高考文科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考文科數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 古典概型例1 從甲、乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人，則甲被選中的概率為（ ）.A. B. C. D. 【答案】【解析】 可設(shè)這5名學(xué)生分別是甲、乙、丙、丁、戊，從中隨機(jī)選出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，?。ū?，戊），（丁，戊），共有種選法，其中只有前4種是甲被選中，所以所求概率為.故選B.例2 將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為_.【答案】【解析】根據(jù)題意顯然這是一個(gè)古典概型，其基本事件有：數(shù)1，數(shù)2，語; 數(shù)1，語，

2、數(shù)2;數(shù)2，數(shù)1，語; 數(shù)2，語，數(shù)1;語，數(shù)2，數(shù)1; 語，數(shù)1，數(shù)2共有6種，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有4種，則其概率為：【易錯(cuò)點(diǎn)】列舉不全面或重復(fù),就是不準(zhǔn)確【思維點(diǎn)撥】直接列舉,找出符合要求的事件個(gè)數(shù).題型二 幾何概型例1 如圖所示，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）.A. B. C. D. 【答案】【解析】不妨設(shè)正方形邊長為，由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為.故選B.例2 在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)，則

3、方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為_.【答案】【解析】方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即或，又因?yàn)?，所以使方程有兩個(gè)負(fù)根的p的取值范圍為，故所求的概率，故填：.【易錯(cuò)點(diǎn)】“有兩個(gè)負(fù)根”這個(gè)條件不會(huì)轉(zhuǎn)化.【思維點(diǎn)撥】“有兩個(gè)負(fù)根”轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn).從而得到參數(shù)p的范圍.在利用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算即可.題型三 抽樣與樣本數(shù)據(jù)特征例1 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為，件為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取_件【答案】【解析】按照分層抽樣的概念應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取(件)例2 已知樣本數(shù)據(jù)，的均值，則樣本數(shù)據(jù)，的

4、均值為【答案】【解析】 因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，的均值，又樣本數(shù)據(jù)，的和為，所以樣本數(shù)據(jù)的均值為11.例3 某電子商務(wù)公司對(duì)名網(wǎng)絡(luò)購物者2018年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）直方圖中的=.（2）在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為.【答案】人數(shù)為【解析】由頻率分布直方圖及頻率和等于，可得，解之得.于是消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)頻率為，所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為.例4 某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，分組的頻率分布直方圖如圖所示（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，的四組用戶

5、中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則從月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】見解析【解析】（1）由，得（2）由圖可知，月平均用電量的眾數(shù)是.因?yàn)?，又，所以月平均用電量的中位?shù)在內(nèi).設(shè)中位數(shù)為，由，得，所以月平均用電量的中位數(shù)是.（3）月平均用電量為的用戶有（戶）；月平均用電量為的用戶有（戶）；月平均用電量為的用戶有（戶）；月平均用電量為的用戶有（戶）.抽取比例為，所以從月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽?。☉簦疽族e(cuò)點(diǎn)】沒有讀懂題意,計(jì)算錯(cuò)誤.不會(huì)用函數(shù)思想處理問題【思維點(diǎn)撥】根據(jù)題意分情況寫出函數(shù)解析式；2牽涉到策略問題,一般可以轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)指標(biāo)的大小.題型四 回歸與分析例1下圖是我國2008

6、年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到），預(yù)測年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： 【答案】見解析【解析】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得， ，.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（1）變量與的相關(guān)系數(shù)，又，所以 ，故可用線性回歸模型擬合變量與的關(guān)系.（2），所以，所以線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，.因此，我們可以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理億

7、噸.【易錯(cuò)點(diǎn)】沒有讀懂題意,計(jì)算錯(cuò)誤.【思維點(diǎn)撥】將題目的已知條件分析透徹,利用好題目中給的公式與數(shù)據(jù).題型五 獨(dú)立性檢驗(yàn)例1 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A、B兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性？()A甲 B乙 C丙 D丁【答案】D【解析】 D因?yàn)閞>0且丁最接近1，殘差平方和最小，所以丁相關(guān)性最高【易錯(cuò)點(diǎn)】不理解相關(guān)系數(shù)和殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系【思維點(diǎn)撥】相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越趨向于1,相關(guān)性越強(qiáng).殘差平方和m越小相關(guān)

8、性越強(qiáng)【鞏固訓(xùn)練】題型一 古典概型1.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于的概率是【答案】【解析】將先后兩次點(diǎn)數(shù)記為，則基本事件共有（個(gè)），其中點(diǎn)數(shù)之和大于等于有，共種，則點(diǎn)數(shù)之和小于共有種，所以概率為2.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.A B C D【答案】【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩數(shù)有（種）情況，其中兩數(shù)

9、相加和為30的有7和23，11和19，13和17，共3種情況，根據(jù)古典概型得.故選.3.袋中有形狀、大小都相同的只球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中一次隨機(jī)摸出只球，則這只球顏色不同的概率為【答案】【解析】只白球設(shè)為，只紅球設(shè)為，只黃球設(shè)為，則摸球的所有情況為，共件，滿足題意的事件為，共件，故概率為題型二 幾何概型1.某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，學(xué).小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（ ）.A.B.C.D.【答案】B【解析】 如圖所示，畫出時(shí)間軸.小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)

10、時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過分鐘.根據(jù)幾何概型，所求概率.故選B.2. 從區(qū)間隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（ ）.A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得：在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知，所以.故選C3.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為，則ABCD【答案】A【解析】

11、概率為幾何概型，總區(qū)域面積一定，只需比較，區(qū)域面積即可.設(shè)直角三角形的三個(gè)角，所對(duì)的邊長分別為，則區(qū)域的面積為，區(qū)域的面積為，區(qū)域的面積為.顯然.故選A.題型三 抽樣與樣本的數(shù)據(jù)特征1.已知一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【答案】10【解析】平均數(shù)2.某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示. （）直方圖中的_；（）在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為_. 【答案】3；6000【解析】頻率和等于1可得，解之得.于是消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)頻率為，所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為：，故應(yīng)填3；60

12、00.3.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照， 分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值；（2）設(shè)該市有萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)，請(qǐng)說明理由；（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.【答案】見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖知，月均用水量在中的頻率為，同理，在， ，中的頻率

13、分別為， ， ， ， .由，解得.（2）由（1），位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為.（3）因?yàn)榍敖M的頻率之和為，而前組的頻率之和為，所以由，解得.題型四 回歸與分析1.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入 （萬元）8.28.610.011.311.9支出 （萬元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（ ）A11.4萬元 B11.8萬元 C12.0萬元 D12.2萬元【答案】B【解析】由已知

14、得（萬元），（萬元），故，所以回歸直線方程為當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬元，家庭年支出為（萬元）故選B2.為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為已知，該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為（ ）.A.B. C. D.【答案】C【解析】，所以，時(shí)，.故選C.3.某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值46.65636.8289.81

15、.61469108.8表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）？（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤與，的關(guān)系式為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：（）年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？（）年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】見解析【解析】（1）由散點(diǎn)圖變化情況可知選擇較為適宜（2）由題意知又一定過點(diǎn)，所以，所以與的回歸方程為（3）（）由（2）知，當(dāng)時(shí)，（千元），所以當(dāng)年宣傳費(fèi)為時(shí)，年銷售量為，利潤

16、預(yù)估為千元（）由（2）知，所以當(dāng)時(shí)，年利潤的預(yù)估值最大，即（千元）題型五 獨(dú)立性檢驗(yàn)1.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算的K23.918，則下列表述中正確的是（ ）A有95的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”B若有人未使用該血清，那么他一年中有95的可能性得感冒C這種血清預(yù)防感冒的有效率為95D這種血清預(yù)防感冒的有效率為5【答案】A【解析】由題可知，在假設(shè)成立情況下，的概率約為0.05，即在犯錯(cuò)的概率不錯(cuò)過0.05的前提下認(rèn)為

17、“血清起預(yù)防感冒的作用”，即有95的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.這里的95是我們判斷不成立的概率量度而非預(yù)測血清與感冒的幾率的量度，故B錯(cuò)誤.C，D也犯有B中的錯(cuò)誤.故選A2.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是( )A B C D【答案】D【解析】在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中所占比例相差越大，則分類變量關(guān)系越強(qiáng)，故選3.淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：）的頻率分布直方圖如圖所示.（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于， 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于，估