利用導數(shù)研究不等式恒成立能成立問題

1、利用導數(shù)研究不等式恒成立 (能成立)問題1. 設(shè)函數(shù)f(x) = (1 + x x2)ex(e= 2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)).(1) 討論f(x)的單調(diào)性；當x> 0時，f(x)< ax+ 1 + 2x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)f' (x) = (2 x x2)ex= (x+ 2)(x 1)ex.當 x< 2 或 x>1 時，f' (x)<0;當一2<x<1 時，f' (x)>0.所以f(x)在(a, 2), (1,+)上單調(diào)遞減，在(2,1)上單調(diào)遞增.(2) 設(shè) F(x)= f(x) (ax+ 1

2、+ 2x2), F(0) = 0,F' (x) = (2 x x2)ex 4x a, F ' (0) = 2 a,當 a > 2 時，F(xiàn) ' (x)= (2 x x2)ex 4x a< (x+ 2) (x 1)ex 4x 2< (x+ 2)(x 1)exx 2= (x+ 2) (x 1)ex+ 1,設(shè) h(x) = (x 1)ex+ 1, h' (x) = xex>0，所以 h(x)在0，+ a)上單調(diào)遞增，h(x) = (x 1)ex+ 1 > h(0) = 0,即F ' (X) w 0在0，+ a )上恒成立，F(xiàn)(x)在

3、0，+ a)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(X)W F(0) = 0,所以 f(x) w ax+ 1 + 2/ 在0, + a)上恒成立.當a<2時，F(xiàn) ' (0) = 2 a>0，而函數(shù)F' (x)的圖象在(0, +a)上連續(xù)且+ a , f' (x) 逐漸趨近負無窮，必存在正實數(shù) x0使得F '(X0)= 0且在(0, X0)上F ' (x)>0,所以F(x)在(0, X0)上單調(diào)遞增，此時 F(x)>F(0) = 0, f(x)>ax+ 1+ 2x2有解，不滿足題意.綜上，a的取值范圍是2 , + a).2. 設(shè)函數(shù) f(x) = 2

4、ln x mx2 + 1.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 當f(x)有極值時，若存在 X0,使得f(x0)>m 1成立，求實數(shù) m的取值范圍.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0 , + a),2 2 mx2 1f' (x)=x 2mx=x,當 mW 0 時，f' (x)>0 , f(X )在(0 ,+a )上單調(diào)遞增;當 m>0 時，令 f' (x)>0，得 0<x<令 f' (x)<0 ,得 x哺, f(x)在0，第上單調(diào)遞增，在.,+ a上單調(diào)遞減.由(1)知，當f(x)有極值時，m>0 ,且f(x

5、)在0, 上單調(diào)遞增, 在Y+a上單調(diào)遞減.二 f(x)max= f = 2ln m m 丄 + 1 = In m,mm m若存在 Xo,使得 f(xo)>m 1 成立，則 f(x)max>m 1.即一In m>m 1, In m+ m 1<0 成立.令 g(x) = x+ In x 1(x>0),1g' (x) = 1 + x>0, g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，且 g(1) = 0, 0<m<1.實數(shù)m的取值范圍是(0,1).3. (2020 西安質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)= In x, g(x) = x 1.(1) 求函數(shù)y= f

6、(x)的圖象在x= 1處的切線方程；若不等式f(x)w ag(x)對任意的x (1 ,+ )均成立，求實數(shù) a的取值范圍.1解：(1) / f' (x)= -, f' (1) = 1.x又 f(1) = 0,所求切線的方程為 y f(1) = f' (1)(x 1),即為 x y 1 = 0.(2) 易知對任意的 x (1, +), f(x)>0 , g(x)>0. 當 a> 1 時，f(x)<g(x) w ag(x); 當 a< 0 時，f(x)>0 , ag(x)w 0,不滿足不等式f(x)w ag(x)；1 當 0<a&l

7、t;1 時，設(shè) 0(x)= f(x) ag(x) = In x a(x 1)，貝U / (x) = - a(x>1)，令(j)z (x)x1=0，得 x=1,當x變化時，於(x), «x)的變化情況如下表：x11, ，a1 a1 ,+ ma0 (x)+0一<Xx)極大值1yx)max= $ a > 0(1) = 0,不滿足不等式.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為1 ,+ ).4. 已知函數(shù) f(x) = ax + x2 xIn a(a>0, a* 1).(1) 求函數(shù)f(x)的極小值；(2) 若存在X1,血 1,1，使得|f(x1) f(x2)|>e 1(e

8、是自然對數(shù)的底數(shù))，求實數(shù)a的取值范圍.解：(l)f' (x) = axin a + 2xIn a= 2x+ (ax 1)ln a.當a>1時，In a>0，函數(shù)y = (ax 1)ln a在R上是增函數(shù)，當0<a<1時，In a<0，函數(shù)y= (ax 1)ln a在R上也是增函數(shù)，當a>1或0<a<1時，f' (x)在R上是增函數(shù),又 f' (0) = 0, f' (x)>0 的解集為(0, +s), f' (x)<0 的解集為(一a, 0),故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)，單調(diào)遞

9、減區(qū)間為(一a, 0),函數(shù)f(x)在 x = 0處取得極小值1.(2) 存在 xi,血 1,1，使得 |f(xi) f(x2)|> e 1,只需f(x) max f(x) mine 1 即可.由(1)可知，當x 1,1時，f(x)在1,0上是減函數(shù)，在(0,1上是增函數(shù)，當 X 1,1時，f(x)min = f(0) = 1 , f(x)max 為 f( 1)和 f(1)中的較大者.11f(1) f( 1)= (a+ 1 In a) a+ 1 + ln a = a 2ln a, aa1令 g(a)= a 一 2ln a(a>0), ag (a) = 1+ 孑-a= 1 a 2>0,1 g(a) = a 2ln a 在(0, + a)上是增函數(shù). a而 g(1) = 0，故當 a>1 時，g(a)>0,即卩 f(1)>f( 1);當 0<a<1 時，g(a)<0,即卩 f(1)<f( 1).當 a>1 時，f(1) f(0) > e 1,即卩 a ln a> e 1.由函數(shù)y= a ln