新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)20數(shù)列的綜合運(yùn)用考點(diǎn)分類講義練習(xí)題附解析3

1、考點(diǎn)20數(shù)列的綜合運(yùn)用1、掌握數(shù)列求和以及數(shù)列通項(xiàng)的一些常用的方法和技巧2、掌握數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合性問題的解決策略3、掌握數(shù)列有關(guān)的證明以及參數(shù)4、掌握與數(shù)列有關(guān)的定義型問題三年高考情況分析5、縱觀全國或者各地區(qū)的高考試題，數(shù)列的地位尤為突出，在許多地區(qū)出現(xiàn)在壓軸題的位置，所涉及的知 識點(diǎn)和題型主要為：1、數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合性問題，2、數(shù)列有關(guān)的證明以及含參問題，3、與數(shù)列 有關(guān)的定義型問題數(shù)列在高考中主要體現(xiàn)在中檔題和壓軸題中，中檔題主要考察數(shù)列的基本量等問題，壓軸題體現(xiàn)在1、數(shù)列 與不等式、函數(shù)的綜合性問題，2、數(shù)列有關(guān)的證明以及含參問題，3、與數(shù)列有關(guān)的定義型問題等問題中,

2、因此在平時(shí)復(fù)習(xí)中掌握常見題型的解題思路。1、【2018年高考江蘇卷】已知集合A = xlx = 2 l,eN., B = xx = 2ne.將AU3的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列4記S為數(shù)列4的前項(xiàng)和，則使得S“ >12勺川成立的 的最小值為.2、【2020年全國2卷】0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列V滿足q w0（i = l，2,）, 且存在正整數(shù)？，使得4+m=qa = L2,）成立，則稱其為0-1周期序列,并稱滿足4+,”=研=1，2.）的最1 川小正整數(shù)機(jī)為這個(gè)序列的周期.對于周期為？的0-1序列4%C伏）=»一伙=12是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列

3、周期為5的0-1序列中,滿足C伙)二伙= 1,2,3,4)的序列是()C. 10001.D. 1100b-.3、【2020年北京卷】,已知乩是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì)：2對于何中任意兩項(xiàng)在MJ中都存在一項(xiàng)4“，使 =為：2對于qr中任意項(xiàng)/(23),在%中都存在兩項(xiàng)4Ma>。.使得q=空.(I)若/=( = 1,2,)，判斷數(shù)列也是否滿足性質(zhì)，說明理由：(II)若 =2"|( = 1,2,)，判斷數(shù)列4是否同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，說明理由:(HI)若4是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì)，證明：“為等比數(shù)列.4、【2020年江蘇卷】,已知數(shù)列的首項(xiàng)“日，前項(xiàng)和為S.設(shè)入與&是常數(shù)

4、，若對一切正整 數(shù)，2,均有s LcL；. 2成立，貝I稱此數(shù)列為。一”數(shù)列.(1)若等差數(shù)列乩是。-廣數(shù)列，求入的值：(2)若數(shù)列%是“#-2'微列，且?！?gt;0,求數(shù)列也的通項(xiàng)公式；(3)對于給定的人是否存在三個(gè)不同的數(shù)列也為。-3”數(shù)列，且后0?若存在，求人的取值范圍：若不 存在，說明理由，5、【2020年天津卷】已知凡為等差數(shù)列，"為等比數(shù)列，q =偽=1,%=5(。4一。3)，仇=4(仇一4).(I)求也和也的通項(xiàng)公式：(II)記,的前項(xiàng)和為S”,求證：SS/2 <( eNf)； 止他,為奇數(shù)，(Ill)對任意的正整數(shù)，設(shè)C= 4求數(shù)列7的前2項(xiàng)和.“為偶

5、數(shù).6、【2019年高考全國n卷理數(shù)】已知數(shù)列“和瓦滿足，尸1,從=0, 4"e=3%-+4,劭向=32一勺-4.(1)證明："”+%是等比數(shù)列，0L右是等差數(shù)列：(2)求“和瓦的通項(xiàng)公式.7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列從中選取第八項(xiàng)、第七項(xiàng)第力“項(xiàng)(ii</2< .<»,),若4< <<%則稱新數(shù)列4,”為“的長度為小的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列融的任意一項(xiàng)都是“”的長度為1的遞增子列.(1)寫出數(shù)列1，8, 3, 7, 5, 6, 9的一個(gè)長度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列(m的長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為4人，長度

6、為夕的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為4%.若，求證：；(3)設(shè)無窮數(shù)列”“)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若”的長度為s的遞增子列末項(xiàng)的最 小值為2尸1,且長度為s末項(xiàng)為2尸1的遞增子列恰有2,"個(gè)(al, 2,)，求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.8、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)q是等差數(shù)列，4是等比數(shù)列.已知a1=4, 4 = 6, 4 = 2a2 - 2,仇=2% + 4.(I)求也和的通項(xiàng)公式：fl 2k <n< 2a+,(H)設(shè)數(shù)列c滿足q=l,%=< 其中攵eN,4， = 2 ,(i)求數(shù)列%七1)的通項(xiàng)公式；2"(ii)求£qq i=i9、【

7、2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列(1)已知等比數(shù)列“”(!<)滿足：。2%=%，4%+4%=0,求證:數(shù)列“為“M-數(shù)列”:122(2)已知數(shù)列如(£N*)滿足：4=1，不=廠一廠一，其中S為數(shù)列瓦的前項(xiàng)和.求數(shù)列加的通項(xiàng)公式：設(shè)，為正整數(shù)，若存在"M數(shù)列”c”（eN.）,對任意正整數(shù)k,當(dāng)49?時(shí)，都有或川成 立，求小的最大值.10、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列勺的前項(xiàng)和為S,，2= 4，% = S3,數(shù)列與滿足：對每個(gè) e N'S” +% +b： +b” 成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列為,"的通項(xiàng)公式；（2）記c

8、=e N 證明：q+C2+c <2而, eN*.11、【2018年高考全國n卷理數(shù)】記S 為等差數(shù)列q的前項(xiàng)和，己知q=一7, 53=-15.（1）求4的通項(xiàng)公式：（2）求S，并求S的最小值.二年模擬試題題型一、數(shù)列中的證明或不等式問題1、（2020浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列對的前項(xiàng)和為S，且=1, “ =77+JR （ w N *，且2 2 ）（1）求數(shù)列q的通項(xiàng)公式；11113（2）證明：當(dāng) N2時(shí)， + + + + <-ax 2a2 3%22、（2020屆浙江省之江教育評價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）已知數(shù)列4滿足q=1,%=3,正項(xiàng)數(shù)列2 滿足號=（ 

9、3;），且也是公比為3的等比數(shù)列.（1）求。3，“4，%，。6及勺的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)S “為%的前項(xiàng)和，若S >2019恒成立，求正整數(shù)的最小值。.3、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）設(shè)S ”是等差數(shù)列“的前項(xiàng)和，其中q=l,且C（eN）an（I）求義的值，并求出數(shù)列q的通項(xiàng)公式：（H）設(shè)2=/，求證："+2+4.(2020屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬)數(shù)列也中，6 = 1, a?=；,且勺1 = £"(eN"、n > 2).(1)令/()=一一二：.(£,22),將/()用表示，并求可通項(xiàng)公式； 叫1+1( 1 叫J

10、7令7； =T卜聯(lián),求證：Tn< .65、(2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列%的前項(xiàng)和滿足S“ >1,且 6Sn = (。 +1)(% + 2), e N*(1)求死的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列2滿足(24 - 1) = 1,并記7；為色的前項(xiàng)和,求證：37； + l>log2(+3),nN*題型二、數(shù)列中的參數(shù)問題1、(2020屆浙江省溫州市高三4月二模)已知數(shù)列%滿足：勺=<,(eN*)若正整數(shù)之5)使得裙+短+ 4：成立，則&=()A. 16B. 17C. 18D. 19 2、(2020屆浙江省寧波市嘟州中學(xué)高三下期初)己知數(shù)

11、列滿足=1,%+4=/+2%+1,則使得J'ZoiO -2最小的整數(shù)，”是()A. 65B. 64C. 63D. 623、(2020浙江省溫州市新力量聯(lián)盟高三上期末)已知數(shù)列4滿足：=，若對任意的正整數(shù)，都有4 3,則實(shí)數(shù)。的取值范圍()A. (0,3)B. (3,笆) C. 3,4)D. 4,+oo)4、(2020屆江蘇省南通市如皋市高三下學(xué)期二模)已知等比數(shù)列q的前項(xiàng)和為S，若廣=" = Q，S. 4039且4s3, 3s2s5成等差數(shù)列，則滿足不等式不的的最小值為.Cl”5、(2020屆山東省泰安市高三上期末)已知等差數(shù)列«,的前，項(xiàng)和為S,%+%=12,S4

12、=16.(1)求”的通項(xiàng)公式：數(shù)列4滿足，=一下，為數(shù)列也的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，* (1止3),使得43 一 11=3(？若存在，求出小，k的值：若不存在，請說明理由6、(2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列%的前n項(xiàng)和為S，己知4S”?z+2a ( e N)(1)求證：數(shù)列4是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式4設(shè)數(shù)列色的前n項(xiàng)和為7；,且勾=,若義方v + (1)2對任意 £N都成立，求實(shí)數(shù)幾的取值范同7、（2020浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）在數(shù)列”中，。=1,生=3,且對任意的都有%+2 = 3% - 2an.（I）證明數(shù)列。,川一可是等比數(shù)列，并求數(shù)列4的通項(xiàng)公式：2&qu

13、ot;1（II）設(shè)，=力一，記數(shù)列色的前項(xiàng)和為S”，若對任意的 EN都有S“之丁+ ?，求實(shí)數(shù)”的取 值范圍.題型三、數(shù)列中的新定義型問題1、（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三9月月考）若無窮數(shù)列q滿足：只要ap=ciq（p、qGN"）,必有'+1=與_,則稱“具有性質(zhì)夕.（1）若“具有性質(zhì)尸，且=1，4=2,4=3,% = 2, 4 + %+的=21,求內(nèi)：若無窮數(shù)列也是等差數(shù)列，無窮數(shù)列5是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，4=6 = 1，H=G=81,/判斷4是否具有性質(zhì)。，并說明理由：（3）設(shè)也是無窮數(shù)列，已知4+產(chǎn)a+sina”（£N）求證：“對任意

14、",4都具有性質(zhì)P”的充要條 件為“2是常數(shù)列二2、（2020屆江蘇省南通市如皋中學(xué)高三下學(xué)期3月線上模擬）如果無窮數(shù)列，滿足條件：”產(chǎn) 存在實(shí)數(shù)M,使得“脛M,其中ncH,那么我們稱數(shù)列“"為0數(shù)列.（1）設(shè)數(shù)列出"的通項(xiàng)為如=20- 2",且是0數(shù)列，求M的取值范圍：17（2）設(shè)c“是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，S是其前“項(xiàng)和，C=一，S3=-,證明：數(shù)列8是。數(shù)列; 44（3）設(shè)數(shù)列4J是各項(xiàng)均為正整數(shù)的。數(shù)列，求證：4號4r.解析附后考點(diǎn)20數(shù)列的綜合運(yùn)用1、【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和2",eN）按照從小到大的順序排列構(gòu)成4，在數(shù)列1

15、4中，2$前而有16個(gè)正奇數(shù)，即g =25,須=26=1時(shí)，$=1<12%=24 ,不符合題意；當(dāng)=2時(shí)，S2=3vl2%=36 ,不符合題意；當(dāng)=3時(shí)，53=6<12«4=48 ,不符合題意；當(dāng)=4時(shí)，當(dāng) ”=26 時(shí)54 = 10<126/5=60, 不 符 合 題 意s 廠.0-4%2二（J2 ）=卸+62 = 503、=516 ，不符合題意：當(dāng) «=27 時(shí)， 21-2-S27 = >*43）+ -X（2）= 484+62=546,12a2, =540，符合題意.故使得S“> 12。用成立的的 21 2最小值為27.2、【答案】C【解析

16、】由知,序列q的周期為?，由已知，機(jī)=5,1 、C(k)=工>。化”卜=1,2,3,4 5 r.i對于選項(xiàng)A,C=；Z 44+1 = 7(囚出 + 生。3 +。3。4 +。4。5 +) = (1+° + ° + 0 + °)= 41112C(2) = £Z"4+2 =+a2a4 +。3% +。4。6 +。5。7)= £(。+1+°+1+°)=,不滿足:i.)D對于選項(xiàng)B.1 51|3C=Zq+i = 73必2 + a2a3 + a3a4 + 44as + asa6) = -(l + 0 + 0 + l + l

17、) = -,不滿足;3d33對于選項(xiàng)D,1112。=二£+1 = z+ a2a3 + 4% + % += -(l + O + O + O + l) = -t 不滿足:3 M 333故選：C3、【答案】（I）詳見解析：（H）詳解解析：（HI）證明詳見解析. a 2 9【解析】（I） g = 2,弓=3，, = 5金Z.%不具有性質(zhì)：22（II）V ViJ e N，i >j,匚 *,21 e N .,里=e_./具有性質(zhì)： 勺%.2 V” eNn>Bk = n-1J = -2,生=2（2*-/M = 2"" = a,n：.an具有性質(zhì): al（III）【解

18、法一】首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然尸0（N*）,假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)N°=max山q<0,第一種情況：若& = 1,即vOvq V/D可知：存在，叫，滿足。叫士。,6存在啊，滿足am, = - < 0 t由N0=l可知二>=，從而的=。叮數(shù)列的;Ik盾,候設(shè)不成立.% q -2第二種情況：若N0N2,由知存在:實(shí)數(shù) ？ .滿足量=%<0,由No的定義可知：mW N。, a另一方面，加=.>% = q 由數(shù)列 單調(diào)性可知：機(jī),N°.這與N。的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)

19、同號.2其次，證明% = :©利用性質(zhì):取 =3,此時(shí)。3='（攵>/），由數(shù)列的單調(diào)性可知4 > q > 0 ,而。3 = % ,二 > 4 ,故 v 3 ,4此時(shí)必有k = 2, / = 1,即 =歪，4最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列,的前M欠之3)項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)4 =aqi(l«s«Z),其中<4>00>1, (6<0,0<夕<1情況類似)2由可得：存在整數(shù)"滿足4 =一=。q'>外 ,且。析=。闖 >(*)%2由得：存在$>，淺足：

20、&_=% =. &>，由數(shù)列的單調(diào)性可知：/ <s<k + . q 2由凡=4聞可得：,7 =&_ = q/、T-1 >'=I(*)由(*)和(*)式可得：axqk > a.q2-1 >,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：k>2s-t->k-，注意到S",次均為整數(shù),故 = 2-1,代入(*)式，從而4川=佝八 總匕可得，數(shù)列%的通項(xiàng)公式為： 即數(shù)列%為等比數(shù)列.4、【答案】(1) 11,77 = 134-2,“N2（3） 0<2<1【解析】(1)1=幾4川/ = 1，r 02 = 1（2）: 4r >

21、; 0. Sz > Sn S" 一s2 >。. j S，）2 =s，） j+s，） 1- sj -V =（sj + sj）sJ=2S）Se=4S. Sn = 41 .% =41-47= 3.41 2 21, = 1 ati =,34-2,“N2（3）假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列%為“ X3 ”數(shù)列.sj-s） = AaJ （s. j S）3 =分+1 S"） s. j = s j 或（s/- S加=萬 j+S j） - S“+i = S”或（萬_i）s“j +（才 _）sj + （萬 + 2）SnJs） = 0 對于給定的,存在三個(gè)不同的數(shù)列%為“丸一3”數(shù)列，且勺之

22、。1,77 = 122I 1'" =0, 2 2或電/ +（萬- 1）Sj+ （萬+ 2）s”/s=op W 1”泗個(gè)不等的正根（23-1）5,j+J+（23-1）V +（萬 +2）S“jsj =0（4 * 1）可轉(zhuǎn)化為宜平1 +肉-1） + 上=。（什1）,不妨設(shè)SS, （A3-l）x2 +（/P + 2卜+（分- 1） = 0（/1 W1）有兩個(gè)不等正根，設(shè)f （x） = （/P _ 1）/ +（%3 + 2）工+（43 - 1）= 0（2 W1）. 當(dāng)4<1 時(shí)，A = （23 + 2）2-4（23-1）2 >0=>0<23<4 ,即0&l

23、t;X< 1,此時(shí)/（0）=元一 1 <0 ,（萬 + 2）2（分一 1）>0,滿足題意. 當(dāng) 4>1 時(shí)，4 =(義3+2)24(義3一1尸 >0 = 0<23 <4,即 1<%<斕，此時(shí)/(0)= 23-1>0, /廣-，：？ vO,此情況有兩個(gè)不等例根，不滿於越二二?;；. 2( A 1)綜上，0<4<15、【答，:】-I)/=，4=2"t： (H)游明見解析；(HI)46/7 + 5 42/1 +1 9x4 9【解析】(I )設(shè)等差數(shù)列凡的公；為"，等比數(shù)列色的公比為外 由 =1, %=5(。4

24、一&3)，可得 4=L從而收的通項(xiàng)公式為勺= 由4 =1也=4(_么)，又q*0,可得q24q + 4 = 0,解得仆2,從而的通項(xiàng)公式為2=21.(II)證明：由(I)可得§=笑3故 SW+2 = :( +1)( + 2)( + 3), S3 = ；( +1>( + 2)2,從而 5£,+2-5*=-1( + 1)( + 2)<0, 乙所以ss+2<sL.(III)當(dāng)，奇數(shù)時(shí)，q =,4+2( + 2) n + 2 n(3an-2)bn (377-2)2"", 2M 21當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，, %2對任意的正整數(shù)，有22女222a=i

25、x=i2k + 2122”-1,2/1 +1"135和"+2 - 3 2 -1; +4一14",13 5由心w4=不+不+/+2+安44-3 “122由得咚“&A+椅1 2n -1 156+ 5x 444 12 3x4d+,由于一組144 川 3 3 41 4白 5 6 + 5 從而得：?”二廠行.4"6 + 5 42w + l-9x4n "92nnn因此，Zq=Zc2l+ZA = IIJ所以，數(shù)列cj的前2項(xiàng)和為4n 6/1 + 5 42/7 +1 9x4 96、【答案】（1）見解析：（2） 4=7 + -1,"=二一+ L

26、 T 2 T 2【解析】（1）由題設(shè)得4（“,出+”“）= 2（%+2），即qm+%=（“+2）.又因?yàn)?quot;汁仇=1,所以4+2是忤項(xiàng)為1,公比為I的笠比數(shù)列.由題設(shè)得 4（。% ） = 4（% - "）+ 8 ,即 a»f = an-bn+2.又因?yàn)?，nT»=l,所以qf-是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，an +hti =下p , an -bn = 2n-1.所以 4= ;(% + a)+乙乙乙hn = ； (% +" ) - 3“ - a) = : + ；7、【答案】（1）135,6 （答案不唯一）:（2）見解析;（3）見解

27、析.【解析】（1） h 3, 5, 6.（答案不唯一）（2）設(shè)長度為夕末項(xiàng)為4%的一個(gè)遞增子列為4,4,/%，冬由<夕，得凡<at, <n .因?yàn)?的長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為a恤，乂4a ,4是q的長度為的遞增子列，所以q <ar . b rP所以。叫,<”<3）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是q中的項(xiàng).先證明：若2?是qj中的項(xiàng)，則2?必排在為-1之前（?為正整數(shù)）.假設(shè)2”?排在2l 1之后.設(shè)a，a.,2?-1是數(shù)列4的長度為,»末項(xiàng)為2nLi的遞增子列，則 I <2J mH金嗎嗎3，27-12是數(shù)列q的長度為計(jì)1末項(xiàng)為2?的遞增子列.與

28、已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是4中的項(xiàng).假設(shè)存在正偶數(shù)不是q中的項(xiàng)，設(shè)不在”中的最小的正偶數(shù)為21.因?yàn)?女排在2kT之前31, 2,，m-1）,所以2k和2%-1不可能在凡的同一個(gè)遞增子列中.*4中不超過2m+l的數(shù)為1, 2,2l2, 2m-it 2什1,所以“的長度為?+1且末項(xiàng)為2?+1的遞增子列個(gè)數(shù)至多為2*2*2*、2*1、1 = 2"川2叱（m-l）個(gè)與已知矛盾.最后證明：2?排在2/-3之后522為整數(shù)）.假設(shè)存在2？（*2）,使得21排在2?-3之前，則q的長度為葉1且末項(xiàng)為加+1的遞增子列的個(gè)數(shù)小于2?與已知矛盾.綜上，數(shù)列4只可能為2, 1, 4, 3,2l3

29、, 2m, 2m-經(jīng)驗(yàn)證,數(shù)列2, 1, 4, 3» .» 2m3, 2m, 2/n-l,符合條件.所以 + 1,“為奇數(shù), -1,為偶數(shù).8、【答案】(1 ) ""=3 + l ； 4=3x2" ( 2)( i) %(%-1) = 9x4“一1 ()2*6q = 6 + 2d, 6/= 12 + 4%Zqq ( e N)= 27x22n +5x2/,-,-h-12 <=i【解析】 放列q的 為d，等比數(shù)列也的公比為夕.依題意得，4 = 3%“=4 + ( l)x3 = 3 + l，a=6x2T=3x2”.Sl = 2,所以，q的通項(xiàng)公式

30、為為=3 + 1, 么的通項(xiàng)公式為么=3x2.<2)(i) 4nq-1) = %色I(xiàn)) =(3x2+l)(3x2l) = 9x41所以，數(shù)列a#（c# 的通項(xiàng)公式為卜邛- 1） = 9x4一L2H n(ii)z“£=Zd + q (q f=+Z4 (s-1)1=11=12“(2一1)2nx4 + x3 +*9x4) 3=(3x22,-1+5x2,i)4-9x4-=27x221+5x2”-i 一 12(/? e N*j.9、【答案】（1）見解析：（2）加=（eN）：5.【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列一“的公比為q,所以41割，依）.rlH，得% -4a2 +4q = 0 ， 44a

31、q = %qac/2 _4qq + 4q =0，解得因此數(shù)列“為"M數(shù)列二122（2）因?yàn)椴?廠一廠，所以1 2 2,得：=了.廠，則2=2.11 IJ、.h =_2_ 谷s = ""is. bn %'*" 2（%-"）'當(dāng)”-b-得以=船廠或整理得27+勾7=叫.所以數(shù)列加是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列（仇的通項(xiàng)公式為加=（ eN）由知，l"=k, keN”.因?yàn)閿?shù)列6為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為%所以門=1, q>0.I川為以9K火+i,所以qi W攵4/ ,其中女=1，2, 3, .» m.

32、當(dāng)k=1時(shí)，有*1；"很=2, 3,，耐，！電勺.k k 一1設(shè)?。?地（X>1）,則廣（加匕學(xué)X廠/'。）= 0. K=c,列發(fā)如下:X（Le）e（e» 一x）.fXx）+0/（X）極大值ar T . In 2 In 8 In 9 In 3一、In 3因?yàn)橐籸 = 丁丁 = ，所以/（）nwc=/（3）=：- 2oo33n k?。? =小,當(dāng)k=L 2, 3, 4, 5時(shí)，Wlnq,即AWq", k因此所求，的最大值不小于5.若論6,分別取k=3, 6,得3罰,且擇6,從而才看243,且q"£216, 所以夕不存在.因此所求所的

33、最大值小于6.綜上，所求的最大值為5.10、【答案】""=2(-1) "=( + 1)：證明見解析.【解析】(1)設(shè)數(shù)列4的公差為,由題意得ai + 2d = 4, q + 3d = 3% + 3d ,解得 =0,4 = 2 .從而 an = 2 一 2, £ N* .所以S“=2-，n e N* >由Sn +&S- +%S.2 +bn成等比數(shù)列得(Sm+4)2=(S.+2)(Sm+2).解得"=;(S£+2).所以 a=2+，“ eN二c / an I 2 - 2/ n 1%(2) cn = i= /./? e N .

34、"N 2b“ 2/1(77 + 1) V( + l)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.(i)當(dāng)=1時(shí)/c=0<2,不等式成立;(ii)假設(shè)=攵(£1<)時(shí)不等式成立，即4+£2+-+/<24.那么，當(dāng)=攵+ 1時(shí)，2«+總+«q+q+q+%a24+Ja+；+2；<2«+忘 =2 + 2(>/m «) = 27FTT .，當(dāng)=女+1時(shí)不等式也成立.根據(jù)和(ii),不等式q+g+%<2新對任意 eN*成立.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算（I）正項(xiàng)數(shù)

35、列也卜芮足務(wù)="向（mN，）,且以是公比q為3的等比數(shù)列,可得4=/2=3 ,則b"=3", 。“%+1=3"，可得% = g = 3,44 = 2 = 9,% =1=9,6=§ = 27,當(dāng)心2時(shí)，q-4=3，又。,"用=3"，:相除可得&出=3，叩數(shù)列的奇；I項(xiàng)均為公比為3的凈比數(shù)列,可得% =13 2，為奇數(shù)31為偶數(shù)（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，S=（q +% + +，_】）+（，% +4 + + ）1 + 3 + 3n-2 ，亍+ 3 + 9 +!L 1-3232 =1-31 t=-32-131-1 =231-2,由2

36、35-2>2019，解得"I-一1一 1/ n3 1-3271-3、匕為奇數(shù)，S =5 ,+« =2x3-2 + 3 =3II I II+1亍2,由 3. 3 2 > 2019'解得"A3，綜上可得%=13.3、【答案】（I ）丸=；,%=： （II）證明見解析.【解析】（I）解：令 =1,則一=%。2，則，= , ASr1令 =2 ,則二 = 4%,得。3 = 1 + ，生2r1+,4T 123C+鏟+不+ +土次=*>(+ 27+ 1 + 1/三+¥+33/7-1+31+ 7 3 3n+,371-1J；23T 3 2+ 34

37、33 2 + 53 _ 2/2 + 343”.1為遞增數(shù)列，即7； 2 7；=,.仿+% + 4成立.【解析】ji = (2)證明見解析.(1):數(shù)列a中，4=1, %=；| 也= -(eN*,之 2). 凡 一口,；"“為等差數(shù)列，2a2 = + %，: an = a + (n 一 )d = n ,|，數(shù)列4的通項(xiàng)公式為4 = n (II)證：由題意得打=：2時(shí),1n1可得q =5 一 6n = 2時(shí)成立.)11 If 11 )(2)證明：之3時(shí)，4 -(5一6)2 < (5- 11)(5-6) 才 5一 11 5一6)7；,<1 + + -16 5fill 1+-f-

38、 -f-U 9 9 145 一 1116 207 綜上可得：Tn<-. o 5、【答案】冊=31 (2)見解析【解析】(1)由=S=,a+i)(e+i),結(jié)合<=號>1,伏毗=2 6由勺+1 = S“+S“ = : (q* + l)(6/n+1 + 2) - ： (% +1)(4 + 2) oo得(%+()(% -4-3) = 0,又4>°，得4小一。=3從而為 是首項(xiàng)為2公 為3的等差數(shù)列,故/ 的通項(xiàng)公式為4 =31(2)由4(24-1) = 1可得"=1082.從而3n-lT I /3 63人題句W3)3=。式浴= 1叫尺)Y)3 . .(”力

39、 2 5 3n -123/z -133 + 1 3 + 23/1-133/i +1>>, 3n ,3 3/1 + 1 3n + 2()>3/1-1 3n -1 3n 3n +1于是%=地磅令.（熟力>3 + 1 3 + 2、i 3/1 + 2 -) = log.33/7 + 1- 2，37； +1 > log2（3n + 2） = log2（6/zi + 3）題型二、數(shù)列中的參數(shù)問題1、【答案】B【解析】 當(dāng)心6時(shí),。什i = %氏一1 =（，即。:=。川一4 + 1，且4=31.故緣2+%2+ qj=(%_&)+(4-%) + +(a+|_qJ+_5 =

40、 qr+|_a6+_5,+生+ + =+ A 16 =怎7 +1,故k = 17.故選：B.2、【答案】B【解析】7C1因?yàn)?anan =q + 2?！?+ 1，故可得 +1 = "" + 2 + )， va = >Q,:.an >0,當(dāng)。之2時(shí),4 =(q 一 4,1)+(4I 一 凡-2)+ +(曲- 4)+42 - 1 + + | > 2/2 ,14 %所以 a2020 > 4040 ,所以料020 >63.5 ,r f - ;(。+1) I I-;H 冊+l =+1 . jan = -f= < -f= j -=： < =_=

41、 yj2n - 42)1 2, n > 2yJ2n + y/2n- 2J。第 20 =f + ( 一 ) + +(力&2020 .<2 + 5/4038-A/2<64.5所以使得|叫最1、的片:數(shù)機(jī)是64故選:B.3、【答案】B【解析】5q-8 5（q一1） 一 33=;-=5-r（q4一14 74 T又）=5 -在區(qū)間（3, y）上單調(diào)遞增, X-1，4+ >an=a>3，數(shù)。的取值范圍（3,+co）, 故選：B.4、【答案】12【解析】因?yàn)?s3, 3s2s5成等差數(shù)列。所以等比數(shù)列的公比“Hlax aq _ 2q+qq 3,< ,q=l,q =

42、 2.6 .空匕2 = 4 .空匕處+ 2空匕2i-qS“ 4039因?yàn)? > 20201-2"，所以1一22"一因?yàn)?=11 時(shí)，2im =210 = 1024 <2020 =12 時(shí)，212"1 =2U =2048 >2020.所以"的最小值為12.故答案為：125、【答案】（1）4= 2n-l,nwN* （2）存在，7 = 2次=12【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列q的公差為d.a. +a. = 12.$4=16 得ax = 1c/=2'2a. +5d = 1212%+3d=8,解得| . q, = 1 + 2 ( - 1) =

43、2 - 1, w N. ：/(/-I),1 2 1Sn =n + x 2 = -，2- 2 +J=2 + l, k 3nr3一若乙=37；，則無七二；一-r,整理得k=：2攵+ 1 (2/n + l)4加 + 1-2/3m22m2 - m -1八r > 7,r > 04m +1 - 2nr ,整封行4？ +1 - 2nr , in > 1m > 1< in e N.，J 7 = 2 ,k = 12,二存 ？ = 2次=126、【答案】(1)見證明：(2) (一。一2)【解析】(1)證明: 4S“ = q； + 2an,且為 > 0,當(dāng)九=1 時(shí),4% =；+

44、2%,解得 =2 .-'1 2 2 時(shí)，有 4sz = <i + 2。小即 4s“一 4sz = Y -+ 2ab 2a, 4% = a； - a：7 + 2% - 2-于是 a； - a3 = 2an + 2az .即(41 + /T)& 一T)= 2(% + 41T).:冊+>0, A4一冊7= 2(N2)為常數(shù).4是2為濘項(xiàng)，2為公關(guān)的等差數(shù)列，.%=2.（2）由（1）可得:, 1 1 1；r - 71(/2+ 1) " 77 H+Tn+ n+./T； < + (1)” 2 ,即 - 2 v + (-1)” 2 對任意 n e N 都成立 &l

45、t;心 + 1) + (-1),，25 + 1) bd = PD =、M = 6, V 2-Jmm當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，4<.( + 2)(" + 1).恒成立, n令人)=( + 2)( + 1)= + 2 + 3, nn/（）在 wN上為增函數(shù)，”/（AG當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，4v上。恒成立，又止2）（7）=/二易知：/（）=八_2住八fV nnnn為增函數(shù)，/（«）n»n =/（1）="2由可知：2<-2綜上所述2的取值范圍為：（f, -2）7、【答案】（I ）見證明：（II ） ?4-1 3【解析】（I）由 41+2=347-2% 可得%+2 - 4Hd =2（凡.一凡）.又 =1, 4, =3,所以出 一4 =2。，故N- = 2.-。向一勺所以川一勺是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以q5一% = 2.所以/=%+(。2-4)+(勺-4-1)=1 + 2+2?+2 =2一1.（2