五年級(jí)下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教材[1]

1、例題選講例1:圖1所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)F、點(diǎn)G分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?例2:一只小蟲從圖l所示的長(zhǎng)方體上的A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行，依次經(jīng)過(guò)前面、上面、后面、底面，最后到達(dá)P點(diǎn)。請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的爬行路線。練習(xí)與思考1.如圖所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)B、點(diǎn)D分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?2.一塊長(zhǎng)方形的鐵皮，長(zhǎng)28厘米，在這塊鐵皮的四角各剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形，然后通過(guò)折疊、焊接做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子。已知這個(gè)盒子的容積是960立方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面

2、積。 長(zhǎng)方體和正方體的表面積例題選講例1:一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是88平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是以厘米為單位的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。 例2:如圖，將3個(gè)表面積都是24平方米的正方體木塊粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。例3:如圖所示的是用19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體堆起來(lái)的立體圖形，其中有一些正方體看不見，那么這個(gè)立體圖形的表面積是多少?練習(xí)與思考 4.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)4厘米：寬和高都是3厘米的長(zhǎng)方體，以A為底打一個(gè)上下直穿的長(zhǎng)方體洞，以B為底打一個(gè)前后直穿的長(zhǎng)方體洞，以C為底打一個(gè)左右穿通的長(zhǎng)方體洞，所得立體圖形的表面積是多少?5.用10個(gè)長(zhǎng)7厘米，寬5厘米

3、，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，拼成的大長(zhǎng)方體表面積最小是多少? 長(zhǎng)方體和正方體的體積 例題選講例1:如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，從上部和卞靠分別截去高2厘米和3厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，表面積減少了100平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米?【分析與解答】仔細(xì)觀察右圖，截去上下兩個(gè)長(zhǎng)方體后減少的表面積就是兩個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積，也就相當(dāng)于減少的是高為(2+3)厘米的長(zhǎng)方體的側(cè)面積，因此高為5厘米的長(zhǎng)方體每個(gè)側(cè)面積是100÷425(平方厘米)，那么長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)就是25÷5=5(厘米)，所以原長(zhǎng)方體的體積是：5×5×(2+5+3)=25

4、0(立方厘米)。例2:將兩塊棱長(zhǎng)相等的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和是96厘米，每塊正方體木塊的體積是多少立方厘米? 【分析與解答】根據(jù)題意，兩個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有12×2=24(條)。當(dāng)它們拼在一起成為一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，由于兩個(gè)面重合，也就減少了4×2=8(條)棱長(zhǎng)，實(shí)際上就是拼成的長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和相當(dāng)于248=16(條)正方體棱長(zhǎng)總和，因此每條正方體棱長(zhǎng)為96÷16=6(厘米)，則每塊正方體木塊的體積是：6×6×6=216(立方厘米)。例3:如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4厘米，分別在前后、左右、上下各面中心鑿開一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形小孔直至對(duì)面

5、，求它的體積?！痉治雠c解答】仔細(xì)觀察圖形，每個(gè)鑿去的小長(zhǎng)方體體積均為：1×1×4=4(立方厘米)，共鑿小長(zhǎng)方體3個(gè)，即4×3=12(立方厘米)，而實(shí)際上由于正中間相交，重復(fù)鑿去了2個(gè)1立方厘米的正方體小塊，因此，這個(gè)物體的體積是4×4×412+1×2=54(立方厘米)。練習(xí)與思考1 把一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)平均分成4段，每段長(zhǎng)6厘米，表面積增加24平方厘米，求原長(zhǎng)方體的體積。2 用大小相等的兩個(gè)正方體積木拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是80厘米，每個(gè)正方體的體積是多少立方厘米? 3如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為20厘米的正方體木塊的前面、上面、右面

6、中心位置，分別鑿一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形小孔直至對(duì)面，做成玩具，求這個(gè)玩具的 4 一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積之和是156平方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?5一個(gè)表面積是36。平方厘米的長(zhǎng)方體，它恰好可以切成兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)小正方體的體積是多少立方厘米?8現(xiàn)有一張長(zhǎng)4厘米、寬2。厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，請(qǐng)你用它做一只深是5厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋鐵皮盒(焊接處及鐵皮厚度忽略不計(jì)，容積越大越好)。請(qǐng)問(wèn)：你做的鐵皮盒的容積是多少立方厘米?9一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是2l厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方體，現(xiàn)從它上面盡可能大地切下一個(gè)正方體，然后再?gòu)氖Ｓ嗖糠直M可能大地切下一個(gè)正方體，最后

7、再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體，這時(shí)剩下的體積是多少立方厘米?第四講 水面高度變化和等積變換水面高度變化問(wèn)題是涉及長(zhǎng)方體和正方體體積計(jì)算的變題，是指把一個(gè)物體放入盛水的長(zhǎng)方體或正方體容器中，水面將上升；或者把一個(gè)物體從盛水的長(zhǎng)方體和正方體容器中取出，水面會(huì)下降一類的問(wèn)題。解答時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)觀察水面高度變化的現(xiàn)象，發(fā)揮空間想像力，發(fā)現(xiàn)體積變化的規(guī)律，從而解決實(shí)際問(wèn)題。等積變換問(wèn)題指的是物體經(jīng)過(guò)熔鑄、變換，改造成另一種形狀的物體，雖然形狀變了，但是體積沒(méi)有發(fā)生變化。解答時(shí)，應(yīng)該抓住體積不變這一突口，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)真分析，從而尋求解決問(wèn)題的方法。例題選講例1:在一個(gè)長(zhǎng)25分米，

8、寬20分米的長(zhǎng)方體容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)是50厘米的正方體鐵塊，那么容器中水深多少分米? 、【分析與解答】根據(jù)題意，正方體鐵塊沉入長(zhǎng)方體容器中后，水面會(huì)上升，而上升部分的水的體積與正方體鐵塊的體積相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么現(xiàn)在的水深就迎刃而解了。 解：50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =O25+15 =1525(分米) 答：容器中水深1525分米。例2:一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為50厘米的正方形。水箱里直立著一個(gè)高10分米，底面邊長(zhǎng)是25厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)水箱里的水深6分米。現(xiàn)在把鐵塊輕輕地向上提起20厘米，那么露出水面的

9、鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?【分析與解答】露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分包括向上提起的20厘米和鐵塊提起后水面下降的高度兩部分。而下降部分水的體積就等于提起的20厘米的鐵塊的體積，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的鐵塊體積除以水箱的底面積求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米)答：露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)25厘米。例3:把一個(gè)長(zhǎng)9厘米，寬7厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面積是20平方厘米的長(zhǎng)方體，求這個(gè)長(zhǎng)方體的高?！痉治雠c解答】 將一個(gè)小長(zhǎng)方體鐵塊和一個(gè)小正方體鐵塊

10、熔鑄成一個(gè)大長(zhǎng)方體，形狀雖然變了，但體積和沒(méi)有發(fā)生變化，因此大長(zhǎng)方體鐵塊的體積就等于小長(zhǎng)方體鐵塊與小正方體鐵塊的體積和。然后根據(jù)體積除以底面積求出高。 解：(9×7×3+5。)÷20 =314÷20 =157(厘米) 答：這個(gè)長(zhǎng)方體的高是157厘米。練習(xí)與思考1在一個(gè)長(zhǎng)20分米，寬15分米的長(zhǎng)方體容器中，有20分米深的水。現(xiàn)在在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)15分米的正方體鐵塊，這時(shí)容器中的水深多少分米?2一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)90厘米，寬40厘米。容器里直立著一個(gè)高1米，底面邊長(zhǎng)是15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深05米。3一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體容器，裝滿了水?，F(xiàn)將

11、正方體容器里的水倒人一個(gè)長(zhǎng)12分米，寬6分米，高5分米的長(zhǎng)方體水槽中，求現(xiàn)在長(zhǎng)方體水槽中水面到水槽口的距離。4現(xiàn)在把鐵塊輕輕向上提起24厘米，那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?5一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從里面量長(zhǎng)8分米，寬6分米。先倒入165升水，再浸入一塊棱長(zhǎng)3分米的正方體鐵塊，這時(shí)水面離水箱口1分米。問(wèn)：這個(gè)水箱的容積是多少?6在一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬12分米的長(zhǎng)方體容器中，水深10分米。如果在水中浸入一個(gè)棱長(zhǎng)是30厘米的正方體鐵塊，那么，容器中水深多少分米? 7有大、中、小三個(gè)底面是正方形的水池，它們底面的邊長(zhǎng)分別是5米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉人中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別

12、升高6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？8一個(gè)長(zhǎng)方體容器里面裝有水，一塊棱長(zhǎng)24厘米的正方體鐵塊浸沒(méi)在水中。現(xiàn)將鐵塊取出，水面下降18厘米；如果將一個(gè)長(zhǎng)18厘米，寬16厘米，高12厘米的長(zhǎng)方體鐵塊浸入水中：水面將上升多少厘米?9現(xiàn)在有大、中、小三個(gè)鐵球，一個(gè)裝滿水的長(zhǎng)方體容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次從容器中溢出水量的情況是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的25倍。問(wèn)：大球體積是小球的多少倍?11棱長(zhǎng)為1米的2100個(gè)正方體圍成一個(gè)實(shí)心的長(zhǎng)方體，它的高為10米，長(zhǎng)和

13、寬都大于高。問(wèn)：它的長(zhǎng)和寬各為多少米?12在一個(gè)長(zhǎng)方體蓄水池里放進(jìn)一塊長(zhǎng)和寬都是5厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的鐵塊露出8厘米，這時(shí)池里的水面就下降4厘米。問(wèn)：這個(gè)鐵塊的體積是多少立方厘米?第五講 列方程解題有數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，特別是需要逆向思維的應(yīng)用題，運(yùn)用算術(shù)方法解答比較困難，如果列方程解答，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù)來(lái)考慮數(shù)量關(guān)系，抓住數(shù)量之間的相等關(guān)系，列出方程式解答就比較容易了。例題選講例1：御苑小學(xué)五(3)班的同學(xué)合買一件生日禮物送給班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小學(xué)五(3)班有多少

14、名學(xué)生?【分析與解答】從給出的條件分析，用算術(shù)方法解答問(wèn)題有些困難，似乎數(shù)量關(guān)系不明顯，但深入分析可以看出同學(xué)們買的是同一件生日禮物，因比價(jià)格是一定的，即每人出8元表示的總價(jià)與每人出6元表示的總價(jià)相等，可以列出以下方程式解答。 解：設(shè)御苑小學(xué)五(3)班有x名學(xué)生。 8x-84=6x+12 8x一6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小學(xué)五(3)班有48名學(xué)生。例2：勝利大隊(duì)糧庫(kù)里的大米是面粉的2倍，現(xiàn)在用卡車運(yùn)走，每輛卡車裝4噸大米和3噸面粉，當(dāng)面粉運(yùn)完時(shí)，還剩2 0噸大米，糧庫(kù)里原來(lái)有大米和面粉共多少噸?【分析與解答】這道題的未知數(shù)量比較多：有大米、面粉的重量和卡車的數(shù)量，那么設(shè)哪

15、個(gè)未知數(shù)為x比較合適呢?我們仔細(xì)分析一下等量關(guān)系，容易看出運(yùn)大米的卡車數(shù)量與運(yùn)面粉的卡車數(shù)量相等，如果設(shè)面粉有x噸，則大米有2x噸，根據(jù)卡車數(shù)量相等可以列出方程(2x一20)÷4=x÷3再進(jìn)一步分析已知條件，可以看出另一個(gè)等量關(guān)系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我們?cè)O(shè)有x輛卡車，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：4x+20=3x×2比較兩種方法，發(fā)現(xiàn)后一種方法列出的方程式比較容易解答。 解：設(shè)有x輛卡車。 4x+203z×2 4x+20=6x x=10 (4+3)×10+20=90(噸) 答：糧庫(kù)里原來(lái)有大米和面粉共90噸。練習(xí)與思考1爸爸帶一些錢去買

16、酸奶，如果買1 O瓶就剩下4元，如果買12瓶同樣的酸奶則差5.2元。問(wèn)：每瓶酸奶多少元?爸爸帶了多少錢？7.甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲、乙從A地出發(fā)，丙從B地出發(fā)，丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲，求A、B兩地的距離。8.甲、乙兩個(gè)書店存書冊(cè)數(shù)相等，甲書店售出2000冊(cè)，乙書店購(gòu)入1000冊(cè)，這時(shí)乙書店的冊(cè)數(shù)是甲書店的2倍。問(wèn)：甲、乙兩書店原來(lái)共存書多少冊(cè)? 9.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，甲隊(duì)的平均分為75分，乙隊(duì)的平均分為73分，兩隊(duì)全體同學(xué)的平均分為735分，并且乙隊(duì)比甲隊(duì)多6人，那么乙隊(duì)有多少人?10.如圖所示的是由九個(gè)正三角形拼成的六邊形，其中最小的正三角形(圖中有陰影

17、的小三角形)的邊長(zhǎng)為1，求此六邊形的周長(zhǎng)。第六講 假設(shè)法解題“假設(shè)法”是解決問(wèn)題常用的一種思維方法，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，根據(jù)題目的條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，然后根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推算，當(dāng)出現(xiàn)矛盾時(shí)，則分析矛盾產(chǎn)生的原因，并對(duì)照已知條件進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，最后找到解決問(wèn)題的方法。 例題選講例1:有5元和10元的郵票共20張，總面值125元。問(wèn)：5元的和10元的郵票各多少?gòu)?【分析與解答】假設(shè)20張郵票都是10元的，總面值應(yīng)該是10×20一200(元)，而實(shí)際上只有125元，實(shí)際比假設(shè)少20012575(元)，仔細(xì)分析一下為什么比假設(shè)少75元呢?原因就是把5元的郵票當(dāng)作10元算的、，每張就多算10

18、-5=5(元)，因此可以求出5元的郵票張數(shù)75÷5=15(張)則10元的郵票張數(shù)為2015=5(張)。 解：(10×20125)÷(10一5) =75÷5=15(張)5元的郵票張數(shù) 20-15=5(張)10元的郵票張數(shù) 答：5元的郵票15張，10元的郵票5張。 請(qǐng)同學(xué)想想如果假設(shè)2張郵票都是5元的應(yīng)該如何解答呢? 例2:中央百貨公司委托搬運(yùn)公司送1000只茶杯，雙方簽訂合同每只運(yùn)費(fèi)是O.3元如果打破1只，不但不付運(yùn)費(fèi)，而且還要照價(jià)賠償15元。結(jié)果搬運(yùn)公司共得運(yùn)費(fèi)291元。問(wèn)：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過(guò)程中打破了幾只茶杯?【分析與解答】 假設(shè)在搬運(yùn)過(guò)程中沒(méi)有茶杯被打

19、破，那么應(yīng)該得運(yùn)費(fèi)O3 x 1000=300(元)，而實(shí)際上卻少得了運(yùn)費(fèi)(300291)=9(元)，原因是打破了幾只茶杯，每打破1只不但拿不到運(yùn)費(fèi)，還要賠償，所以打破1只就損失：03+15=18(元)，因此在搬運(yùn)過(guò)程中打破了9÷18=5(只)。 解：(O3X1000291)÷(O3+15) =9÷18 =5(只)答：在搬運(yùn)過(guò)程中打破了5只茶杯。練習(xí)與思考1籠中共有雞兔100只，雞兔共有280只腳。問(wèn)：雞兔各有多少只?2某搬運(yùn)站為某商店運(yùn)800只花瓶，運(yùn)費(fèi)為每只3元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)還要照價(jià)賠償5元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)2352元。問(wèn)：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過(guò)程中打

20、破幾只花瓶?3松鼠爸爸采松子,晴天可以采30個(gè),雨天只能采20個(gè)，它一連幾天共采了240個(gè)松子，平均每天采24個(gè)。問(wèn)：這幾天當(dāng)中有幾個(gè)晴天?幾個(gè)雨天?4甲、乙兩人進(jìn)行投飛鏢比賽，規(guī)定每中一次記10分，脫靶一次扣6分，兩人各投l0次，共得152分，其中甲比乙多16分。問(wèn)：甲、乙兩人各投中幾次？5蜘蛛有8只腳，沒(méi)有翅膀，蜻蜓有6只腳和2對(duì)翅膀，蟬有6只腳和1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這三種小動(dòng)物共78只腳，13對(duì)翅膀。問(wèn)：每種小動(dòng)物各有幾只?6甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)的2倍，甲倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出40噸，乙倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出30噸，若干天后，乙倉(cāng)庫(kù)的糧食運(yùn)完了，甲倉(cāng)庫(kù)還有80噸。問(wèn)：甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)各有糧食多少噸?7一堆硬幣：面

21、值為1分、2分、5分三種，其中1分的個(gè)數(shù)是2分的ll倍，如果這堆硬幣共1元，那么5分硬幣有多少個(gè)? 8某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共50道。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)l題給3分，不答給1分，答錯(cuò)倒扣1分。請(qǐng)你說(shuō)明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。 9紫金小學(xué)買來(lái)單價(jià)分別是3元、4元、5元的獎(jiǎng)品共200份，共花去780元，其中4元和5元的獎(jiǎng)品份數(shù)相同。問(wèn)：三種獎(jiǎng)品各買了多少份?10有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè)，取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè)，再取出兩份，將這兩份三等分后還剩2個(gè)。問(wèn)：這筐蘋果至少有幾個(gè)?第七講 代換法解題在一些較復(fù)雜的應(yīng)用題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，但是這些未知量是

22、有一定的邏輯關(guān)系的。解題時(shí)，可以用其中一個(gè)未知量通過(guò)等量代換，代替其它未知量，從而使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，這種解題的方法稱為代換法。例題選講例1:一個(gè)足球的價(jià)格等于兩個(gè)籃球的價(jià)格，也等于三個(gè)排球的價(jià)格，還等于一個(gè)籃球加一個(gè)排球和一個(gè)壘球的價(jià)格。那么一個(gè)足球等于多少個(gè)壘球的價(jià)格?【分析與解答】這道題條件比較多，我們把條件摘錄如下，列出等式：1個(gè)足球：2個(gè)籃球，1個(gè)足球=3個(gè)排球，一個(gè)足球=1個(gè)籃球+1個(gè)排球+1個(gè)壘球，由此可以推出2個(gè)籃球=3個(gè)排球，即1個(gè)籃球：15個(gè)排球，又1個(gè)籃球：1個(gè)排球+1個(gè)壘球，所以1個(gè)壘球一O5個(gè)排球，即2個(gè)壘球=1個(gè)排球，因此1個(gè)足球=2×3=6(個(gè))壘球。

23、例2:5只同樣的紅球和18只同樣的綠球共重396克，已知1只紅球和3只綠球的重量相等，求每只紅球和每只綠球各重多少克?【分析與解答】摘錄條件：(1)5只紅球+18只綠球=396，(2)1只紅球=3只綠球，由(2）可得5只紅球=15只綠球，因此用15只綠球代替（1）中5只紅球可得15只綠球+18只綠球=396，即33只綠球=396，所以每只綠球=396÷(15+18)=12(克)，每只紅球的重量=12×3=36(克)。 同學(xué)們想一想用幾只同樣的紅球可以代換18只綠球，又如何計(jì)算呢?例3:甲、乙、丙三人，甲的年齡比乙的2倍大3歲，乙的年齡比丙的2倍小2歲，三人年齡之和是109歲

24、。問(wèn)：三人各幾歲?【分析與解答】摘錄條件(1)甲=2乙+3，(2)乙=2丙-2，由(2)可得2乙=4丙-4，又根據(jù)(1)可得甲=4丙=1，如果甲正好是丙的4倍，乙正好是丙的2倍，那么年齡和應(yīng)是(109+l+2)=112(歲)，也就相當(dāng)于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年齡=112÷7=16(歲)。乙的年齡：16X22=30(歲)，甲的年齡=30×2+3=63(歲)。 練習(xí)與思考1.2只紅球與4只藍(lán)球的重量相等，3只藍(lán)球的重量等于1只紅球加1只黑球的重量，那么幾只黑球的重量等于3只紅球加4只藍(lán)球的重量?2.百貨商店運(yùn)來(lái)400雙球鞋，分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱中，如果2個(gè)紙箱同1

25、個(gè)木箱裝的鞋一樣多，那么每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙鞋? 3.有紅、黃、藍(lán)三色筆共94枝，已知紅色筆比黃色筆的2倍少2枝，黃色筆比藍(lán)色筆的2倍多4枝，求三色筆各多少枝?4.一批貨物，如果用大號(hào)集裝箱要20只箱子，如果用小號(hào)集裝箱裝，要25只箱子，已知大號(hào)箱比小號(hào)箱可多裝貨物200千克，求這批貨物重多少千克? 5.學(xué)校圖書館購(gòu)買5本科技書和3本文學(xué)書共用去1475元，如果用1本文學(xué)書換回2本科技書，那么還要用去73元。問(wèn)：科技書和文學(xué)書每本的價(jià)格各是多少元?6.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是325，如果甲加上lO，乙減去5，丙乘以2，丁除以3，那么四個(gè)數(shù)恰好相等，求丁數(shù)。7.甲、乙兩數(shù)之差是1782

26、，如果將乙的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位就與甲數(shù)相等。求甲、乙兩數(shù)分別是多少?8.用兩臺(tái)抽永機(jī)抽水，甲抽水機(jī)抽6小時(shí)，乙抽水機(jī)抽8小時(shí)，共抽水624立方米。已知甲抽水機(jī)5小時(shí)的抽水量等于乙抽水機(jī)2小時(shí)的抽水量。問(wèn)：甲乙兩臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)各抽水多少立方米?9.用3個(gè)空啤酒瓶可換一瓶啤酒王強(qiáng)買了10瓶啤酒，他最多可以喝到多少瓶啤酒?張師傅和李師傅共同加工1300個(gè)零件，張師傅先做6天。再由李師傅做4天，就完成了任務(wù)。如果張師傅先做4天，則李師傅再做7天也能完成任務(wù)。問(wèn)：李師傅每天加工多少個(gè)零件?10.運(yùn)動(dòng)會(huì)把一筆獎(jiǎng)金分為金、銀、銅三等，已知每個(gè)金牌獎(jiǎng)金是每個(gè)銀牌獎(jiǎng)金的，2倍，每個(gè)銀牌獎(jiǎng)金是每個(gè)銅牌獎(jiǎng)金的2倍，

27、如果評(píng)出金牌、銀牌、銅牌獎(jiǎng)各兩名，那么每個(gè)金牌獎(jiǎng)金是30.8萬(wàn)元，如果評(píng)出一個(gè)金獎(jiǎng)、兩個(gè)銀獎(jiǎng)、三個(gè)銅獎(jiǎng)，那么金獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是多少萬(wàn)元?第八講 消去法解題有些較復(fù)雜的應(yīng)用題，給出了兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，在解題時(shí)除了運(yùn)用前一講代換法來(lái)解答，還可以運(yùn)用另一種方法消去法。消去法解題是指在求多個(gè)未知量時(shí)，通過(guò)比較已知條件，分析對(duì)應(yīng)未知數(shù)量的變化情況，設(shè)法消去其中一個(gè)未知量，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例題選講例1:媽媽第一次買了3千克蘋果和5千克桔子，共用去145元；第二次又買了3千克蘋果和7千克桔子，共用去185元。蘋果和桔子的單價(jià)各是多少元?【分析與解答】根據(jù)已知條件寫出下列數(shù)量關(guān)系式： 3千克蘋果的價(jià)格+5千

28、克桔子的價(jià)格=145元 3千克蘋果的價(jià)格+7千克桔子的價(jià)格=185元 比較、兩個(gè)等式，我們可以看出，145元與185元的差價(jià)正好是(75)千克桔子的價(jià)格。因?yàn)閮纱钨I的蘋果重量相同，根據(jù)這個(gè)條件，在解答時(shí)可以把3千克蘋果的價(jià)格消去，先求桔子的價(jià)格，再求蘋果的價(jià)格。 解：(185145)÷(75) =4÷2 =2(元)桔子的單價(jià) (1452×5)÷3 =45÷3 =15(元)蘋果單價(jià) 答：蘋果的單價(jià)是15元，桔子的單價(jià)是2元。例2: 紫金小學(xué)買了4個(gè)足球和12個(gè)籃球，一共用去980元，育才小學(xué)買了同樣的8個(gè)足球和10個(gè)籃球，一共用去1 1 90元。

29、每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元?【分析與解答】先列出數(shù)量關(guān)系式。 4個(gè)足球的價(jià)錢十12個(gè)籃球的價(jià)錢=980元 8個(gè)足球的價(jià)錢+10個(gè)籃球的價(jià)錢=1190元 與例1比較、兩個(gè)等式中沒(méi)有相同數(shù)量的量，這樣就不能直接消去其中的一個(gè)未知量。那怎么辦呢?仔細(xì)觀察比較、兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式，不難看出式中足球數(shù)量是式中足球數(shù)量的2倍，如果把式中未知量的數(shù)量擴(kuò)大2倍，問(wèn)題就迎刃而解了。 解：根據(jù)已知條件可得8個(gè)足球的價(jià)錢+24個(gè)籃球的價(jià)錢：1960元 (1960一1190)÷(24一lO) =770÷14 =55(元)籃球的單價(jià) (98055×12)÷4 =320÷4

30、=80(元)足球單價(jià) 答：每個(gè)足球80元，每個(gè)籃球55元。練習(xí)與思考1.食堂第一次運(yùn)來(lái)6袋大米和4袋面粉，一共重400千克，第二次又運(yùn)來(lái)9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?2.小明和小剛?cè)ド痰曩I文具用品，小明買了1枝鋼筆和2塊橡皮共用去14元，小剛買同樣的2枝鋼筆和8塊橡皮共用去36元。問(wèn)：鋼筆和橡皮的單價(jià)各是多少元?，3.文峰水果超市購(gòu)買5筐蘋果和7筐梨共重135千克，第二天又購(gòu)買了同樣的蘋果3筐、梨5筐共重85千克。問(wèn)：每筐蘋果和每筐梨各多少千克?4.學(xué)校買來(lái)5包科技書和7包故事書共620本，6包科技書和3包故事書420本。問(wèn)：每包科技書和每包故事書各多少

31、本?5.甲、乙、丙三數(shù)，甲、乙兩數(shù)之和是50,乙、丙兩數(shù)之和是70，甲、丙兩數(shù)之和是60。問(wèn)：甲、乙、丙三數(shù)各是多少?6.商店第一天賣出5件上衣和8條褲子收入1265元，第二天賣出同樣的6件上衣和5條褲子共收入1150元。問(wèn)：每件上衣、每條褲子各多少元?每件上衣比每條褲子貴多少元?7.7頭牛和4只羊每天共吃青草145千克，4頭牛和7只羊每天共吃青草130千克。問(wèn)：每頭牛和每只羊每天各吃青草多少千克?8.小明有4盒奶糖，小剛有3盒酥糖。共有60顆糖，如果小明和小剛對(duì)換1盒，則兩人手里糖的顆數(shù)相等。每盒奶糖和每盒酥糖各有多少顆? 9.體育室有籃球、足球、排球三種球?；@球3個(gè)，足球2個(gè)，排球1個(gè)，共

32、值380元；籃球2個(gè)，足球1個(gè)，排球3個(gè)，共值350元；籃球1個(gè)，足球3個(gè)，排球2個(gè)，共值350元。問(wèn)：每種球的單價(jià)各是多少元? 10.一個(gè)水池甲、乙兩個(gè)水管同時(shí)打開，5小時(shí)灌滿；若甲管開8小時(shí)后關(guān)閉乙再開3小時(shí)也能灌滿。如果甲管先開2小時(shí)關(guān)閉，那么乙管再開幾小時(shí)才能灌滿?第九講 作圖法解題圖形具有直觀性，用作圖的方法可以將復(fù)雜應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來(lái)，使題目的已知條件和所求問(wèn)題一目了然，并借助直觀的圖形進(jìn)行分析、推理，進(jìn)而很快找到解決問(wèn)題的策略。這種方法我們稱為作圖法解題，特別是對(duì)解答條件復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系不明顯的應(yīng)用題，能起到化難為易的作用。例題選講例1:雞與兔同籠共100只，一共有24

33、0只腳雞與兔各多少只? 【分析與解答】這是雞兔同籠問(wèn)題，我們?cè)谇皫字v已學(xué)會(huì)用其它方法解答，現(xiàn)在用作圖法來(lái)解答，讓同，學(xué)們體會(huì)一下這種方法的作用。圖1中兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積表示的是雞與兔腳的總個(gè)數(shù)，寬表示每只雞與兔的腳的個(gè)數(shù)。則長(zhǎng)就是要求的雞與兔的只數(shù)。仔細(xì)觀察圖2，陰影部分的面積表示雞與兔多出的腳，它應(yīng)該等于總面積減空白面積，即2402 x 100=40(只)，那么陰影部分的長(zhǎng)，也就是兔的只數(shù)應(yīng)為40÷(42)=20(只)，雞的只數(shù)就是1OO-20=80(只) 例2:甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向開出，第一次相遇時(shí)離A地有90千米，然后各按原速度繼續(xù)行駛，到達(dá)目的地后立即沿原路返回，第

34、二次相遇時(shí)離B地70千米處，求A、B兩地的路程?！痉治雠c解答】求A、B兩地的路程，題中既沒(méi)有給出甲、乙的速度，也沒(méi)有給出相遇時(shí)間，解答比較困難。下面我們借助線段圖來(lái)幫助分析。從圖上可以看出，甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共行駛了一個(gè)全程，當(dāng)兩車共行駛1個(gè)全程時(shí)，甲車行駛了90千米。從第一次相遇到第二次相遇，甲、兩車又共行駛了2個(gè)全程。因此從出發(fā)到第l二次相遇甲、乙兩車共行駛了3個(gè)全程，那么甲車就行駛了3個(gè)90千米，即90×3=270千米，而甲車比全程多行70千米。所以A、B的距離為27070=200(千米)。練習(xí)與思考 1.有10分和20分的郵票共18張，總面值為280元。請(qǐng)問(wèn)：10分

35、和20分的郵票各有幾張?2.張紅與李明同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，第一次兩人相遇時(shí)離乙地400米。然后兩人繼續(xù)步行，各自到達(dá)目的地后立即返回，第二次相遇時(shí)離甲地200米，求甲、乙兩地的距離。3.兩根同樣長(zhǎng)的電線,第一根用去60 米，第二根用去20米，剩下的電線，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍。問(wèn)：原來(lái)兩根電線各長(zhǎng)多少米?(先畫圖再列式計(jì)算)4.在一個(gè)除法算式里，被除除以除數(shù)商是25，余數(shù)是10，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是357，除數(shù)是多少? 5.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的總和是300，丁數(shù)比甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的平均數(shù)少30，求丁數(shù)。6.甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，第一次

36、相遇時(shí)離A地50千米，相遇后繼續(xù)按原速度行完全程，到達(dá)目的地后返回，第二次相遇時(shí)離A地25千米。問(wèn)：A、B兩地距離是多少千米?7.一輛汽車從甲地開往乙地，往返共用20小時(shí)，去時(shí)用的時(shí)間是回來(lái)時(shí)的15倍，去時(shí)的速度比回來(lái)的速度每小時(shí)慢12千米。問(wèn)：往返共行了多少千米?8.某單位買單價(jià)分別為70元、30元、20元的高、中、低三檔皮包共47個(gè)，共用了2120元，其中每個(gè)30元的中檔皮包個(gè)數(shù)是每個(gè)20元的低檔包個(gè)數(shù)的2倍。問(wèn)：三種皮包各買了多少個(gè)？第十講 倒推法解題在我們生活中經(jīng)常會(huì)遇到“還原問(wèn)題”，如把一盒包裝精美的玩具打開，再把它重新包裝好，重新包裝的步驟與打開的步驟正好相反。其實(shí)在數(shù)學(xué)中，也有許

37、多類似的還原問(wèn)題。解決這類問(wèn)題最常用的方法就是倒推法，即從結(jié)果入手，逐步向前逆推，最終找到原問(wèn)題的答案。例題選講例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走半，第二只拿走余下的一半多3個(gè)，第三只拿走第二只取剩的一半少3個(gè)，第四只拿走第三只取剩的一半多3個(gè)，第五只拿走第四只取剩的一半，最后還剩3個(gè)，這堆桃原來(lái)有多少個(gè)?【分析與艉答】l|這道題條件比較多，順向思考很困難,如果根據(jù)最后的結(jié)果倒推還原，解決起來(lái)就輕松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半，還剩3個(gè)，所以第五只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：3×2=6(個(gè))，同理，第四只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：(6+3)×2=18(個(gè))，第三只猴子拿之前應(yīng)該

38、有桃子：(183)×2=30(個(gè))，第二只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：(30+3)×2=66(個(gè))，第一只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：66×2=132(個(gè))，即這堆桃有132個(gè)。例2:甲、乙、丙三人各有若干元錢，甲拿出與乙相同多的錢給乙，也拿出與丙相同多的錢給丙；然后乙也按甲和雨手中的錢分別給甲、丙相同的錢；最后丙也按甲和乙手中的錢分別給甲、乙相同的錢，此時(shí)三人都有48元錢。問(wèn)：開始時(shí)三人各有多少元錢?【分析與解答】從第三次丙給甲、乙錢逐步向前推算，根據(jù)三人最后都有48元，那么在丙給甲、乙添錢之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷224(元)， 丙：

39、48+24+2496(元)； 第二次在乙給甲、丙添錢之前： 甲：24÷212(元)， 乙：24+12+48=84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲給乙、丙添錢之前： 甲：12+42+2478(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元)。 所以開始時(shí)甲有78元，乙有42元，丙有24元。例3:甲、乙、丙三人共有48張郵票，第一次甲先拿出與乙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給乙；第三次乙拿出與丙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給丙；第三次丙又拿出與這時(shí)的甲的郵票數(shù)相等的張數(shù)給甲，最后三人的郵票數(shù)相等，三人原來(lái)各有多少?gòu)堗]票?【分析與解答】此題條件復(fù)雜，因此

40、我們可以用列表的方法，從最后的果一步步按每次的變化倒推，這樣就容易看清題中的數(shù)量關(guān)系了。列表如下：練習(xí)與思考1.張強(qiáng)去銀行取款，第一次取了存款的一半多100元，第二次取了余下的一半少50元，第三次取了余下的一半多50元，這時(shí)他的存折上還剩下575元。問(wèn)：張強(qiáng)原來(lái)有存款多少元?2.書架上有上、中、下三層書，共2400本一先從上層拿出與中層同樣多的書放進(jìn)中層，再?gòu)闹袑幽贸雠c下層同樣多的書放進(jìn)下層，最后從下層拿出與上層現(xiàn)在同樣多的書放進(jìn)上層，這時(shí)三層書同樣多。問(wèn)：開始時(shí)，上、中、下三層各有多少本書?3.做一道整數(shù)加一個(gè)學(xué)生把個(gè)位上的7看作5，把十位上的5看作7，把百位上的9看作6，結(jié)果得出和為775

41、。問(wèn)：正確的答案應(yīng)該是多少?4.有26塊磚，兄弟兩人爭(zhēng)著去挑,弟弟走在前面，剛擺好磚哥哥趕來(lái)了。哥哥見弟弟挑得太多，就拿來(lái)一半給自己。弟弟覺(jué)得自己能行，又從哥哥那里拿來(lái)一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問(wèn)：開始時(shí)，弟弟準(zhǔn)備挑多少塊?5.甲、乙、丙三個(gè)瓶子共裝了24升水,現(xiàn)在把甲瓶的水分別倒給乙、丙兩瓶，使乙、丙兩瓶的水比原來(lái)增加1倍；之后，又將乙瓶的水按上面的要求倒給甲、丙；最后，再按上面的要求將丙瓶的水倒一部分給甲、乙兩瓶，這樣倒了三次后，三個(gè)瓶中的水一樣多。問(wèn)：開始時(shí)甲、乙、丙三瓶各裝水多少升?9.一種有益的菌種每小時(shí)可增長(zhǎng)。l倍，現(xiàn)有一批這樣的細(xì)菌：10小時(shí)后達(dá)到100萬(wàn)個(gè)，當(dāng)它們達(dá)到25萬(wàn)個(gè)時(shí)，經(jīng)歷了多少長(zhǎng)時(shí)間?第十一講 分?jǐn)?shù)大小的比較在分?jǐn)?shù)計(jì)算中經(jīng)常要比較分?jǐn)?shù)的大小，同學(xué)們已經(jīng)知道根據(jù)分?jǐn)?shù)的基