曲面的第二基本形式在曲面論中的作用

1、曲面的第二基本形式在曲面論中的作用1引言為了研究曲面在空間中的彎曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲而與切平面的有 向距離的兩倍，從而刻畫了曲面離開切平面的彎曲程度，即曲而在空間中的彎曲性，并且與曲而的 第一基本形式共同構(gòu)成了曲而論的基本定理.從而確定了曲而一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)與形狀.由此可見曲面的第二基本形式在曲面論中的作用舉足輕重，同時(shí)由它引出的曲而的幾何性質(zhì)又 是曲面論中的難點(diǎn).本文將主要通過對曲面的各種曲率(如法曲率，測地曲率，主曲率等)，曲而上 的各種特殊曲線(如漸近線，曲率線等)和曲線網(wǎng)(如曲率網(wǎng)，共匏網(wǎng)等)，曲而上點(diǎn)的類型(如橢 圓點(diǎn)，雙曲點(diǎn)等)等內(nèi)容的討論舉例來闡述曲面的第二

2、基本形式在曲面論中的作用.2曲面的第二基本形式定義曲面的第二基本形式類曲而S:不=，曲線(C)：了=u(s),y(s) = “s) (s為自然參數(shù))為S上過一固 定點(diǎn)尸的曲線，乃為S在P點(diǎn)的切平而，萬為曲面在尸點(diǎn)的單位法向量，則n- rds2 = fi- riadu2 + 2n - fiadudv+n rvdv2( 1 )令L = * 萬，M =rw-n , N = %,五(2)則(1)式變?yōu)镮I =n d2r=n-d2r = Lehr + IMdudv + Ndv2( 3 )稱之為曲面的第二基本形式，它的系數(shù)L、例、N稱為曲面的第二類基本量.中網(wǎng)-83)它就近似等于曲而到切平而有向距離的兩倍

3、.此外，對關(guān)系式”力二。微分得dii-df + ri = 0所以曲而的第二基本形式也可寫為II =n-d2r = dii- dr .一般來說曲而第二基本形式的這種表達(dá)方式主要應(yīng)用于曲而相關(guān)性質(zhì)的證明.計(jì)算曲面的第二基本形式由于曲面的單位法向量同一Rx. Jeg-f2，代入（2）中得L = 5 =所以根據(jù)以上公式來計(jì)算曲面的第二基本形式.例1 ”,算球而=Rcoscos°,Rcosesin0,Rsine的第二基本形式.解 球而方程為了=RcosecosaRcos8sin0,Rsine,所以有rQ = -Rcos Osin 0, Heos Ocos 0,0 , re =-Rsin6cos

4、a-Rsin6sin0,Rcos，于是得所以又所以因而3法曲率法曲率E = f9=R2 cos26>,尸=%0=0， G = r0rd=R2EG-F2=cos 6cos cp, cos 6sin (p, sin 8友=-R cos 夕 cos a-R cos 夕 sin 0,0% =/?sin，sin°,-Rsin9cos0,O% =-Rcosecosa-Rcos，sin0,Rsin，,L = &方= -Rcos_ 6,萬=°，N = %."=-R/=-(/? cos2 6> + -/?).設(shè)（C）：了=（5）#（5）=尸（s）為曲而S上經(jīng)過一

5、固定點(diǎn)P的一條曲線.k為曲線（C）在P點(diǎn)的曲率，8為6和河間的夾角則有, c II UlJ + 2Mdudv + Ndv1,、k cos 0 = =?。?4 ）I Edir+lFdudv + Gdv1對于曲面上的法截線（C0）有用=土無，夕0=0或4，cos8 = ±l所以它的曲率,"。=7于是我們將,II Ldd+2Mdi，dv + N??；、k= =；r（ 5 ）"I Edir +2Fdudv + Gdv2稱之為曲面在一點(diǎn)沿所取方向的法曲率.58T59）11>0時(shí)，鼠=k0 ,法截面朝切而的正向彎曲：HV0時(shí)，k“=k。,法截面朝切而的負(fù)向彎曲：口=0時(shí)，

6、k*=k0=O,法曲率和法截線曲率都等于零.例1求拋物面z = -（6M2 +hy2）在（0,0）點(diǎn)和方向（du : 小，）的法曲率. 2解拋物而方程為=< 3（加+忖）求得E = rx-rx=,尸=匕£=0, G = q（=lL = ii- rv v =a , M = ii- /:vv = 0 , N =ii-a=b所以_ II _adx2+bdy2k 八1 . ） . . Idr + dy-例2利用法曲率公式尤=與證明在球而上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、二類基本量成比例.證明 對于球面尸=R cos y cos h , R cos v sin R sin 可求得I = R2 co

7、s2 vdir + R2dv2, II = -/?cos2 vdir - Rdv2所以球而上任意一點(diǎn)P（%y）沿任意方向（d： du）的法曲率為t II LdiC + lMdudv + Ndv1 k =“ I Edu2+2Fdudv + Gdv2(RL+E)dd = 2(RM + F)didv+(RN + G)d? = 0 .又因?yàn)閷τ谌我环较?d)成立，故有RL + E = O(du = .dv = 0)< RM +F = 0(du = dv = 1)RN + G = 0( Jm = O,dv = 1) 所以L M N' 7梅尼埃(Meusnier)定理從(4 )式和(5)式得

8、kn = k cos 0 .R“=；, R為曲線（C）的曲率半徑，（為曲線（Co）的曲率半徑，則 K.R = R）. cos 0 .上式的幾何意義就是：梅尼埃（Meusnier）定理 曲而曲線（C）在給定點(diǎn)P的曲率中心。就是與曲線（C）具有共同 切線的法截線（G）上同一點(diǎn)P的曲率中心Q在曲線（C）的密切平面上的投影.“舊劃4曲面上的各種曲率主曲率及歐拉（Euler）公式既然曲而上曲線的曲率都可以轉(zhuǎn)化為法曲率來討論，那么我們有必要對法曲率隨方向變化的規(guī) 律進(jìn)行研究.定義在曲而上一點(diǎn)尸，法曲率的每一個(gè)逗留值稱為曲而在這一點(diǎn)的主曲率，而對應(yīng)主曲率的方向稱為曲面在此點(diǎn)的一個(gè)主方向.I2J(P164&g

9、t;主方向滿足方程（EM -FM）dir +EN-GL）dudv+FN-GM）d? = 0.主曲率滿足方程（EG-F2）k-,-（LG-2MF + NE）kN+（LN-M2） = O.曲面在非臍點(diǎn)處，由于主曲率方程的判別式（）,所以它有兩個(gè)不相等的實(shí)根，因而曲面上 非臍點(diǎn)處總有兩個(gè)主方向.在臍點(diǎn)處，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向.羅德里格（Rodrigues）定理 若方向（d）是主方向，當(dāng)且僅當(dāng) dn = -k/r ,/為曲面沿d）的法曲率.川3?）歐拉（Euler）公式：kn = k】cos2 0+k2 sin2 0e是任意方向（d）與u一曲線的夾角.山°°）歐拉（

10、Euler）公式告訴我們只要知道主方向，任何方向（d ）的法曲率都可以由方向（d ）和u 一曲線的夾角6來確定.而主曲率與法曲率有著下面的關(guān)系：命題如曲面上一點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲而在這點(diǎn)所有方向的法曲率中的最大值和最小 值.例1確定拋物面Z = a（x2 + 丁 ）在（0,0）點(diǎn)的主曲率.解 拋物面的方程r =卜,+ /）可求得在（0,0）處E = l, F=0, G = l； L = 2a, M =0, N = 2a把第一、二基本量代入主曲率方程（7）得（2，一底=0解得k = k2 =2a .例2證明在曲而上給定點(diǎn)處，沿相互成為直角的方向的法曲率之為常數(shù)2H.證明設(shè)該點(diǎn)相互成直角方向的

11、法曲率分別為切和如工則由歐拉公式得kn = k cos2 0 + k2 sin2 0所以k： =k、cos- 0 + k2sin20 + =k1 sin2 0 + k2 cos2 6kn + k； = k、+k= 2H .高斯（Gauss）曲率和平均曲率若占，&為曲而上一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，則它們的乘積K網(wǎng)稱之為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率 （Gauss）,通常以K表示，它們的平均數(shù);6+心）稱之為曲而在這一點(diǎn)的平均曲率，通常以H表 示 |2|（P174）根據(jù)主曲率的方程（5 ）利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得LN-M?EG F?LG 2MF + NE2（EG-F2）因而主曲率的方程也可以表示為ki

12、-2Hkx + K =0.例1求正螺面r =ucos%屋siriRau的高斯曲率和平均曲率.解 由正螺而方程尸= cos v, u sin v,«v得£ = 1, F = 0 > G = ir +crL = ii ruu = 0 , M =n ruv = -a , N =五容=0 因此LN-M2 _ a2=EG-F2 LG 2MF + NE 0 八2（EG-F2）2（i/2+«2）例2如果曲面的平均曲率為零，則漸近線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng).證明因?yàn)榍娴钠骄蔐G-2MF + NE 八n = = 02（反7-尸）所以LG-2MF+NE=0設(shè)曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為漸近線網(wǎng)

13、，則L = N = O于是M尸=0,即尸=0（若M=0,則曲面上的點(diǎn)為臍點(diǎn)）所以曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)，即漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).5曲面上點(diǎn)的類型杜邦（Dupin）指標(biāo)線為了研究曲而上一點(diǎn)P處法截線的法曲率的關(guān)系，在點(diǎn)P的切平而上取點(diǎn)P為原點(diǎn)，坐標(biāo)曲線為法曲率半徑的絕對值,在P點(diǎn)的切向量ru和rY為基向量，kn為對應(yīng)方向（d ）的法曲率為,過點(diǎn)P方向（4）畫線段PN,使其長度等于,對于切平而上所有方向，點(diǎn)N的軌跡稱為曲而在點(diǎn)P的杜邦（Dupin）指標(biāo)線.川3H杜邦（Dupin）指標(biāo)線的方程為Lclx1 + IMdxdy + Ndy2 =±1.曲面上點(diǎn)的分類利用杜邦（Dupin）指標(biāo)線可以對曲面

14、上的點(diǎn)進(jìn)行分類，同時(shí)也可以通過一點(diǎn)的高斯曲率K來對 曲而上的點(diǎn)進(jìn)行分類（如表52）. 13"時(shí)表52類型LN-F1K杜邦（Dupin）指標(biāo)線橢圓點(diǎn)>0>0橢圓雙曲點(diǎn)<0<0雙曲線拋物點(diǎn)=0=0拋物線E F G/臍點(diǎn)：了=方=石，其中圓點(diǎn)：（L,N）H（0,0,0）,平點(diǎn)：L = M =N=0.例 求曲面下=:,/,+1，上的拋物點(diǎn)的軌跡.解由產(chǎn)=產(chǎn), +可得E = 4w2 + 1, F = b G = 9v4+1L = 6/，M=0, N = 12u令LN M? =if = 0 或 v = 0所求拋物線的軌跡為彳=/,o,u,q =o,2,.6曲面上的特殊曲線

15、和曲線網(wǎng)曲率線及曲率網(wǎng)定義1曲而上一曲線，如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向，則稱它為曲率線.”歐98)曲率線的微分方程為dv -dudv du'E F G =0.L M N定義2兩族曲率線構(gòu)成的曲率線網(wǎng)稱為曲率網(wǎng).川,財(cái)命題1在不含有臍點(diǎn)的曲面上，任何正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)都可以做成曲紋坐標(biāo)網(wǎng).|，|(/)99)命題2曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率網(wǎng)的充分必要條件是產(chǎn)="=0 .川99)例1確定螺旋而X = "COSU, y = usin v , Z = cu上的曲率線.解 螺旋面方程r =ucosy,u sin匕可以求得E = l, F = 0, G = ir+c2L = 0, M = C

16、> N = 0y/ir +c2由曲率線的方程得dv -dudv dir10 u2 +c2 =0化簡得, du±av =.lu2 +c2積分得in u + yju +c2 =±v + c所以曲率線為In u + y/u1 +c2 + v = q , In u + JiJ +c2 v = c2.例2若曲而S?交于一條曲線(C),而且(C)是S的一條曲率線，貝iJ(C)也是名的曲率線 的充要條件是S?沿著(C)相交成固定角.證明 設(shè)5, S2兩曲面的切向量為了,不，相交曲線(C)是一條曲率線.由羅德里格(Rodrigues)定理知 而=4"了.若(C)也是邑的曲率

17、線的充分必要條件為而2 =為斤=4辦為+%(4右)=40+4。=0 =瓦灰=常數(shù)。同同cos/伍,方2)=常數(shù)=/(%，4) = 4 (常數(shù))O沿(C)曲面S1, S2的夾角為定角.漸近曲線及漸近網(wǎng)定義1曲面S上一固定點(diǎn)P處，使11=0的方向稱之為曲而在點(diǎn)尸的漸近方向.川研93)定義2若曲面S上一條曲線(C)的切方向都是漸近方向，則稱其為漸近曲線.川'P93)定義3如果曲而上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)，則曲面上存在兩族漸近曲線，這兩族漸近曲線稱為曲而 上的漸近網(wǎng).MP")漸近曲線的微分方程為Lehr + 2Mdudv + Ndv2 = 0.命題1曲而上一條曲線為漸近曲線的充要條件是或者它

18、是一條直線，或者它在每一點(diǎn)的密切 平面與曲面的切平而重合.巧劃命題2曲而的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是L = N=O.川四)例1求曲而z = xy2的漸近曲線.解 由求曲而方程為尸=卜,)，,不，2得E = 1 + y4, F = 2冷"，G = 1 + 4x2y2L = 0, M =r, N =.1 + 4工-)廣+)-1 + 4”-)廣+)廣由漸近曲線的微分方程得21dy = Qdx+dy = 0x)'所以漸近曲線為y = cx 或 x1y = c2.例2證明每一條曲線在它的主法線曲而上是漸近曲線.證明 設(shè)曲線(C)：尸= «s),則主法線曲面5：尸=尸(5)+ %(5)對S微分得rs =7(s) + /