高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷帶詳細(xì)答案解析

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷共4頁，三大題21小題。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無效。3. 填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效。4. 考試結(jié)束，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)

2、選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的。1.復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則 (A) -2i (B) -i(C) i(D) 2i2.函數(shù)的反函數(shù)為 (A) (B)(C)(D)3.下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是 (A) (B)(C)(D)4.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k= (A) 8 (B) 7(C) 6(D) 55.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角，點(diǎn)為垂足，為垂足，若，則D到平面ABC的距離等于 (A) (B)(C)(D) 17.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出

3、4本贈(zèng)送給4為朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有 (A) 4種 (B) 10種(C)18種(D)20種8.曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為 (A) (B)(C)(D)19.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 (A) (B)(C)(D)10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，則 (A) (B) (C) (D)11.已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N，若該球面的半徑為4.圓M的面積為，則圓N的面積為 (A) (B)(C)(D)12. 設(shè)向量滿足，則的最大值等于 (A) 2 (B)(C) (D) 1二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共

4、20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上,一題兩空的題,其答案按先后次序填寫.13. 的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之差為.14. 已知，則.15. 已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，AM為的角平分線，則 .16. 已知點(diǎn)E、F分別在正方體 的棱上，且,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。已知，求C18.（本小題滿分12分）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險(xiǎn)

5、相互獨(dú)立。 （）求該地1為車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； （）X表示該地的100為車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)，求X的期望。19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD中，,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1. （）證明：; （）求AB與平面SBC所成的角的大小。20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足 （）求的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，記，證明：。21.（本小題滿分12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 （）證明：點(diǎn)P在C上； （）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)

6、圓上。22.（本小題滿分12分）（）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)， （）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，證明：2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）試題參考答案一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分60分1B2B3A4D5C6C7B8D9A10D 11. D 12. A1.復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】先求出的共軛復(fù)數(shù),然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可。【精講精析】選B.2.函數(shù)的反函數(shù)為（A） （B）（C） （D）【思路點(diǎn)撥】先反解用y表

7、示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域?！揪v精析】選B.在函數(shù)中，且反解x得，所以的反函數(shù)為. 3.下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項(xiàng)能推出，而由a>b推不出選項(xiàng)的選項(xiàng).【精講精析】選A.即尋找命題P使P推不出P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A。4.解：設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路點(diǎn)撥】思路一：直接利用前n項(xiàng)和公式建立關(guān)于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡(jiǎn)?！揪v精析】= = =故選D。5.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移

8、個(gè)單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍?！揪v精析】即z則時(shí)故選C6.已知直二面角，點(diǎn),C為垂足，為垂足若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于(A)(B) (C) (D) 1 【思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找出或做出點(diǎn)D到平面ABC的距離DE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難證明平面，進(jìn)而平面ABC,所以過D作于E，則DE就是要求的距離?！揪v精析】選C.如圖，作于E，由為直二面角，得平面，進(jìn)而，又，于是平面ABC，故DE為

9、D到平面ABC的距離。在中，利用等面積法得7.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種【思路點(diǎn)撥】本題要注意畫冊(cè)相同，集郵冊(cè)相同，這是重復(fù)元素，不能簡(jiǎn)單按照排列知識(shí)來鑄。所以要分類進(jìn)行求解?！揪v精析】分兩類：取出的1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種；取出的2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種。故共有贈(zèng)送方法4+6=10種，故選B8.曲線y=+1在點(diǎn)(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(A) (B) (C) (D)1【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)（0，2）切

10、線方程然后分別求出與直線y=0與y=x的交點(diǎn)問題即可解決。【精講精析】切線方程是：,即得 故選A。9.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，=，則= (A) - (B) (C) (D)【思路點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵是把通過周期性和奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間0,1上進(jìn)行求值?！揪v精析】先利用周期性，再利用奇偶性得: 故選A10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)則=(A) (B) (C) (D)【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)后轉(zhuǎn)化為解三角形問題?！揪v精析】聯(lián)立，消y得，解得.不妨設(shè)A在x軸上方，于是A，B的坐標(biāo)分別為(4,4),(1,-2),可求，利用余弦定理.11.已知平面截一球面得

11、圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路點(diǎn)撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決?！揪v精析】作示意圖如，由圓M的面積為4，易得.，在，故選D12.設(shè)向量滿足，則的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路點(diǎn)撥】本題按照題目要求構(gòu)造出如右圖所示的幾何圖形，然后分析觀察不難得到當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，最大.【精講精析】選A.如圖，構(gòu)造，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，分析可知當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，最大，最大值為2.二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分20分13 0 14 1

12、56 1613.(1-)20的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為:.【思路點(diǎn)撥】解本題一個(gè)掌握展開式的通項(xiàng)公式，另一個(gè)要注意.【精講精析】，令得=2，令=9得，所以x的系數(shù)為，故x的系數(shù)與的系數(shù)之差為-=014.已知a(，)，sin=，則tan2=【思路點(diǎn)撥】本題涉及到同角三角函數(shù)關(guān)系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數(shù)的倍角公式即可求解?！揪v精析】.由a(，)，sin=得,.15.已知F1、F2分別為雙曲線C:- =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)AC，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為F1AF2的平分線則|AF2| =.【思路點(diǎn)撥】本題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的

13、定義即可求解?！揪v精析】6.由角平分線定理得：,故16.己知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.【思路點(diǎn)撥】本題應(yīng)先找出兩平面的交線，進(jìn)而找出或做出二面角的平面角是解決此問題的關(guān)鍵,延長EF必與BC相交，交點(diǎn)為P，則AP為面AEF與面ABC的交線.【精講精析】.延長EF交BC的延長線于P，則AP為面AEF與面ABC的交線，因?yàn)?，所以為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角。三、解答題：本大題共6小題，共70分17.(本小題滿分l0分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c

14、.己知AC=90°，a+c=b，求C.【思路點(diǎn)撥】解決本題的突破口是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，然后再結(jié)合AC=90°,得到.即可求解?！揪v精析】由，得A為鈍角且，利用正弦定理，可變形為，即有，又A、B、C是的內(nèi)角，故或(舍去)所以。所以.（本小題滿分10分）18.(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為05，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率；()X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)。求X

15、的期望。 【思路點(diǎn)撥】解本題應(yīng)首先主出該車主購買乙種保險(xiǎn)的概率為p,利用乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和期望公式計(jì)算即可.【精講精析】設(shè)該車主購買乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知：，解得。（I） 設(shè)所求概率為P1，則.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8。（II） 對(duì)每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率為。，所以X的期望是20人。19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（）證明：;（)求與平面所成角的大小.【思路點(diǎn)撥】本題第（I）問可以直接證明，也可建系證明。（II）建立空間直角

16、坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算把求角的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算問題,思路清晰思維量小?！揪v精析】（）證明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，易算得：，又因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，SD=1，AB=2，所以,于是,所以.（II）（向量法）過D做，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可計(jì)算平面SBC的一個(gè)法向量是.所以AB與平面SBC所成角為（幾何法）設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，因?yàn)椋?從而,因而可以算得：，又，故又因?yàn)?所以點(diǎn)C到平面SAB的距離為另外，顯然，所以得：設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則，即AB與平面SBC

17、所成的角為（顯然是銳角）20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)【思路點(diǎn)撥】解本題突破口關(guān)鍵是由式子得到是等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）問求出的通項(xiàng)公式注意觀察到能采用裂項(xiàng)相消的方式求和。【精講精析】 (I) （）由得：數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為故，從而(II).21.（本小題滿分12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足()證明：點(diǎn)P在C上；（）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明互補(bǔ).通過證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、B、P、Q的距離相等即可.【精講精析】 (I)設(shè)直線，與聯(lián)立得由得,所以點(diǎn)P在C上。（II）法一：同理，所以互補(bǔ)，因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。法二：由和題設(shè)知，,PQ的垂直平分線的方程為設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平