數(shù)學必修五1.1.1

1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理看書，翻頁的一瞬間，發(fā)現(xiàn)左手的手指甲長了，整個手略顯細長，迎著看書，翻頁的一瞬間，發(fā)現(xiàn)左手的手指甲長了，整個手略顯細長，迎著陽光一看，第一次發(fā)現(xiàn)自己的手也可以如此美妙！陽光一看，第一次發(fā)現(xiàn)自己的手也可以如此美妙！我欣喜的拿出存放了很久的指甲油，準備精心的涂上去，攤開兩手，準我欣喜的拿出存放了很久的指甲油，準備精心的涂上去，攤開兩手，準備比對著挑選一種適合的顏色，才發(fā)現(xiàn)，兩只手放在一起如此不協(xié)調。左手備比對著挑選一種適合的顏色，才發(fā)現(xiàn)，兩只手放在一起如此不協(xié)調。左手美麗、修長、甚至還有點俏皮；而右手粗短、皺巴、略帶滄桑，我嫌惡的看美麗、修長

2、、甚至還有點俏皮；而右手粗短、皺巴、略帶滄桑，我嫌惡的看了一眼右手，覺得是她拖累了左手的美麗，帶走了我這美麗心情。了一眼右手，覺得是她拖累了左手的美麗，帶走了我這美麗心情。指甲油到底是沒有涂上，因為我鄙夷這右手的丑陋，甚至覺得他不配這指甲油到底是沒有涂上，因為我鄙夷這右手的丑陋，甚至覺得他不配這美麗的色彩，可是只涂一只手顯然有些另類，估計會更顯得右手的粗笨，所美麗的色彩，可是只涂一只手顯然有些另類，估計會更顯得右手的粗笨，所以索性又把指甲油藏起來了，覺得如果右手不變的漂亮一點，我這輩子恐怕以索性又把指甲油藏起來了，覺得如果右手不變的漂亮一點，我這輩子恐怕都沒有信心再拿出這美麗的瓶瓶。都沒有信心

3、再拿出這美麗的瓶瓶。愛美是女人的天性，追求完美是每個人的天性。我自然也不能免俗，我愛美是女人的天性，追求完美是每個人的天性。我自然也不能免俗，我僅僅是期待自己的右手可以漂亮一點而已，卻發(fā)現(xiàn)很難。洗衣服，用力揉搓僅僅是期待自己的右手可以漂亮一點而已，卻發(fā)現(xiàn)很難。洗衣服，用力揉搓的是右手，切菜切肉，拿刀用力的是右手，拎東西、扶欄桿等也都是右手在的是右手，切菜切肉，拿刀用力的是右手，拎東西、扶欄桿等也都是右手在扮演著老大。扮演著老大。突然間，我覺得自己很可惡，一度很不屑外貌協(xié)會的作風，如今自己卻突然間，我覺得自己很可惡，一度很不屑外貌協(xié)會的作風，如今自己卻傾倒在里面不能直立，不可思議的是并非針對別人

4、，而是對始終陪伴自己辛傾倒在里面不能直立，不可思議的是并非針對別人，而是對始終陪伴自己辛苦勞作的一只手。第一次心疼的拿出右手來觀察，發(fā)苦勞作的一只手。第一次心疼的拿出右手來觀察，發(fā)1.1.正弦定理正弦定理在一個三角形中在一個三角形中, ,各邊和它所對角的各邊和它所對角的_相等相等, ,即即 =2R(R=2R(R為三角形的外接圓半徑為三角形的外接圓半徑).).asin Abcsin Bsin C正弦的比正弦的比2.2.解三角形解三角形(1)(1)定義定義: :一般地一般地, ,把三角形把三角形_和它們的對邊和它們的對邊a,b,ca,b,c叫叫做三角形的元素做三角形的元素. .已知三角形的幾個元素

5、求已知三角形的幾個元素求_的過程叫的過程叫做解三角形做解三角形. .(2)(2)利用正弦定理可以解決的兩類解三角形問題利用正弦定理可以解決的兩類解三角形問題: :已知任意兩角與一邊已知任意兩角與一邊, ,求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角. .已知任意兩邊與其中一邊的對角已知任意兩邊與其中一邊的對角, ,求另一邊的對角求另一邊的對角, ,進一步求進一步求出其他的邊和角出其他的邊和角. .三個角三個角A,B,CA,B,C其他元素其他元素1.“1.“判一判判一判”( (正確的打正確的打“”,”,錯誤的打錯誤的打“”)”)(1)(1)正弦定理只適用于銳角三角形正弦定理只適用于銳角三角形. .( ()

6、)(2)(2)在在ABCABC中必有中必有asinA=bsinB.asinA=bsinB.( () )(3)(3)在在ABCABC中中, ,若若AB,AB,則必有則必有sinAsinB.sinAsinB.( () )【解析】【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .正弦定理適用于任意三角形正弦定理適用于任意三角形. .(2)(2)錯誤錯誤. .結合正弦定理有結合正弦定理有asinB=bsinA.asinB=bsinA.(3)(3)正確正確. .由由AB,AB,得得ab,ab,由正弦定理由正弦定理2RsinA2RsinB,2RsinA2RsinB,從而有從而有sinAsinB.sinAsinB.答案答案

7、: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.“2.“做一做做一做”( (請把正確的答案寫在橫線上請把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)已知已知ABCABC外接圓半徑是外接圓半徑是2,A=602,A=60, ,則則BCBC邊長為邊長為. .(2)(2)在在ABCABC中中,a=3,b=5,sinA= ,a=3,b=5,sinA= ,則則sinB=sinB=. .(3)(3)在在ABCABC中中, ,已知已知a= ,sinC=2sinA,a= ,sinC=2sinA,則則c=c=. .513【解析】【解析】(1)(1)因為因為 =2R,=2R,所以所以BC=2RsinA=4sin 60BC=

8、2RsinA=4sin 60=2 .=2 .答案答案: :2 2(2)(2)由由 知知 即即sinB=sinB=答案答案: :(3)c= a=2a=2 .(3)c= a=2a=2 .答案答案: :2 2BCsin A33absin Asin B351sin B3，5.95.9sin Csin A55【要點探究】【要點探究】知識點知識點 正弦定理正弦定理1.1.對正弦定理的四點說明對正弦定理的四點說明(1)(1)適用范圍適用范圍: :正弦定理對任意的三角形都成立正弦定理對任意的三角形都成立. .(2)(2)結構形式結構形式: :分子為三角形的邊長分子為三角形的邊長, ,分母為相應邊所對角的正分母

9、為相應邊所對角的正弦的連等式弦的連等式. .(3)(3)揭示規(guī)律揭示規(guī)律: :正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應角的正正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式弦之間的一個關系式, ,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關系系. .(4)(4)主要功能主要功能: :正弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關系的正弦定理的主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關系的轉化轉化. .2.2.正弦定理的常見變形正弦定理的常見變形(1)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.(1)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC

10、=csinB.(2)(2)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比三角形的邊長之比等于對應角的正弦比, ,即即abc=sinAsinBsinC.abc=sinAsinBsinC.(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA= ,sinB= ,(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA= ,sinB= ,sinC= (RsinC= (R為為ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑).).(4)(4)a2Rb2Rc2Rabcabc.sinAsinBsinCsin Asin Bsin C【微思考】【微思考】(1)(1)由方程的思想由方程的思想, ,用正弦定理解

11、三角形時需要哪些已知條件用正弦定理解三角形時需要哪些已知條件? ?提示提示: :需要三個需要三個, ,任意兩角及其一邊或任意兩邊與其中一邊的對任意兩角及其一邊或任意兩邊與其中一邊的對角角. .(2)(2)在在ABCABC中中, ,若已知三個角若已知三個角A,B,C,A,B,C,可以解其他元素嗎可以解其他元素嗎? ?提示提示: :不可以不可以, ,在在ABCABC中中, ,必須有必須有“邊邊”的元素加入的元素加入, ,否則無法否則無法確定三角形的大小確定三角形的大小. .【即時練】【即時練】1.1.有關正弦定理的敘述有關正弦定理的敘述: :正弦定理只適用于銳角三角形正弦定理只適用于銳角三角形;

12、;正弦定理不適用于鈍角三角形正弦定理不適用于鈍角三角形; ;在某一確定的三角形中在某一確定的三角形中, ,各邊與它的對角的正弦的比是定值各邊與它的對角的正弦的比是定值; ;在在ABCABC中中,sinAsinBsinC=abc.,sinAsinBsinC=abc.其中正確的個數(shù)是其中正確的個數(shù)是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.2.已知已知b=6,c=9,B=45b=6,c=9,B=45, ,求求C,a,A.C,a,A.【解析】【解析】1.1.選選B.B.正弦定理適用于任意三角形正弦定理適用于任意三角形, ,故故均不正確均不正確; ;由正弦定理可知由正弦定理可知,

13、 ,三角形一旦確定三角形一旦確定, ,則各邊與其所對角的正弦的則各邊與其所對角的正弦的比就確定了比就確定了, ,故故正確正確; ;由比例性質和正弦定理可推知由比例性質和正弦定理可推知正確正確. .故選故選B.B.2.2.因為因為sinC= 1,sinC= 1,所以本題無解所以本題無解. .csin B9sin 453 2b64 【題型示范】【題型示范】類型一類型一 已知兩角和一邊解三角形已知兩角和一邊解三角形【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015鄭州高二檢測鄭州高二檢測) )在在ABCABC中中,AB= ,A=45,AB= ,A=45,C=75,C=75, ,則則BCBC等于等于

14、( () )A.3-A.3-B.B.C.2C.2D.3+D.3+(2)(2)在在ABCABC中中, ,已知已知a=8,B=60a=8,B=60,C=75,C=75, ,求求A,b,c.A,b,c.3323【解題探究】【解題探究】1.1.在題在題(1)(1)的的ABCABC中角中角A A和和C C的對邊各是什么的對邊各是什么? ?2.2.題題(2)(2)中如何求角中如何求角A?A?【探究提示】【探究提示】1.1.角角A A的對邊是的對邊是BC,BC,角角C C的對邊是的對邊是AB.AB.2.2.由由B+C+A=180B+C+A=180, ,得得A=180A=180-(B+C).-(B+C).【自

15、主解答】【自主解答】(1)(1)選選A.A.由正弦定理有由正弦定理有 得得BC=3- .BC=3- .故選故選A.A.(2)A=180(2)A=180-(B+C)=180-(B+C)=180-(60-(60+75+75)=45)=45, ,由正弦定理由正弦定理 得得b=b=由由 得得c=c=ABBCsin Csin A，3basin Bsin A，asin B8 sin 604 6sin Asin 45，acsin Asin C，268asin C8 sin 7544( 3 1)sin Asin 4522 【方法技巧】【方法技巧】已知兩角一邊解三角形的思路已知兩角一邊解三角形的思路(1)(1)

16、若所給邊是已知角的對邊時若所給邊是已知角的對邊時, ,可由正弦定理求另一角所對邊可由正弦定理求另一角所對邊, ,再由三角形內角和定理求出第三個角再由三角形內角和定理求出第三個角. .(2)(2)若所給邊不是已知角的對邊時若所給邊不是已知角的對邊時, ,先由三角形內角和定理求出先由三角形內角和定理求出第三個角第三個角, ,再由正弦定理求另外兩邊再由正弦定理求另外兩邊. .【變式訓練】【變式訓練】在在ABCABC中中, ,已知已知a=10,B=75a=10,B=75,C=60,C=60, ,試求試求c c及及ABCABC的外接圓半徑的外接圓半徑R.R.【解析】【解析】因為因為A+B+C=180A+

17、B+C=180, ,所以所以A=180A=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理由正弦定理, ,得得 =2R, =2R,所以所以c=c=所以所以2R=2R=所以所以R=5 .R=5 .acsin Asin C310a sin C25 6.sin A22a1010 2.sin A222【補償訓練】【補償訓練】一個三角形的兩個角分別等于一個三角形的兩個角分別等于120120和和4545, ,若若4545角所對的邊長是角所對的邊長是4 ,4 ,那么那么120120角所對邊長是角所對邊長是( () )A.4 B.12 C.4A.4 B.12 C.4 D.12 D.12【解析】【解析

18、】選選D.D.由正弦定理可得所求邊長為由正弦定理可得所求邊長為 sin120sin120=12.=12.334 6sin 456類型二類型二 已知兩邊和一角解三角形已知兩邊和一角解三角形【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,c.a,b,c.已知已知A= ,a=1,b= ,A= ,a=1,b= ,則則B=B=. .(2)(2)在在ABCABC中中,c= ,C= ,a=2,c= ,C= ,a=2,求求A,B,bA,B,b6336【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)欲

19、求欲求B B的大小的大小, ,需先知道什么條件需先知道什么條件? ?2.2.題題(2)(2)可按什么順序求解此三角形可按什么順序求解此三角形? ?【探究提示】【探究提示】1.1.欲求欲求B B的大小的大小, ,可根據(jù)條件并結合正弦定理求出可根據(jù)條件并結合正弦定理求出sinBsinB的大小的大小, ,再根據(jù)再根據(jù)B B的范圍求出角的范圍求出角B.B.2.2.可根據(jù)條件先求出可根據(jù)條件先求出sinA,sinA,進而求出角進而求出角A,A,再求角再求角B,B,最后求最后求b.b.【自主解答】【自主解答】(1)(1)由正弦定理由正弦定理 得得sinB= sinB= 又又B B 且且ba,ba,所以所以

20、B= B= 或或 . .答案答案: : 或或absin Asin B，bsin A3a2，5(0)6，323323(2)(2)因為因為 所以所以sinA=sinA=因為因為ca,ca,所以所以CA.CA.所以所以A= .A= .所以所以B=B=acsin Asin C，asin C2.c2456 sin5csin B12b3 1.12sin Csin3， 【方法技巧】【方法技巧】已知兩邊一角解三角形的方法已知兩邊一角解三角形的方法(1)(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值. .(2)(2)如果已知的角為大邊所對的角時如果已知的角為大邊所對的角時, ,由

21、三角形中大邊對大角由三角形中大邊對大角, ,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角, ,由正弦值可由正弦值可求銳角求銳角. .(3)(3)如果已知的角為小邊所對的角時如果已知的角為小邊所對的角時, ,則不能判斷另一邊所對的則不能判斷另一邊所對的角為銳角角為銳角, ,這時由正弦值可求兩個角這時由正弦值可求兩個角, ,要分類討論要分類討論. .【知識拓展】【知識拓展】已知兩邊及其中一邊對角判斷三角形解的個數(shù)的已知兩邊及其中一邊對角判斷三角形解的個數(shù)的方法方法(1)(1)應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數(shù)的值域判斷應用三角形中大邊對大角的性質以及正

22、弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù)解的個數(shù). .(2)(2)在在ABCABC中中, ,已知已知a,ba,b和和A,A,以點以點C C為圓心為圓心, ,以邊長以邊長a a為半徑畫弧為半徑畫弧, ,此弧與除去頂點此弧與除去頂點A A的射線的射線ABAB的公共點的個數(shù)即為三角形的個數(shù)的公共點的個數(shù)即為三角形的個數(shù), ,解的個數(shù)見下表解的個數(shù)見下表: :A A為鈍角為鈍角 A A為直角為直角A A為銳角為銳角abab一解一解一解一解一解一解a=ba=b無解無解無解無解一解一解ababsinAabsinA兩解兩解a=bsinAa=bsinA一解一解absinAab,ab,所以所以AB,BAB,B為銳角為銳角,B=

23、30,B=30. .C=180C=180-(A+B)=105-(A+B)=105. .由正弦定理由正弦定理 得得c=c=【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)忽略本題易出現(xiàn)忽略abab而導致角而導致角B B有兩解的錯誤有兩解的錯誤. .acsin Asin C，asin C2sin 10562.sin Asin 452【補償訓練】【補償訓練】1.1.ABCABC的內角的內角A,B,CA,B,C的對邊分別為的對邊分別為a,b,c,a,b,c,若若c= ,b= ,B=120c= ,b= ,B=120, ,則則a a等于等于( () )A. B.2 C. D.A. B.2 C. D.【解析】【解析】選選

24、D.D.由正弦定理由正弦定理因為因為cbcb所以所以CB,CAC,ABAC,所以所以CB,CB,所以所以C=60C=60或或120120, ,故故ABCABC有兩個解有兩個解. .3ABACsin Csin B，13ABsin B32.AC12類型三類型三 三角形形狀的判斷三角形形狀的判斷【典例【典例3 3】(1)(1)在在ABCABC中中,sinA=sinB,sinA=sinB,則則ABCABC是是( () )A.A.直角三角形直角三角形B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.等邊三角形等邊三角形D.D.銳角三角形銳角三角形(2)(2)在在ABCABC中中, ,若若sinA=2sinBcosC,

25、sinA=2sinBcosC,且且sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,試判試判斷斷ABCABC的形狀的形狀. .【解題探究】【解題探究】1.1.在題在題(1)(1)ABCABC中中, ,若若sinA=sinB,sinA=sinB,則則A A與與B B一定相一定相等嗎等嗎? ?2.2.在題在題(2)(2)ABCABC中中, ,由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C能得出什么結論能得出什么結論? ?【探究提示】【探究提示】1.1.一定相等一定相等. .因為若因為若A+B=180A+B=180, ,與三角形內角和與三

26、角形內角和定理矛盾定理矛盾. .2.2.結合正弦定理結合正弦定理, ,由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C得出得出a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, ,從而有從而有A=90A=90. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選B.B.由正弦定理由正弦定理 =1,=1,可得可得a=b.a=b.所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .(2)(2)在在ABCABC中中, ,根據(jù)正弦定理根據(jù)正弦定理 =2R.=2R.因為因為sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,所以所以即即a a2 2=b=b2 2+

27、c+c2 2. .所以所以A=90A=90, ,所以所以B+C=90B+C=90. .asin Absin Babcsin Asin Bsin C222abc()()()2R2R2R，由由sinA=2sinBcosC,sinA=2sinBcosC,得得sin90sin90=2sinBcos(90=2sinBcos(90-B),-B),所以所以sinsin2 2B= .B= .因為因為B B是銳角是銳角, ,所以所以sinB= ,sinB= ,所以所以B=45B=45,C=45,C=45. .所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .1222【延伸探究】【延伸探究】若本例若本例(

28、2)(2)中的條件中的條件“sinA=2sinBcosC”sinA=2sinBcosC”改為改為“sinsin2 2A=2sinBsinC”,A=2sinBsinC”,其他條件不變其他條件不變, ,試判斷試判斷ABCABC的形狀的形狀. .【解析】【解析】由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,得得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .所以所以A=90A=90. .因為因為sinsin2 2A=2sinBsinC,A=2sinBsinC,所以所以a a2 2=2bc,=2bc,所以所以b b2 2+c+c2 2=2bc.=2bc.所以所以b=c

29、,b=c,所以所以ABCABC為等腰直角三角形為等腰直角三角形. .【方法技巧】【方法技巧】判斷三角形形狀的兩種途徑判斷三角形形狀的兩種途徑(1)(1)利用正弦定理把已知條件轉化為邊邊關系利用正弦定理把已知條件轉化為邊邊關系, ,通過因式分解、通過因式分解、配方等得出邊的相應關系配方等得出邊的相應關系, ,從而判斷三角形的形狀從而判斷三角形的形狀. .(2)(2)利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系, ,通過三角函數(shù)恒等變形得出內角的關系通過三角函數(shù)恒等變形得出內角的關系, ,從而判斷出三角形的從而判斷出三角形的形狀形狀, ,此時

30、要注意應用此時要注意應用A+B+C=A+B+C=這個結論這個結論. .在兩種解法的等式變在兩種解法的等式變形中形中, ,一般兩邊不要約去公因式一般兩邊不要約去公因式, ,應移項提取公因式應移項提取公因式, ,以免漏解以免漏解. .【變式訓練】【變式訓練】在在ABCABC中中, ,已知已知acosA=bcosB,acosA=bcosB,試判斷試判斷ABCABC的形的形狀狀. .【解析】【解析】設設 =k,=k,由由acosA=bcosB,acosA=bcosB,得得ksinAcosA=ksinBcosB,ksinAcosA=ksinBcosB,所以所以sin2A=sin2B.sin2A=sin2B.所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=1802A+2B=180, ,即即A=BA=B或或A+B=90A+B=90. .所以所以ABCABC為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形. .【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】在解三角形時在解三角形時, ,要注意分類討論要注意分類討論, ,否則會漏解否則會漏解. .basin Bsin A【補償訓練】【補償訓練】在在ABCABC中中, ,