示范教案(兩個變量線性相關(guān) 第2個課時)

1、第2課時導(dǎo)入新課思路1 客觀事物是相互聯(lián)系的,過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系,但實際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.比如說：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績,彼此是互相聯(lián)系的,但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”,物理是“果”,或者反過來說.事實上數(shù)學(xué)和物理成績都是“果”,而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度.所以說,函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系,但還存在著另一種非確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系.為表示這種相關(guān)關(guān)系,我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)回歸直線及其方程.思路2 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：氣溫/261813104-1杯數(shù)2024343850

2、64 如果某天的氣溫是-5 ,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個問題我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)回歸直線及其方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）作散點圖的步驟和方法？（2）正、負(fù)相關(guān)的概念？（3）什么是線性相關(guān)？（4）看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當(dāng)人的年齡增加時,體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回歸直線？（6）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？（7）利用計算機(jī)如何求回歸直線的方程？（8）利用計算器如何求回歸直線的方程？活動：學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時提示指導(dǎo).討論結(jié)果：（1）建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平

3、面直角坐標(biāo)中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖.（a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系）（2）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（3）如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系.（4）大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢,我們可以從散

4、點圖上來進(jìn)一步分析.（5）如下圖： 從散點圖上可以看出,這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近.如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表.（6）從散點圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,大致分布在通過散點圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會想

5、,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線,到達(dá)一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會想,在散點圖中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行?（學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個點.2.在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本

6、相同.3.多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強(qiáng). 實際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長期的實踐與研究,已經(jīng)得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中，b是回歸方程的斜率，a是截距.推導(dǎo)公式的計算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，且所求回歸方程是=b

7、x+a,其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,n),它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對值，運(yùn)算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算，a,b的值由公式給出.通過求式的最小值而得出

8、回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用計算機(jī)求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式，利用計算器或計算機(jī)，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下：在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項,彈出“添加趨勢線”對話框.單擊“類型”標(biāo)簽,選定“趨勢預(yù)測/回歸分析類型”中的“線性”選項,單擊“確定”按鈕,得到回歸直線.雙擊回歸

9、直線,彈出“趨勢線格式”對話框.單擊“選項”標(biāo)簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448.（8）利用計算器求回歸直線的方程. 用計算器求這個回歸方程的過程如下：所以回歸方程為=0.577x-0.448.正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)中，找到了它們之間關(guān)系的一個規(guī)律，這個規(guī)律是由回歸直線來反映的.直線回歸方程的應(yīng)用:描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系.利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進(jìn)行估計,即可得到個體Y值的容許

10、區(qū)間.利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標(biāo).如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度.應(yīng)用示例思路1例1 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654（1）畫出散點圖；（2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2 ，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).解：（1）散點圖如下圖所

11、示：（2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少.（3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù).利用計算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767.(4)當(dāng)x=2時，=143.063.因此，某天的氣溫為2 時，這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差

12、.2.即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值，能夠與實際值y很接近.我們不能保證點（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機(jī)變量，預(yù)報值與實際值y的接近程度由隨機(jī)變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定. 一些學(xué)生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測結(jié)果，則我們選擇142，143和144能夠保證預(yù)測成功（即實際賣出的杯數(shù)是這3個數(shù)之一）的概

13、率最大.例2 下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料.機(jī)動車輛數(shù)x千臺95110112120129135150180交通事故數(shù)y千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.解：（1）在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系(2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：=1 031，=71.6,=137 835，=9 611.7.將它們代入公式計算得b0.077 4,a=-1.024 1,所以,所求線性回歸方程為=0

14、.077 4x-1.024 1.思路2例1 給出施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線的方程.解：(1)散點圖如下圖(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=4.75,a=399.3-4.7530257.從而得回歸直線方程是=4.75x+257.例2 一個車間為了規(guī)定工時定額,

15、需要確定加工零件所花費(fèi)的時間為此進(jìn)行了10次試驗,測得數(shù)據(jù)如下：零件個數(shù)x（個）102030405060708090100加工時間y（分）626875818995102108115122 請判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系由測得的數(shù)據(jù)表可知：=38 500,=87 777,=55 950.b=0.668.a=91.7-0.6685554.96.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=0.668x+54.96.例3 已知10條狗的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下：血球體積

16、x(mL)45424648423558403950紅血球數(shù)y(百萬)6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72（1）畫出上表的散點圖；（2）求出回歸直線的方程.解：（1）散點圖如下.（2）(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50,(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37.設(shè)回歸直線方程為=bx+a,則b=0.175,a=-0.418,所以所求回歸直線的方程為=0.175x-0.148.點評：對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時,應(yīng)先畫出其散點圖,看其是否呈直線

17、形,再依系數(shù)a,b的計算公式,算出a,b由于計算量較大,所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段,認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計算中產(chǎn)生錯誤,求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù)；計算xi與yi的積,求xiyi；計算xi2；將結(jié)果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程知能訓(xùn)練1.下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（ ）A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積C.正邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高答案：2三點(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ）A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75xC.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x答案：3已知關(guān)于某設(shè)備的使用年

18、限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）,有如下統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2238556570 設(shè)y對x呈線性相關(guān)關(guān)系試求：（1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b；（2）估計使用年限為10年時,維修費(fèi)用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4我們考慮兩個表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,為誤差項,模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e（1）如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值；（2）分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機(jī)模型解：（1）模型1：y=6+4x=6+43=18；模型2：y=6+4x+e=6+43+1=19.（2）模型1中

19、相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因的不同,所得y值不一定相同,且為誤差項是隨機(jī)的,所以模型2是隨機(jī)性模型5以下是收集到的新房屋銷售價格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x（m2）80105110115135銷售價格y（萬元）18.42221.624.829.2（1）畫出數(shù)據(jù)的散點圖；（2）用最小二乘法估計求線性回歸方程.解：（1）散點圖如下圖.（2）n=5,=545,=109,=116,=23.2,=60 952,=12 952,b=0.199,a=23.2-0.1991091.509,所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509拓展提升 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費(fèi)用支出（Xi）與公司所獲得利潤（Yi）的統(tǒng)計資料如下表： 科研費(fèi)用支出（Xi）與利潤（Yi）統(tǒng)計表 單位：萬元年份科研費(fèi)用支出利潤1998199920002001200220035114532314030342520合計30180 要求估計利潤（Yi）對科研費(fèi)用支出（Xi）的線性回歸模型.解：設(shè)線性回歸模型直線