橢圓的參數(shù)方程

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程一、知識(shí)回顧？rbyax：是怎樣推導(dǎo)出來的的參數(shù)方程是什么圓問題222)()(122rbyraxsincos:rbyrax令)(sincos:為參數(shù)得rbyrax橢圓的參數(shù)方程問題2:你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos為參數(shù)byax這就是橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程sincos)(sincos. 1111222222byaxyxyxbyaxybyxax方程為可以得到橢圓的參數(shù)為參數(shù)利用圓的參數(shù)方程可以變成則橢圓的方程通過伸縮

2、變換從幾何變換的角度看，橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)橢圓的參數(shù)方程 如圖如圖,以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心,分別以分別以a,b（ab0）為半）為半徑作兩個(gè)圓徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)與小圓的交點(diǎn),過點(diǎn)過點(diǎn)A作作ANOx,垂足為垂足為N,過點(diǎn)過點(diǎn)B作作BM AN,垂足為垂足為M,當(dāng)當(dāng)半徑半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡為橢圓的軌跡為橢圓.xOyAMNB此即為橢圓的參此即為橢圓的參數(shù)方程數(shù)方程,其中的幾何其中的幾何意義為意義為離心角離心角.cos()sinxayb為參數(shù)橢圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義MOXYN(x,y)(sincos為參數(shù)ayax

3、)(sincos為參數(shù)byaxABOXYNM(x,y)為OX軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與OM重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度并非并非為OX軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與OM重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度橢圓的參數(shù)方程【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx橢圓的參數(shù)方程例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)M，使，使M到直線到直線

4、l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求.橢圓的參數(shù)方程),sin2 ,cos3(M設(shè)5|10-sin4cos3|d則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。決。分析2橢圓的參數(shù)方程最大值和最小值嗎？的的前提下，求出滿足進(jìn)行類比，你能在實(shí)數(shù)與簡單的線性規(guī)劃問題思考：yxzyxyx211625,22橢圓的參數(shù)方程89,89 1 , 1)cos()cos(8

5、9sin8cos5)sin4 ,cos5(00zzM是橢圓上的一點(diǎn)，則設(shè)橢圓的參數(shù)方程例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形面積求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值的最大值.22221(0)xyabab解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為( cos , sin )ab4cossin2sin22Sababab矩形()224kkZSab矩形當(dāng)時(shí)，最大。所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab.橢圓的參數(shù)方程練習(xí)練習(xí)3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:,ABCABP解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn)P(3cos ,2sin) S面積一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求點(diǎn)到線的距離最大值線AB的方程為66所以當(dāng)=時(shí)有最大值 面積最大4這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)橢圓的參數(shù)