浙教版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)專題之四邊形存在性問(wèn)題(教師版)

1、二次函數(shù)專題之四邊形存在性問(wèn)題【例1】如圖，拋物線尸W+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A （ -3, 0）, B （1, 0）,與y軸相交于3（0, - 一），頂點(diǎn)為P. 2（1）求拋物線解析式: （2）在拋物線是否存在點(diǎn)E,使二ABP的面積等于二ABE的而積？若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由:（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出平行四邊形的而積.3【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式為尸衾+血,將（-3, 0）,（1, 0）,（0,-）代入拋物線 20 = 9a-3b+c1313解析式得，0 = a+b+

2、c ，解得：a= , b=L c=-二拋物線解析式：y= x?+x- -22- 223c = 一一213 1(2)二y= x?+x- - = (x-1) 2 - 2 22 2二P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1, -2）二二ABP的面積等于二ABE的而枳,二點(diǎn)E到AB的距離等于2,設(shè) E (a. 2),13_-a?-a - -=2 解得 ai= - 1 - 2 ，a2= - 1+2 垃二符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1-2企，2)或(-1+2JJ, 2)(3)二點(diǎn)、A ( -3, 0),點(diǎn) B (1, 0),二 AB=4二若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形二AB二PF, AB=PF=4二點(diǎn)P坐

3、標(biāo)(-1，-2)二點(diǎn) F 坐標(biāo)為(3, -2), ( -5, -2)二平行四邊形的面積=4x2=8二若AB為對(duì)角線，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形二AB與PF互相平分設(shè)點(diǎn) F (x, y)且點(diǎn) A ( -3, 0),點(diǎn) B (1, 0),點(diǎn) P ( - 1, -2)匚x=-l, y=2-3 + 1 -1 + x0 + 0 _ -2 + y 工2二點(diǎn) F ( - 1, 2)二丫行四邊形的面積=!4x4=8 2綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1, 2)、(3, -2)、(-5, -2),且平行四邊形的而枳為8.【例2】拋物線F：y = W+飯+。的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且與x軸另交點(diǎn)為一3-,

4、0 . /（1）求拋物線尸的解析式；（2）如圖1,直線/:），= 4工+ 7（?0）與拋物線尸相交于點(diǎn)4（%,乂）和點(diǎn)3（,必）（點(diǎn)4在第二象限），求-凹的值（用含？的式子表示）；（3）在（2）中，若/ =：,設(shè)點(diǎn)H是點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2.平面內(nèi)是否存在點(diǎn)、P,使得以點(diǎn)A、B、A、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo): 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）匚拋物線j=N+6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, 0）和（-1, 0）, 3二 j3 3c = Oc = ,解得：二拋物線產(chǎn)的解析式為廣必+立X.3(2)將)=2x+機(jī)代入jxL得：x/12 r 二2-)1=(J3m +川)

5、-(-J31n +m)=y/3m (加0).=?n, 33解得：X1=- ym , x2=y/m二yi= - - y/3in +)n, 2= y3m +m, 3二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-空,|）,33(P)5）當(dāng)為對(duì)角線時(shí),x = 一空解得:點(diǎn)8的坐標(biāo)為（之叵，2）.:點(diǎn)是點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)o的對(duì)稱點(diǎn),二點(diǎn)的坐標(biāo)為（出，-I）. 33由兩點(diǎn)距離公式可得：=，宓=3=g,二存在符合題意的點(diǎn)P，且以點(diǎn)A. B、4、P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為G,242括x=x2x = 2/3（7）當(dāng)月3為對(duì)角線時(shí),有 2m+4)二G (m, - m2 - 2m+4),二四邊形GEOB是平行四邊形，二EG=OB=4,

6、Z - m2 - 2m+4 - 2m - 4=4,Zm= - 2, ZG ( - 2, 4)；(3)匚如圖b由(2)知，直線AB的解析式為y=2x+4,二設(shè) E (a, 2a+4),二直線 AC： y= - - x - 6 匚F(a, - a - 6), 22設(shè) H (0, p),二以點(diǎn)A, E, F, H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，二直線AB的解析式為廣2x+4,直線AC： y=-Lx-6, 2二 AB 二 AC,二EF為對(duì)角線，二 L ( - 4+0) = (a+a), ( - 4+p) = (2a+4 - a22222二a=-2, P=- 1,八y-6),二E ( -2, 0). H (0,

7、- 1)；【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知拋物線）=-x2+2x+3與x軸交于,4, 3兩點(diǎn)，點(diǎn)“在這條拋物線上,點(diǎn)尸在V軸上，如果四邊形且取3是平行四邊形，則點(diǎn)河的坐標(biāo)為【詳解】二y=-x2+2x+3與x軸交于A, B兩點(diǎn),二A (-1, 0)； B (3, 0) nAB=4t二四邊形ABMP是平行四邊形，二AB/PM, PM=AB=4,二P點(diǎn)在y軸上，二P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,二P點(diǎn)在拋物線產(chǎn)-x2x+3上，二x=4 時(shí)，y=-16+8+3=-5,二M點(diǎn)的坐標(biāo)為：(4, -5).2 .如圖，拋物線y =3與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)4,與丁軸交于點(diǎn)8,連接A8,點(diǎn)DE分別是直線式=-

8、1與拋物線上的點(diǎn)，若點(diǎn)A,艮D(zhuǎn)E圉成的四邊形是平行四邊形, 則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【詳解】由拋物線的表達(dá)式求得點(diǎn)A8的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,-3) 由題意知當(dāng)A8為平行四邊附的邊時(shí)，AB/DE,且AB = DE,二線段DE可由線段A3段移得到.匚點(diǎn)。住直線工=一1卜，二當(dāng)點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A時(shí).如圖，需先將A3向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A的一點(diǎn):用的橫坐標(biāo)為T，將x = -4代入y = ? V + ?%一 3,得) = 3,二片(7.3).二當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。2時(shí)，同理，先將A3向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上2的橫坐標(biāo)為2,將x = 2代入y =+ 3得y = 0,二七(2,0)乙乙(

9、13、1A5為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),可知A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為一7-3， 二。3在直線工=一1上，:根據(jù)對(duì)依件M知&的橫坐標(biāo)為-2，將x = -2代入y =12 +二- 3 22得），=-2,二與（-2, -2）.綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（T,3）或（2,0）或（-2,-2）.3 .如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，拋物線丫 = 一：婷+匕 +。，經(jīng)過(guò)A（0, -4）, B （利，0）,C （如，0）三點(diǎn),且上一九11= 5.（1）求b, c的值；（2）在拋物線上求一點(diǎn)D,使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在, 求出點(diǎn)P的坐

10、標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）二拋物線y=-3爐+ +。，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（0，-4）,二 c=-4,（二由題意可知，德八九二是方程一；爐+算一4 = 0的兩個(gè)根，二%+ %=P，二/二二6, 由已知得（七一算= 25, zx12+x22-2x1r2=25,二（巧 + 匕-4%2 = 25,二涉-24 = 25,解得：匕=士亭1b若時(shí)，拋物線Lj x輪的交出在x軸的正半軸上,不 一 卻 舍去.二金. OO(2)二四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱 又二y = 一“。一芳% 4=一久+三產(chǎn)+后，口拋物線的頂點(diǎn)(一：,三)即為所求的點(diǎn)D：(3)二四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-6, 0),根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是有我x= - 3