；0中=9.27102cEdS 二 E S E. S =2E S解：由對稱性分析可知，無限大的，厚度為D的，電荷體密度為p的均勻帶電平板的電場具有平面對稱性，對稱面為板的中心面，即在中心面兩側(cè)，與其垂直距離相等的各點(diǎn)處的場強(qiáng)的大小是相等的，方向處處與帶電平面垂直，并指向兩側(cè)（p0）.根據(jù)場強(qiáng)分布的特點(diǎn)，可將高斯面S取成圓筒面，圓筒面的側(cè)面S與帶電平面垂直，兩底面S和S2與中心面平行且等距，令S和S2面的大小均為AS,距中心面白距離為d.則通過此高斯面S的電通量為：，e=EdSEdS=EdSe-SiS2Si此高斯面內(nèi)所

47、包圍的電荷為2dASPd|D/2由高斯定理f2dASP/=2EAS=4eD，SP。故NdP/跖|dD/2E=D/2考慮到方向-DP.2；od-D2E=dP/%-D/2dD/2d D/27-12解：設(shè)內(nèi)、外球面半徑分別為 r Y RRi、R2,曾由高斯定理知空間場強(qiáng)分別為:E=0E=r4二二0rE=qiq2二E3r4二；0r3由已知條件，有qi4二；0r3%；NC-i3N C33-i4二；0rr解之，有1-6qi =一IO C , q2510 C97-13解：作半徑為r同心球面為高斯面S,由高斯定理有E dS = E4二 r2 = qi . ；0 MSS04 q34 q3二 r3 - 0.13 / 內(nèi)JI0.23 -0.13 力0 r Y 0.1m0 . 1#r Y 0 . 2方向均沿徑向.由上式，有E0.05=0； E0.15 =0.41V/m,沿徑向向外;E0.5 =1.04沿徑向向外7-14解：作半徑為r同心球面為高斯面S,由高斯定理有1 r 24 f P4nr drE dS 二 E4二 r2 -，qi . 0SS內(nèi).代入=kr計(jì)算，有：4二；00r2drkr -E = r （r y r 4 ；oE -r關(guān)系曲線略kR4E 打r R4 0r7-15解：選長為1,半徑為r與圓柱同軸的圓筒面作為高斯S,由高斯定理，有4