不等式的證明方法

1、i第二節(jié) 不等式的證明方法考綱傳真通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.課刖知識(shí)全通關(guān)1. 基本不等式定理1:設(shè)a, b R，貝U a2+ b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號(hào)成立.a | b 定理2：如果a, b為正數(shù)，則一尹ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號(hào)成立.定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則a+；+c答b，當(dāng)且僅當(dāng)a= b = c時(shí)，等號(hào)成立.定理4：(一般形式的算術(shù) 一幾何平均不等式)如果ai，a2，an為n個(gè)正數(shù)，則a 冷打aia2an，當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=an時(shí)，等號(hào)成立.2. 柯西不等式(1) 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè) a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則

2、(a2 + b2)(c2 + d2)> (ac+ bd)2(當(dāng)且 僅當(dāng)ad= bc時(shí)，等號(hào)成立).(2) 柯西不等式的向量形式：設(shè) a，B是兩個(gè)向量，則1如3|a 當(dāng)且僅當(dāng)a或B是零向量，或存在實(shí)數(shù)k,使 aa, B為非零向量)時(shí)，等號(hào)成立.柯西不等式的三角不等式：設(shè) xi, yi, X2, y2, X3, y3 R,貝貝寸(xi X2+ (yi y2+p (X2X3(+ (y2曲p (xi X3 f + (yi y3 )2.2(4)柯西不等式的一般形式：設(shè)ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是實(shí)數(shù)，則(ai +£+ a?)(b2+ b2+ bin)>(ai

3、bi + a2b2+ anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng) bj = 0(i = i,2,n)或存在 一個(gè)數(shù)k,使得ai = kbi(i = i,2,，n)時(shí)，等號(hào)成立.3. 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.(I)比較法： 比差法的依據(jù)是：a b>0?步驟是：“作差一變形一判斷差的符號(hào)”.變形是手段，變形的目的是判斷差的符號(hào). 比商法：若B>0,欲證A>B，只需證I.(2)綜合法與分析法： 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒? 分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條

4、件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法.即“執(zhí)果索因”的方法.基礎(chǔ)自測(cè)1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“/'，錯(cuò)誤的打“X” )(1) 比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論.()(2) 綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.()(3) 分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).()(4) 使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.()答案X

5、 V (3)X X222ba2. (教材改編)不等式：x2 + 3>3x；a2 + b2>2(a-b-1):：+£>2,其中恒成立的 是()A .B .C .D .2233222D 由得 x + 3 3x= x 2 + 4>0，所以 x + 3>3x;對(duì)于，因?yàn)?a + b 2(a b-1) = (a 1)2+ (b+ 1)2>0,所以不等式成立；對(duì)于 ，因?yàn)楫?dāng)abv0時(shí),b a0,即 a+ bV2,故選 D.3.若 a= 3 2, b= .6 5, c= .7 .6,則 a, b, c 的大小關(guān)系為（）a>b>cb>c>a

6、B. a>c>bD. c>a>b1 1 1“分子”有理化得 * 3+ 2，b= 6+ 5，c= .7+ 6，: a>b>c.1 14. 已知a>0, b>0且In(a+ b)= 0,則b的最小值是-4 由題意得，a+ b=1, a>0, b>0,1111b a“尹 b= a+1(a+ b)=2+a+a2+ 2，bb=4,1當(dāng)且僅當(dāng)a= b=時(shí)等號(hào)成立.課堂題型全突破考點(diǎn)全面'方法簡(jiǎn)潔用綜合法與分析法證明不等式【例11 設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+ b = c+ d.證明：(1) 若 ab>cd,貝U a+ b&

7、gt; c+ d；(2) ,a+ b> .c+ .d是 |a b|v|c d|的充要條件.證明 因?yàn)镃.a+ b)2 = a+ b+ 2 ab,(c+ d)2 = c+ d + 2 cd,由題設(shè) a+ b= c+ d, ab>cd,得(a+ b)2> ( ,c+ d)2.因此,a+ b> . c+ d.22必要性：若 |a b|v|c d|,則(a b) v(c d),99即(a+ b) 4abv (c+ d) 4cd.因?yàn)?a+ b = c+ d,所以 ab>cd.由(1), 得.a+ b> c + d.充分性：若,a+ b> c + _d,則(a+

8、 . b)2>(. c+ .d)2,即 a+ b + 2 . ab>c+ d + 2 , cd.因?yàn)?a+ b = c+ d,所以 ab>cd.于是(a b)2= (a+ b)2 4abv (c+ d)2 4cd = (c d)2.因?yàn)?|a b|v|c d|.綜上， a+ .b>，.c+，d是|a b|v|c d|的充要條件.規(guī)律方法分析法與綜合法常常結(jié)合起來(lái)使用，稱為分析綜合法，其實(shí)質(zhì)是既充分利用 已知條件，又時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找 到解題思路，用綜合法書寫證題過(guò)程.111跟蹤練習(xí) 設(shè) x> 1， y> 1

9、，求證：x+ y+= - + -+ xy.xy x y 7證明由于x> 1，y> 1，1 1 1要證 x+ y+一=一+一+ xy，xy x y只需證 xy(x+ y) + 1 < y+ x+ (xy).22因?yàn)閥+ x+ (xy) xy(x+ y) + 1 = (xy) 1 xy(x + y) (x + y) = (xy + 1)(xy 1) (x +y)(xy 1) = (xy 1)(xyx y+ 1)= (xy 1)(x 1)(y 1)，因?yàn)?x> 1, y> 1,所以(xy 1)(x 1)(y 1)>0，從而所要證明的不等式成立.用放縮法證明不等式【

10、例2】若a，b R，求證:|a+ b| v_JaL +|b|1 + |a+ b|v 1+ |a|+ 1 + |bf證明當(dāng)|a+ b| = 0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng) |a+ b|M 0 時(shí),由 Ov|a+ b|v |a|+ |b|?1 1> 一 |a+ b| |a|+ |b|'所以|a+ b|1 + |a+ b|11+ 1 |a+ b|11 + |a|+ |b|a|+ |b|1+ |a|+ |b|bl=旦 +1+a+|b|1+|a| + |b |1 + |a|1 + |b |規(guī)律方法1在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：1變換分式的分子和分母，如1 1

11、 丈1、 1 1 .2 1 、 2*ew八yf ni)花=1上面不等式中k匕N , k>1；2利用函數(shù)的單調(diào)性；3真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若Ovavb, m>0,則一了 一亍'.2在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度1111跟蹤塚習(xí) 設(shè)n是正整數(shù)，求證： + + v 1.2 n+1 n+ 22n證明由 2nn+ k>n(k= 1,2,，n)，得1 1 1< v ' 2n n+ k n.當(dāng)k= 1時(shí),1v 12n n+1 n；當(dāng)k= 2時(shí),1 1 1v _ -2n n + 2 n；當(dāng)k= n時(shí),丄 v12n n+ n n,1 n 111n2 2n n+

12、 1 + n + 2 十2n n原不等式成立.1題型3|；柯西不等式的應(yīng)用2 2 2 2【例3】（2017江蘇高考）已知a, b, c, d為實(shí)數(shù)，且a + b = 4, c + d = 16,證明:ac+ bdw 8.證明由柯西不等式，得(ac+ bd) (2017 全國(guó)卷 U)已知 a>0, b>0, a3 + b3 = 2.證明: 55 < (a2 + b2)(c2 + d2). 因?yàn)?a2 + b2 = 4, c2 + d2= 16,2所以(ac+ bd) < 64,因此 ac+ bd< 8.規(guī)律方法1使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形

13、式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明2利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：2 2（q +勺+十了十十1+ 1+ 1） = n .在使用柯西不等式時(shí)，要注意'12H右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件2 2跟蹤練習(xí) 已知大于1的正數(shù)X, y, z滿足x+ y+z= 3,3.求證：x+2y+3z + y+ 2z+ 3X+證明由柯西不等式及題意得,2 2 2xyz+ +x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y(x+ 2y+ 3z) + (y+ 2z102+ 3x) + (z+ 2x+ 3y)(x+ y+z) = 27.又(x + 2y

14、+ 3z) + (y+ 2z + 3為 + (z+ 2x + 3y) = 6(x+ y+ z) = 183,x2_+_y_+_z_ 二亙 衛(wèi) x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y 18.(1) (a+ b)(a5 + b5) > 4； (2) a+ b< 2.2 '當(dāng)且僅當(dāng)x= y= z= .3時(shí)，等號(hào)成立.真題自主驗(yàn)效果近年哮題感悟規(guī)律=(a3 + b3)2 2a3b3 + ab(a4 + b4) = 4+ ab(a2- b2)2> 4.33223因?yàn)?a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b = 2+ 3ab(a+ b)233(a+ b)3(a+ b3w 2+4(a+ b) = 2+,所以(a+ b)3<8,因此 a+ b<2.2. (2016全國(guó)卷U)已知函數(shù)f(x)=1 1 、x 2 + x+2 , M為不等式f(x)v 2的解集.(1) 求 M ;(2) 證明：當(dāng) a, b M 時(shí),|a+ b|v|1 + ab|. 12x, x< 2，1 1解(1)f(x)二 1, 2<xv2，c1i 2x, x>.1當(dāng) x< 2時(shí)，由 f(x) v2 得一2xv2,解得 x> 1;1 1當(dāng)一2<xv 2時(shí)