拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)題

1、課時(shí)作業(yè)（十三）學(xué)業(yè)水平層次一、選擇題1 .已知點(diǎn)R6, y）在拋物線y2=2px（p0）上，若點(diǎn)P到拋物線 焦點(diǎn)F的距離等于8,則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于（）A. 2 B . 1 C . 4 D . 82 P 一， _【解析】 拋物線y =2px（p0）的準(zhǔn)線為x=2,因?yàn)镽6 , y） 為拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所 以6+p= 8,所以p= 4,即焦點(diǎn)F到拋物線的距離等于4,故選C.【答案】C2. （2014 成都高二檢測(cè)）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋 物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) FPMfe等邊三角形時(shí)， 其面積為（）A. 2V3 B

2、 . 4 C . 6 D . 4V3【解析】據(jù)題意知，ZFP岫等邊三角形，|PF=|PM=|FM,2.PML拋物線的準(zhǔn)線.設(shè) P：, m,則M 1, m,等邊三角形邊長(zhǎng)2 2為 1 + ?,又由 F1,0） , |PM = |FM, 得 1+m=q1+12+ m,得 m= 2g3, .等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,其面積為4m，故選D.【答案】D3 .已知拋物線y2 = 2px（p0）,過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. x= 1B.x= 1C. x= 2D.x= 2【解析】 設(shè)A(xi, yi) , B(x2y ，代入拋物線方程

3、得:2yi = 2pxiy2=2px2一得,(y1+y2)( y1一y2) = 2p( xi。).y1一y2 2p p又. y1 + y2=4，:必一x2 = 4 = 2 =k= 1,p= 2.所求拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.4. （2014 課標(biāo)H ）設(shè)F為拋物線C: y2 = 3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A, B兩點(diǎn)，則|AB=()B . 6 C . 12 D . 7v3【解析】 焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為4, 0 ,直線AB的斜率為坐，所以 43直線ab的方程為y=* x-4 ,3一 3即 y= 3x- 4/日 1 2 73信 3x2x+花=o,、一i21設(shè) A(xi, yi) , B

4、(X2, y2),則 x + x2=2,.3 21 3.所以 | AB| =Xi + X2 + 2=2 + 2= 12,故選 C.【答案】C二、填空題5. .拋物線y2 = x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】 設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, 士亞,此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距 離為x + 1，到頂點(diǎn)的距離為 而工Vx2,由題意有 x+1 = /x2+6 2, ：x=8，：y=*，二止匕點(diǎn)坐標(biāo)為 8，士乎.【答案】1, 土當(dāng)6. (2014 臨沂高二檢測(cè))直線y= kx+2與拋物線y2=8x有且 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k=.【解析】 當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng) k?0時(shí)， 聯(lián)立方程消 y 得

5、k2x2 + 4(k 2)x+ 4 = 0,由題意 A = 16(k-2)2-16k2 =0, - k= 1.【答案】0或17. (2014 湖南)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P( 1,0) 且斜率為k的直線，則k的取值范圍是.【解析】設(shè)機(jī)器人為A(x, y),依題意得點(diǎn)A在以F(1,0)為焦點(diǎn)，x=1為準(zhǔn)線的拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.過點(diǎn)R 1,0),斜率為k的直線為y = k(x+1).t y2=4x,2由得 ky4y+4k= 0.y = kx+ k,當(dāng)k=0時(shí)，顯然不符合題意；2.當(dāng) kO 時(shí)，依題意得

6、 A =( -4) -4k - 4k0,解得k1或k0),設(shè) A(x0, y(0,由題知 M0, p. IAF=3，.+,=3， | AM= 17,.X2+ y0+p2=17,.x0=8,代入方程x2 = 2py。得， p ，i8=2p3 2 ,解得 p=2或 p= 4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2 = 8y.9 .已知直線l經(jīng)過拋物線y2 = 6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A, B兩點(diǎn).若直線l的傾斜角為60。，求| AB的值;(2)若|AB=9,求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.【解】(1)因?yàn)橹本€l= 3.的傾斜角為60 ,所以其斜率k=tan 603 3又f3, 0 ,所以直線

7、l的方程為y=V3 x-萬.y2=6x,聯(lián)立3y=#3x 2 ,09消去y得+70.設(shè) A；Xi, y1)，B(x2, y2),則 xi + X2=5,一p p而 | AB = | AF| +1 BF =Xi + 2 + X2 + 2 = Xi + Xz+ p,所以 | AB =5+3=8.(2)設(shè)A, y。, B(X2, y2),由拋物線定義知| AB = | AF + | BF =Xi + X2+ p= Xi + X2 + 3,所以 Xi + X2 = 6,于 是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.3 3 9又準(zhǔn)線方程是x= 3,所以M到準(zhǔn)線的距離為3+3 = 9.能力提升層次1. (2014

8、湖南省長(zhǎng)沙一中期中考試)已知拋物線x2= 2py( p0) 的焦點(diǎn)為F,過F作傾斜角為30的直線與拋物線交于 A B兩點(diǎn)， MAFAF右麗6(0/)，則麗=()【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F0, p,故過點(diǎn)F且傾斜角為30的直線白方程為y=x + p,與拋物線方程聯(lián)立得x2-2Ppx- 323p2=o,解方程得xa=一半p, xb= q3p,所以空=產(chǎn)|=；,故選c. 3| BFf | Xb| 3【答案】 C2. (2013 大綱卷)已知拋物線 C y2=8x與點(diǎn)M 2,2),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A B兩點(diǎn)，若MA MB= 0,則k =()D . 2【解析】 由題意可知拋物線的焦點(diǎn)

9、坐標(biāo)為(2,0),則過焦點(diǎn)且 斜率為k的直線的方程為y=k(x2),與拋物線方程聯(lián)立，消去 y 化簡(jiǎn)得 k2x2(4k2+8)x + 4k2=0,設(shè)點(diǎn) A(x1，yi), B(x2, y?),則 xi+ x2=4 + , xx2 = 4, 所以 y + y2= k（x + x2） 4k=, yy2=k2xix2 kk-2(xi + x2) +4 =16,因?yàn)?MA MB= 0,所以(xi+2)( xz+2) + (yi2)( y22)=0(*),將上面各個(gè)量代入(*),化簡(jiǎn)得k2 4k + 4=0, 所以k= 2,故選D.【答案】D3 .拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x

10、y=1 3 3相交于A, B兩點(diǎn)，若 ABF為等邊三角形，則p=.【解析】 由于x2 = 2py( p0)的準(zhǔn)線為y=p，由y=-px2y2=3,解得準(zhǔn)線與雙曲線x2 y2=3的交點(diǎn)為A - 13+4p2 , -p , B 3I4+P , 一 p 所以 AB= 2，3+4p2.由ABF為等邊三角形，得 喙AB= p,解得p= 6.【答案】64 .已知拋物線x= y2與過點(diǎn)(1,0)且斜率為k的直線相交于 A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) OAB勺面積等于 師時(shí)，求k的值.【解】過點(diǎn)( 1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1),x= y2,2由方程組 1, 消去x,整理得ky2 + y-k=0,y=k x+1 ,設(shè)A(xi, y